Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ - USS

1. RAZÃO DE OURO OU NÚMERO DE OURO Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ - USS

2. INTRODUÇÃO • Durante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais. • Também devem se ter perguntado qual é a relação entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo. • Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma parte seja igual a ¾ da outra...podemos até dizer que podemos fazer qualquer partição ou divisão de um objeto.

3. Na antiguidade clássica, o grego Platão observou uma forma de dividir um segmento de uma forma harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “A Seção”.

4. Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma de se fazer essa divisão harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “Seção Áurea”. Euclides

5. Euclides escreveu em seus “Elementos”: “Para que um segmento seja dividido em seção áurea, a razão entre o segmento e a parte maior deve ser igual à razão entre a parte maior e a parte menor.”

6. Vamos agora ver como foi que Euclides definiu tal divisão: Temos um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes iguais: AC e CB. Vamos supor que AC > CB. Euclides descobriu que essa divisão mais harmoniosa à vista ocorre quando a razão entre o segmento todo e a parte maior é a mesma que existe entre a parte maior e a parte menor.

7. O Partenón, templo dos Deuses Gregos • Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega.

8. Vamos agora determinar o valor dessa razão áurea, conhecida como número de ouro. • Para essa determinação vamos usar a definição de Euclides, associada à uma equação do segundo grau.

9. a b • Vamos representar o segmento AB e as partes da divisão da seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. • CB = b é o segmento menor dessa divisão. • Pela definição de Euclides, teremos:

10. Pelo teorema fundamental das proporções, teremos: Ou ainda:

11. Vamos resolver essa equação na incógnita b. Arrumando seus termos, teremos:

12. Aplicando a fórmula de Báskara, teremos: operando,

13. ou ainda: Colocando o termo a em evidência, teremos: Ou dividindo amos os membros da igualdade por a:

14. Ou ainda, invertendo a razão obtida:

15. Temos duas soluções: ou

16. Como sabemos que , é um número irracional e maior que 1 Teremos: É um número POSITIVO É um número NEGATIVO Como estamos lidando com medidas de segmentos de reta, a solução negativa não nos interessa.

17. O número vale, aproximadamente 2,236067… logo: Este valor, que se chama razão ou número de outro, ficou representado pela letra grega (phi). (se pronuncia Fi) Essa escolha foi uma homenagem ao escultor e arquiteto grego Fídeas, que construiu o Partenon usando a razão de ouro.

18. A razão entre a distância do umbigo aos pés e a distância da cabeça ao umbigo é o número de ouro . Da mesma forma, a razão entre a altura do homem e a distância do umbigo aos pés é também esse mesmo número. ONDE ENCONTRAMOS A RAZÃO DE OURO? O Homem Vitruviano -Leonardo Da Vinci-

19. Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:

20. Já conhecemos o valor da razão áurea; • Já sabemos dividir um segmento na razão de ouro; • Podemos também construir qualquer figura geométrica onde exista também essa razão; • Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a mais famosa dessas formas que é o RETÂNGULO DE OURO.

21. CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO DE OURO • Um retângulo de ouro é simplesmente um retângulo cuja razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro  a b

22. COMO PODEMOS CONSTRUÍ-LO?

23. Quer ver a justificativa matemática?

25. Geralmente os retângulos usados na fabricação dos cartões de crédito são retângulos de ouro, ou seja, a razão entre o lado maior e o menor é igual a . Onde podemos encontrar o número de ouro? Na vida cotidiana: Também são bem próximas do retângulo de ouro algumas telas das modernas TVs de LCD.

26. A RAZÃO DE OURO NA ARTE Seção Áurea - Mondrian- Mona Lisa -Leonardo Da Vinci-

27. Duas composições com retângulos de ouro de Piet Mondrian

28. Sir Theodore Cook (séc. XIX) descobriu uma escala simples de divisões áureas aplicável à figura humana, que se encaixa surpreendentemente bem nas obras de alguns pintores, como Boticelli. Em muitas obras de artistas do Renascimento eles usaram a razão de ouro. O nascimento de Venus -Boticelli-

29. Há muitos outros exemplos do uso do retângulo de ouro nas artes. Ele era mesmo usado para a divisão espacial da área onde a obra era pintada. Temos um belo exemplo dessa divisão espacial em “O martírio de São Bartolomeu”, do espanhol Ribera.

30. Em Monumentos e arquitetura O Partenón Os gregos usaram a razão áurea como base arquitetônica de monumentos e prédios em honra de seus Deuses. O Partenón, templo dos Deuses gregos Na fachada do Pártenon temos um retângulo de ouro.

31. 4) Na natureza • A espiral maravilhosa – Existe, por exemplo, na concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de circunferência concordantes, construídos a partir de sucessivos retângulos de ouro.

32. Na natureza: Na concha do cefalópode marinho Nautilus