Les marchés de taux d’intérêt

1. Les marchés de taux d’intérêt JM Dalbarade - Paris Dauphine

2. Le zéro-coupon F1 = 105 i = 5 % F0 = 100 Le taux i = 5% est-il • un taux d’intérêt ? • un taux de rendement ? • un taux d’actualisation ? • Prêt + Remboursement • Achat + Revente JM Dalbarade - Paris Dauphine

3. Trois techniques de calcul • Les taux simples (monétaires) • Les taux composés (actuariels) • Les taux continus JM Dalbarade - Paris Dauphine

4. L’intérêt simple I = iFt Le nominal peut être F0 et l’intérêt est payable à l’échéance (IPE) ou Ft et l’intérêt est payable d’avance (IPA) JM Dalbarade - Paris Dauphine

5. Les taux monétaires (simples) 0 Durée t t Attention à la mesure de t ! JM Dalbarade - Paris Dauphine

6. Exercice n° 1Le marché primaire des Bons du Trésor Quel est le montant dû, lors d’une adjudication de Bons du Trésor à 13 semaines, pour une soumission de 10 millions d’euros, au taux de 1,35 % ? NB : Le taux pratiqué est post-compté IPA JM Dalbarade - Paris Dauphine

7. Les taux actuariels (composés) 0 Durée t t Attention à la mesure de t ! JM Dalbarade - Paris Dauphine

8. La « norme » du taux actuariel Exemple classique de conversion d’un taux monétaire im en un taux actuariel ia pour une durée d’application de d jours : JM Dalbarade - Paris Dauphine

9. Exercice n° 2Le marché secondaire des Bons du Trésor • Suite de l’exercice n° 1 : • Les Bons du Trésor acheté lors de l’adjudication sont revendus au bout d’une période de 21 jours au taux de 1,05 %. • Quelle est la valeur de cession ? • Quel est le rendement actuariel de l’opération d’achat/vente ? JM Dalbarade - Paris Dauphine

10. Les taux continus (composés) Durée t 0 t JM Dalbarade - Paris Dauphine

11. Interprétation du taux continu Limite de la capitalisation d’un taux d’intérêt simple r = 5 % On obtient donc si i est le taux sur 1 an : er = (1+i) ou r = ln(1+i) (NB : On peut aussi intégrer l’équation différentielle dF = r F dt … !) JM Dalbarade - Paris Dauphine

12. Utilisations comparées Comparez les 3 types de taux, simples, actuariels et continus, pour le calcul d’un taux global ou moyen. - Un même taux est appliqué sur 2 périodes successives de durées t1 et t2 - On applique 2 taux différents sur 2 années successives • Un portefeuille est composé de 2 actifs de rendements annuels différents, dans les proportions a1 et a2. JM Dalbarade - Paris Dauphine

13. Exercice n° 3Les taux Euribor Sur un tableur … Convertir les taux Euribor du jour, pour les maturités de 1 à 12 mois, en taux actuariels et en taux continus.Représentations graphiques. JM Dalbarade - Paris Dauphine

14. Les structures de flux Une opération de taux peut correspondre à l’acquisition d’une structure de flux. Fn F1 F2 t1 t2 . . . . . tn Prix P La décomposition en n emprunts zéro-coupon, avec un même rendement actuariel i, permet d’écrire : JM Dalbarade - Paris Dauphine

15. Prix et rendement actuariel • Le prix est entraîné à la baisse par la hausse du taux • Le rendement actuariel s’améliore quand le prix est bas Prix P i Rendement JM Dalbarade - Paris Dauphine

16. L’analogie avec l’actualisationpour une opération d’investissement Le cash-flow de l’année i est CFi = Ri - Di JM Dalbarade - Paris Dauphine

17. Introduction au risque de taux Immédiatement après l’acquisition, les taux passent à 6 %. JM Dalbarade - Paris Dauphine

18. La duration d’un zéro-coupon La variation que subit le prix de marché d’un zéro-coupon lorsque le taux d’intérêt varie est d’autant plus forte que sa durée est longue. Ainsi, pour un zéro-coupon, JM Dalbarade - Paris Dauphine

