Números Negativos

1. Números Negativos Escola EBI de INSUA 7ºAno

2. Os Números Negativos Operações com números inteiros relativos

3. Origem e Evolução dos Números • Os números nasceram da necessidade de contar coisas, sendo os símbolos numéricos usados para registar resultados de contagens. Podemos imaginar o homem primitivo a contar as cabras do seu rebanho e a registá-las através de marcações em ossos ou em troncos de árvores. Desta forma se controlavam pequenas quantidades.

4. Origem e Evolução dos Números (cont.) • Com a evolução das sociedades, tornou-se necessário representar números maiores. Por exemplo: Significava 1 Significava 5 Significava 20 (20 dedos de uma pessoa)

5. Origem e Evolução dos Números (cont.) • No sistema de numeração actual, usamos apenas 10 símbolos: 2 4 5 6 7 8 9 0 1 3 Estes símbolos (algarismos) ocupam as posições adequadas para formar os diferentes números. Com apenas 10 símbolos pode escrever-se qualquer número, por maior que seja, e mesmo os grandes números se escrevem com poucos algarismos.

6. Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ? Os Números Negativos • Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar. Aperceber-te-ás, então, que os números naturais (1,2,...) não são suficientes para representar os movimentos do elevador, sendo necessário recorrer a outros números - os negativos.

7. Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ... Cabeleireiro ? 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ?

8. Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Qual te parece ser o andar do ginásio? Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio ? -1 Garagem ? Lavagem Automática ?

9. Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 E o andar da garagem? Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 Garagem ? -2 Lavagem Automática ?

10. Os Números Negativos (cont.) Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 E o da estação das lavagens automáticas? Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 Garagem -2 Lavagem Automática ? -3

11. Os Números Negativos (cont.) Serão os números naturais os mais adequados para os andares subterrâneos? Apartamento 4 Escritórios 3 Algumas situações não se podem exprimir somente com os números naturais. A partir de agora utilizaremos uns novos números que nos resolvem o problema: Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 -1 os números negativos Garagem -2 -2 Lavagem Automática -3 -3

12. Os Números Negativos (cont.) • Chamamos números negativos a todos os que estão abaixo de zero. • Os números negativos escrevem-se com o símbolo menos antes. • Assim os diferenciamos dos positivos. -1 -5, -4, -3, ..., -2, Quando um número não leva sinal nenhum antes, entendemos que é positivo: 5=+5 +16=16

13. Os Números Negativos (cont.) • Quando se efectuam operações com números negativos, estes escrevem-se entre parêntesis: 8 + (-3) O número positivo 8 a somar com o número negativo –3. (-5) x (-2) O número negativo –5 a multiplicar com o número negativo –2. Mais adiante aprenderás a obter o resultado destas operações.

14. Os Números Negativos (cont.) • NOTA Os números que se escrevem com o sinal + são os números positivos. Exemplos: +3; +2; +1,99; ... Os números que se escrevem com o sinal - são os números negativos. Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ... É costume chamar números relativos aos números positivos, aos números negativos e ainda ao zero. Representa-se por Z o conjunto dos números inteiros relativos.

15. A Utilidade dos Números Positivos e Negativos • 1. Do andar em que se encontra o elevador do edifício, posso subir a pisos superiores ou descer a outros pisos inferiores: • Subo cinco andares: +5 - 4 • Desço quatro andares:

16. A Utilidade dos Números Positivos e Negativos • 2. O saldo de uma conta do banco aumenta (+) com os depósitos e diminui (-) com os levantamentos. • A Carminho tem vinte euros: + € 20 • O Ernesto deve três euros: - € 3

17. A Utilidade dos Números Positivos e Negativos • 3. O termómetro pode marcar uma temperatura acima de zero (+8) ou abaixo de zero (-5).

18. A Utilidade dos Números Positivos e Negativos • 4. O número de pessoas que viajam num autocarro varia em cada paragem: • Sobem 10 pessoas: + 10 pessoas • Descem 14 pessoas: - 14 pessoas

19. O 1 r Representação na Recta • Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos. e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem. Consideremos uma recta r Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita). Desta maneira obtemos um eixo. - +

20. A B - - + + O +1 O +1 +5 -3 Representação na Recta • Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O. Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

21. A B - + +5 O +1 -3 Representação na Recta • O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto. A abcissa de B é -3 A abcissa de A é +5 A origem tem abcissa zero. Nota: O Eixo é uma recta orientada .

