Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 w Szczecinie • Gimnazjum nr 41 w Poznaniu • ID grupy: • Międzyszkolna Grupa Projektowa • 98/91_G1 • 98/14_G2 Opiekun: • P. Halina Opala • P. Elżbieta Fietz • Kompetencja: • Matematyczno -fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: • 1 / 2010/2011

3. Liczba Pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

4. Liczby naturalne Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki zwanego finityzmem jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka, to liczby naturalne. Słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka. To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. Za konkretnym stanowiskiem decydują często przypadki szczególne, takie jak uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp.

5. Liczby całkowite Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

6. Liczby wymierne Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest w szkole symbolem W, a w matematyce wyższej symbolem Q. Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne. Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub okresowe.

7. Liczby niewymierne Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095  50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193  85211 05559 64462 29489 54930 38196...

8. Liczby rzeczywiste Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych. Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.

9. Liczby zespolone Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x2 + 1(innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i2 = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a, b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

10. Liczby sfeniczne Liczby sfeniczne (gr. sphen = klin) to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych. Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie 8 dzielników. Jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako , gdzie p, q i r są różnymi liczbami pierwszymi, wtedy zbiór dzielników n będzie równy: . Wartość funkcji Möbiusa każdej liczby sfenicznej to −1. Kolejnymi liczbami sfenicznymi są: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195,... (ciąg A007304 w OEIS) Największą znaną liczbą sfeniczną jest (243112609 − 1) × (242643801 − 1) × (237156667 − 1), czyli iloczyn trzech największych znanych liczb pierwszych(stan na luty 2010).

11. Liczby porządkowe Liczby porządkowe – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków). Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna. Liczba porządkowa to zbiór α, taki że (i) każdy element jest podzbiorem α (tzn ), oraz (ii) każde dwa elementy zbioru α są porównywalne w relacji inkluzji (tzn ). Równoważnie, liczba porządkowa to taki zbiór α, który spełnia warunek (i) sformułowany powyżej i jest dobrze uporządkowany przez relację należenia (tzn jest dobrym porządkiem). Dla liczb porządkowych α i β napiszemy α < β jeśli

12. Liczby bliźniacze Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych. Największe znane dziś liczby bliźniacze to 16869987339975 · 2171960 ± 1; W 1919 norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny. Może być to spowodowane tym, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele – jeśli tak nie jest, znaczyłoby to, że są "rzadko" rozłożone w zbiorze liczb naturalnych. Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 109 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca sie na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza. Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31). Oto niektóre takie liczby : 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13

13. Liczby grassmanowskie Liczby grassmanowskie to obiekty należące do algebry ze zdefiniowanym dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, bardzo podobnej do algebry liczb rzeczywistych, jednak mnożenie w niej jest antyprzemienne.  Dodawanie liczb grassmanowskich jest łączne i przemienne. Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Istnieje element neutralny dodawania (grassmanowskie zero).  Mnożenie liczb grassmanowskich jest łączne, ale antyprzemienne. W szczególności kwadrat każdej liczby wynosi zero. Nie obowiązuje prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia. Nie istnieje element neutralny mnożenia.  Można połączyć algebrę liczb grassmanowskich z algebrą zwykłych liczb rzeczywistych. Zero grassmanowskie utożsamia się z zerem rzeczywistym. Iloczyn liczby rzeczywistej i grassmanowskiej definiuje się podobnie, jak mnożenie wektorów przez skalar. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania liczb grassmanowskich. Sumę liczby grassmanowskiej i rzeczywistej traktuje się jak wielomian.

14. Nadrzeczywiste • (ang. surreal numbers) – klasa obiektów, spełniająca aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste, jak i porządkowe. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona N0, jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem poniżej użyty został symbol F. •  Trójka jest systemem liczb nadrzeczywistych, jeśli: • < jest porządkiem liniowym w F • b (tzw. funkcja urodzinowa) jest funkcją określoną w F, o wartościach będących liczbami porządkowymi. • Niech A i B będących podzbiorami F, takimi że . • Wówczas istnieje , takie że:   • i jeśli liczba porządkowa a jest większa od każdego b(u) dla , to .  • Funkcja urodzinowa reprezentuje w pewnym sensie kolejne generacje liczb nadrzeczywistych. • Konstrukcja liczb nadrzeczywistych [edytuj] • Ich konstrukcja oparta jest na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda, zastosowanej przy konstrukcji liczb rzeczywistych. • Klasa liczb nadrzeczywistych wraz z porządkiem liniowym i funkcją urodzinową jest tworzona etapami, metodą indukcji pozaskończonej. • W każdym etapie tworzone liczby nadrzeczywiste są parami zbiorów (L,R) liczb nadrzeczywistych utworzonych wcześniej, przy czym żadna liczba należąca do L nie jest większa lub równa żadnej liczbie należącej do R a wartość funkcji urodzinowej liczby (L,R) jest większa od wartości funkcji urodzinowej dla każdej liczby w L i R.