19. Duration d’une structure de flux Fn F1 F2 . . . . . t1 t2 tn D P La duration d’une structure de flux est la moyenne des durées pondérées par les flux actualisés. JM Dalbarade - Paris Dauphine

20. Exemple de duration 110 10 10 0 i = 10 % 1 2 3 D 100 JM Dalbarade - Paris Dauphine

21. La sensibilité La sensibilité mesure le rapport entre la variation du prix, en pourcentage, et la variation du taux d’intérêt . Une sensibilité égale à 5 signifie que le prix baisse de 0,05 % quant le taux monte d’un point de base (0,01 %). On démontre que sensibilité et duration sont reliés par : JM Dalbarade - Paris Dauphine

22. La date d’immunisation La duration peut être comprise comme la date à laquelle la valeur de la structure est insensible à la variation des taux Si les taux montent : Fn F1 F2 . . . . . t1 t2 tn D P JM Dalbarade - Paris Dauphine

23. Anticipation de hausse des taux d’intérêt Un investisseur anticipe une hausse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ? JM Dalbarade - Paris Dauphine

24. Anticipation de baisse des taux d’intérêt Un investisseur anticipe une baisse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement). Comment doit-il placer ses ressources ? JM Dalbarade - Paris Dauphine

25. Le marché obligataire • Les obligations à taux fixe • Amortissement in fine • Zéro-coupon, rente perpétuelle et prêt amortissable • Les obligations à taux variable • Références pré et post-déterminées • Les clauses particulières • Indexation, primes, obligations assimilables

26. Taux fixe coupon annuel 104 4 4 En l’absence de prime à l’émission et de prime au remboursement, le rendement actuariel est égal au taux du coupon (à démontrer…). Après l’émission, le prix se décompose en prix pied de coupon et coupon couru. 0 1 2 3 100

27. Exercice sur Excel Identifier sur Internet les caractéristiques d’un emprunt d’état français (OAT) et prélevez son cours et coupon couru. Calculer le taux de rendement actuariel, la duration, la sensibilité et la convexité.

28. Le prêt amortissable à taux fixe • A chaque période, une part du capital emprunté est remboursée • L’intérêt est calculé sur le capital restant dû (encours ou KRD) • Le total remboursé est la somme des intérêts payés et du capital « amorti ». Il peut être constant sur l’ensemble de la période de remboursement.

29. Exercice Un emprunt de 66 200 $ est remboursé en 3 annuités constantes de 26 620 $ pendant les 3 années suivantes. En construisant le plan d’amortissement du prêt, vérifiez que le taux d’intérêt est de 10 % ? Quel est le taux rendement actuariel du prêt ? Peut-on décomposer le prêt en 3 zéro-coupons ? JM Dalbarade

30. L’annuité de remboursement d’un prêt amortissable JM Dalbarade

31. La rente perpétuelle Le capital n’est jamais remboursé…

32. Les emprunts à taux variable Montants d'intérêt variables Références prédéterminées : Les taux sont prélevés avant le début de la période d'application (exemple : Euribor). Références post-déterminées : Les taux sont prélevés à la fin de la période d'application (exemple : TAM). Achat de l'emprunt

33. Les indices de taux d'intérêt • Euribor ( ou Libor ) Taux monétaires de 1 à 12 mois • Eonia ( TJJ ) Taux monétaire au jour le jour • TMM (T4M) Moyenne arithmétique des EONIA d'un mois • TAM Composition de 12 TMM consécutifs • TEC 10 Taux actuariel d'une OAT de 10 ans (obtenu par interpolation)

34. Les coupons des empruntsà taux variable A l'indice prélevé s'ajoute une marge commerciale • soit additive Exemple : Euribor + 0,5 % • soit multiplicative Exemple : 1,1 × TAM • soit mixte Exemple : 0,9 × TAM + 0,5 % Des seuils plafond et plancher peuvent être définis.

35. Le prix et le coupon des emprunts Quand les taux d’intérêt changent … … approximativement

36. Le risque associé à unemprunt à taux variable • Le risque "instantané" est très faible, limité à l'influence du premier coupon à recevoir. • Le risque relatif à un horizon futur est croissant avec cette date d'évaluation.