22. 2 3 4 5 0 1 -1 -2 -3 Cada vez maior Ordenação • Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados. • Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

23. -1 1 0 5 -2 3 2 -3 4 Ordenação • Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos: + 5 > + 2 Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever: + 2 < + 5 a > b Isto é, é o mesmo que b < a

24. Ordenação • Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes: • Qualquer número positivo é maior do que zero. + 0,012 > 0 • Zero é maior que qualquer número negativo. 0 > - 35 • Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo. +1 > - 35 + 0,5 > - 100 ;

25. 2 3 A 4 5 0 1 -1 -2 B -3 Valor Absoluto (ou Módulo) • Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2. 2 3 A distância do ponto A à origem é 3. A distância do ponto B à origem é 2. A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

26. +3 = 3 -2 = 2 0 = 0 Valor Absoluto (ou Módulo) • Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos: Portanto, temos ainda que Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número. Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

27. +3 = 3 -2 = 2 0 = 0 Valor Absoluto (ou Módulo) • NOTA O valor absoluto de um número é: • O próprio número, se ele for positivo ou zero. • O seu simétrico, se ele for negativo.

28. -4 = 4 1 2 3 4 -1 0 -2 -3 -4 Números Simétricos • Relativamente à origem da recta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância. Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja, Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

29. - 0,3 = 0,3 1 = -1 0 = 0 Números Simétricos • Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto. Exemplos de números simétricos: - 0,3 e 0,3 porque 1 e - 1 porque Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

30. Números Simétricos • Observação 1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem). Exemplos: + 0,5 > + 0,1 + 100 > + 40 2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem). Exemplos: - 3 > - 50 - 0,01 > - 10

31. Números Simétricos • Propriedade O simétrico do simétrico de um número é o próprio número. Exemplos: - (- 3) = + 3 - (- a) = + a = a Esta propriedade permite simplificar expressões como: - (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8 - (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8

32. 1 2 3 4 -1 0 -2 -3 -4 Números Simétricos • Simplificação da escrita Na recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de +1,+2,+3,... Também: + (+ 8) = + 8 + (- 8) = - 8 Não é obrigatório escrever o sinal +

33. Números Simétricos • Concluindo • Valor absoluto da abcissa de um ponto é a distância à origem. • Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários são números simétricos. - (- a) = + a = a ; - (+a) = - a + (- a) = - a ; + (+a) = + a = a

34. -3 -4 1 2 3 4 -1 0 -2 > maior < menor Números Simétricos • Nota Na recta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor. -2 é maior que - 4 - 2 > - 4 2 é maior que - 1 ou - 1 é menor que 2 2 > - 1 - 1 < 2

35. Números Inteiros Relativos • Na Natureza encontramos 1 árvore, 2 árvores, 3 árvores, ... Os números 1,2,3,... são os números naturais. O conjunto dos números naturais representa-se pela letra maiúscula N com um traço, para distinguir da letra normal. IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...} INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0} é o conjunto dos números inteiros não negativos.

36. Z INo C Números Inteiros Relativos • Como já sabes, existem números negativos, simétricos dos números naturais. Os números naturais, os seus simétricos e o zero, formam um novo conjunto: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros relativos. IN C INo C Z IN INo Z Significa “está contido” Significa “contém”

37. - 4Z -1IN O símbolo Significa pertence O símbolo Significa não pertence INo ={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos} Z IN = IN ={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos} 1.Exemplo 2.Os símbolos (intersecção) e (reunião) onde, ;

38. c) 4 Z; e) 0 INo ; a) -1IN; f) 0 Z. b) -3 Z ; d) -3IN; Z a) ; b) ; Números Inteiros Relativos • Exercícios: Usando os símbolos ou completa: C 2.2 Complete usando os símbolos C ou : C C