Metingen met spreiding

1. Ik verricht N metingen meetresultaten: theorie: praktijk: Metingen met spreiding

2. Het gemiddelde Hoe goed lijkt het gemiddelde van een meetserie op de werkelijke waarde? Van belang zijn: • De spreiding in de metingen (hangt samen met de breedte van de p(x)-kromme) • Het totaal aantal metingen N

3. Spreiding in meetwaarden rond : is onbekend Spreiding in meetwaarden Standaarddeviatie van de losse metingen

4. Herhaling van de meetserie

5. Herhaling van de meetserie • Bij iedere nieuwe meetserie krijg je een nieuw (verschillend) gemiddelde • Als de losse metingen Gaussisch verdeeld zijn, zijn de gemiddelden dat ook • De verdeling van de gemiddelden is smaller dan die van de losse metingen

6. Verdeling van losse metingen en gemiddelden

7. Verdeling van losse metingen en gemiddelden theoretisch: praktijk:

8. Theorie vs. praktijk Kansdichtheid Histogram/(intervalbreedte * aantal metingen)

9. gemiddelde: verwachtingswaarde: standaardafwijking: standaardafwijking: Theorie vs. praktijk

10. ca. 68% van de metingen 68% kans Theorie vs. praktijk

11. hangt niet af van het aantal metingen in de meetserie kansverdeling voor gemiddelden hangt wel af van het aantal metingen in de meetserie kansverdeling voor losse metingen Het middelen van meetresultaten

12. N = 80 N = 40 N = 10 N = 20 N = 5 Hoe hangt m af van het aantal metingen?

13. wordt benaderd door • wordt benaderd door Onzekerheden •  is de onzekerheid in een losse meting • m is de onzekerheid in een gemiddelde

14. 68%-intervallen •  (S) is het 68%-onzekerheidsinterval in een losse meting •  is meestal niet bekend • S kun je alleen maar bepalen via een meetserie • m (Sm) is het 68%-onzekerheidsinterval in het gemiddelde • Sm kun je bepalen uit één meetserie

15. Een opgave (tentamen 2000) Een fabrikant maakt kogels voor kogellagers. Wanneer hij ze verkoopt, moet hij natuurlijk de diameter opgeven en de onzekerheid daarin. Hij heeft een partij waarvan bij meting blijkt dat de diameters een normale (Gaussische) verdeling hebben. Omdat hij 68%-betrouwbaarheid niet nauwkeurig genoeg vindt, geeft hij 95%-betrouwbaarheid op (2S-gebied). Om een waarde voor de diameter op te kunnen geven en de onzekerheid, meet hij 10 verschillende kogels zeer precies op. De resultaten van deze metingen zijn: 4.995 - 5.004 - 4.998 - 5.001 - 4.989 - 5.007 - 5.001 - 5.001 - 4.999 - 5.004 mm. De onzekerheden in deze individuele metingen zijn verwaarloosbaar. Welke waarde geeft hij op voor de diameter van de kogels en wat voor de onzekerheid in de diameter? Geef aan hoe deze waarden worden berekend (formules geven). Hint: de kogels worden los verkocht en iedere kogel moet voldoen aan de opgegeven specificaties.

16. Oplossing De onzekerheid in 1 kogel wordt gegeven door

17. 1 4.995 -0.0049 2.401 10-5 2 5.004 0.0041 1.681 10-5 3 4.998 -0.0019 0.361 10-5 4 5.001 0.0011 0.121 10-5 5 4.989 -0.0109 11.881 10-5 6 5.007 0.0071 5.041 10-5 7 5.001 0.0011 0.121 10-5 8 5.001 0.0011 0.121 10-5 9 4.999 -0.0009 0.081 10-5 10 5.004 0.0041 1.681 10-5 Ingewikkelde manier : 49.999 2.349 10-4

18. Conclusie diameter van de kogels:

19. Iets simpeler manier

20. 1 4.995 24.9500 24.95003 2 5.004 25.04002 25.0400 3 4.998 24.98000 24.9800 4 5.001 25.01000 25.0100 5 4.989 24.89012 24.8901 6 5.007 25.0700 25.07005 7 5.001 25.0100 25.01000 8 5.001 25.0100 25.01000 9 4.999 24.99000 24.9900 10 5.004 25.04002 25.0400 Iets ‘simpeler’ manier , maar wel gevaarlijk AFRONDINGSFOUTEN 49.999 249.9901 249.99024

21. Gebruik de toetsen en n-1 van je rekenmachine Simpelste methode

22. gemeten zijn berekend wordt vraag: wat is ? antwoord: Rekenregels voor 68%-intervallen Algemene rekenregel:

23. Voorwaarden • Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn • Onzekerheden moeten klein zijn

24. Speciale gevallen optellen van gemeten grootheden: aftrekken van gemeten grootheden: vermenigvuldigen van gemeten grootheden: delen van gemeten grootheden:

25. is de onzekerheid in één losse meting is de onzekerheid in het gemiddelde is de onzekerheid in is de onzekerheid in Allerlei onzekerheden

26. Voorbeeld: gevonden wordt Het is erg als de afrondingsfout Waar is dat nou goed voor? afronding van meetresultaten We ronden dit af naar 0.4. Bij wat voor meetserie is dat erg?

27. Een opgave (tentamen 2000) In sommige gevallen is een 68%-interval niet nauwkeurig genoeg. Er is immers nog steeds 32% kans dat de werkelijke waarde van de onderzochte grootheid buiten dit gebied ligt. Als alternatief wordt dan ook vaak twee maal de standaardafwijking van het gemiddelde (dus 2Sm) als onzekerheid opgegeven. Dit is dan het 95%-interval. Laat zien dat de algemene rekenregel voor deze 95%-intervallen gelijk is aan die voor 68%-intervallen.

28. invullen Oplossing algemene rekenregel voor 68%-intervallen: definieer 95%-intervallen:

29. Een opgave (hertentamen 1999) De grootte van een (onbekende) weerstand R wordt gemeten door er een spanning V over aan te leggen en de stroom I te meten. De aangelegde spanning V is 3 Volt en erg (oneindig) nauwkeurig bekend. De stroom I wordt 10 keer gemeten en er blijkt spreiding te zitten in de meetresultaten. Uit deze metingen wordt berekend . Hoeveel metingen moeten extra worden verricht om de weerstand met een relatieve nauwkeurigheid van 5% te kunnen bepalen? Merk op dat we hier 68%-intervallen hebben.

30. R wordt berekend via omdat in V geen onzekerheid zit, wordt de onzekerheid SR in R gegeven door Deze relatieve onzekerheid moet 0.05 (=5%) worden, dus keer zo nauwkeurig . Oplossing Er moeten dat 1.742=3.03 keer zoveel metingen worden verricht. Dus totaal 31 metingen nodig, dus nog 21 extra metingen.