37. La marge actuarielle • Cristallisation • Tr = Rendement actuariel après cristallisation • Tc = Taux de cristallisation • Marge actuarielle Ma = Tr - Tc

38. La courbe des taux d'intérêt La courbe des taux d'intérêt est la représentation graphique des taux en fonction des durées sur lesquelles ils s'appliquent. • Pour que les comparaisons selon ces durées soient pertinentes, il convient d'utiliser des taux composés, par exemple des taux actuariels. • Pour que les durées d'application soient clairement définies, on ne retient que des opérations à deux flux, c'est-à-dire des emprunts zéro-coupon.

39. Actualisation sur la courbe des taux Fn F1 F2 t1 t2 . . . . . tn P La décomposition en emprunts zéro-coupon d'une structure de flux implique l'usage de taux d'intérêt différents prélevés sur la courbe des taux zéro-coupon.

40. Exercice A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, quel est le taux de référence (hors marge commerciale) d’un emprunt obligataire à taux fixe, coupon annuel, de durée 3 ans, émis et remboursé au pair ?

41. Calcul d'un taux à terme (1) Hypothèse: Taux zéro-coupon à 1an = 4 % Taux zéro-coupon à 2 an = 5 % Quel est le taux à terme à 1an dans 1an ? 1 Taux à terme ? 2 0 1 1 + i ?

42. Calcul d'un taux à terme (2) Opération de terme contre terme : • Le montant emprunté (sur 2 ans) est de 1/1,04 • Le montant produit par le placement sur 1an est alors de 1 • Le montant remboursé 1 an plus tard est donc ( 1/1,04 ) × 1,052 = 1,0601 Le taux à terme est donc de 6,01 % . 1 Placement à 4 % 0 Emprunt à 5 % 1 + i

43. La théorie des anticipations Le taux à terme, déduit de la courbe des taux, est le taux anticipé par le marché ( LUTZ ) . 4 % 6 % • Si le taux anticipé est inférieur à 6 % Emprunt à 4 % sur 1 an + Placement à 5 % sur 2ans • Si le taux anticipé est supérieur à 6 % Emprunt à 5 % sur 2 ans + Placement à 4 % sur 1an 0 1 2 5 % Le refinancement au taux du 1 an (1iercas) ou le replacement à 1an (2ème cas) assure un gain spéculatif.

44. Exemple d’une couverture à terme de taux d’intérêt Une entreprise doit emprunter dans 3 mois un montant de 10 000 000 € pour une durée de 6 mois. 10 000 000 € 6 mois 3 mois Taux d’intérêt ? Aujourd’hui 10 000 000 € + Intérêt ? Comment peut-elle fixer dès aujourd’hui le taux d’intérêt futur ?

45. Le terme contre terme L’entreprise qui souhaite emprunter dans 3 mois 10 000 000 € pour une durée de 6 mois peut : • Emprunter immédiatement sur une durée de 9 mois. • Placer temporairement sur une durée de 3 mois. Placement 3 mois 6 mois Emprunt sur 9 mois L'entreprise fixe ainsi le montant reçu dans 3 mois et le montant remboursé 6 mois plus tard, c'est-à-dire son taux à terme.

46. Le FRA(Forward Rate Agreement) • Date de conclusion …………………………...... • Acheteur et vendeur ……………………………. • Montant…………………………………………... • Période d’application ………………………....... • Taux fixe ……………………………………….... • Taux variable ………………………………........ • Date de détermination du taux variable ……...

47. Le FRA (questions) • Comment est calculé le différentiel ? • Comment est déterminé le taux fixe ? • Comment couvrir un FRA ?

48. Exercice A partir des taux zéro-coupon ci-dessous, calculer tous les taux à terme calculables sans interpolation, ni extrapolation… Mais au fait, combien y-a-t’il de taux à terme calculables ?

49. Interprétation de la courbe des taux Selon la théorie des anticipations : • Une courbe des taux normale (croissante) correspond à une anticipation de hausse des taux . • Une courbe des taux inversée (décroissante) correspond à une anticipation de baisse des taux .