15. Liczby Bernoulliego • Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako , gdzie jest numerem porządkowym liczby, k = 0,1,2..., wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce "Ars Conjectandi" (wydanej po śmierci autora w roku 1713).Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 110 + 210 + 310 + ... + 100010 "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb. • Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza i starsza - , powoli wychodząca z użycia. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji #1 oznaczymy przez Bk, a według definicji starszej (Definicja #2) - przez Przy tym liczby stanowią podzbiór właściwy liczb Bk

16. Liczby p-adyczne Liczby p-adyczne (gdzie p jest liczbą pierwszą) - alternatywne wobec liczb rzeczywistych uzupełnienie ciała liczb wymiernych za pomocą konstrukcji ciągów Cauchy'ego.  Jedna z konstrukcji liczb rzeczywistych jest wykonywana przez zinterpretowanie liczby rzeczywistej jako zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych które zbiegają do tej samej granicy. Ściślej w zbiorze ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych wprowadzamy relację równoważności ˜:

17. Liczby czworościenne Liczby czworościenne to liczby naturalne k, dla których możliwe jest skonstruowanie czworościanu formnego z k kul, tak jak na rysunku obok. Są szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych. Kolejnymi liczbami czworościennymi są :1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, ... n-ta liczba czworościenna jest to suma n początkowych liczby trójkątnych. n-tą liczbę czworościenną można wyznaczyć ze wzoru . Suma odwrotności kolejnych liczb czworościennych: A.J.Meyl udowodnił w 1878, że istnieją tylko 3 liczby czworościenne będące kwadratami liczb naturalnych: T1 = 1² = 1 T2 = 2² = 4 T48 = 140² = 19600  Zbiór liczb czworościennych i trójkątnych ma tylko 5 elementów wspólnych i są nimi: T1 = Trójkątna 1 = 1 T3 = Trójkątna 4 = 10 T8 = Trójkątna1 5 = 120 T20 = Trójkątna55 = 1540 T34 = Trójkątna119 = 7140

18. Liczby cullena W matematyce liczbami Cullena nazywamy liczby naturalne postaci n · 2n + 1 (oznaczane przez Cn). Jako pierwszy liczby te badał James Cullen w 1905 roku. Zostało wykazane, że istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Cullena. Jedyne odkryte dotychczas liczby pierwsze Cullena to liczby Cn dla n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548 (ciąg A005849 w OEIS). Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Cullena.  W Kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n = 1354828.  Liczba CullenaCn dzieli się przez p = 2n - 1 jeżeli p jest liczbą pierwszą postaci 8k - 3. Co więcej, na podstawie małego twierdzenia Fermata, jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 2, to p dzieli Cm(k) dla każdego m(k) = (2k − k) · (p − 1) − k (dla k > 0). Pokazano też, że liczba pierwsza p dzieli C(p + 1)/2 kiedy symbol Jacobiego (2 | p) wynosi -1, oraz że p dzieli C(3p − 1)/2 kiedy symbol Jacobiego (2 | p) wynosi +1.  Nie wiadomo czy istnieje taka liczba pierwsza p, że Cp też jest liczbą pierwszą. Czasami definiuje się uogólnione liczby Cullena jako liczby postaci n · bn + 1, gdzie n + 2 > b. Jeżeli liczbę pierwszą można zapisać w tej postaci, to nazywa się ją uogólnioną liczbą pierwszą Cullena. Liczby Woodalla są czasem nazywane liczbami Cullena drugiego rodzaju.

19. Systemy zapisywania liczb • Systemem liczbowym nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Ze względu na sposób zapisu można je podzielić na dwie grupy:1) Systemy pozycyjne2) Systemy niepozycyjne (addytywne)..

20. Systemy pozycyjne Są to systemy, w których wartość liczbowa cyfry zależy od jej umiejscowienia (pozycji) w liczbie. Ilość różnych cyfr systemu nazywa się jego podstawą. Nazwijmy ją q. Wtedy zapisakak-1...a1a0 ma wartość liczbową a0+a1q+a2q2+...+akqk, gdzie a0, a1,. .., ak są cyframi, a kolejne potęgi podstawy systemu q nazywa się rzędami. .

21. Systemy pozycyjne o podstawie mniejszej niż 10 • W systemie dwójkowym (zwanym też binarnym) używa się cyfr: 0 i 1 (dwóch, bo tyle wynosi wartość q dla tego systemu).1011(2) = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20Analogicznie w innych systemach:10221(3) = 1 x 34 + 0 x 33 + 2 x 32 + 2 x 31 + 1 x 30,3341(5) = 3 x 53 + 3 x 52 + 4x 51 + 1 x 50,54360(6) = 5 x 74 + 4 x 73 + 3 x 72 + 6 x 71 + 0 x 70, itd.Należy zaznaczyć, że liczby zachowują swoje własności bez względu na to, w jakim układzie rachunkowym są napisane: liczby pierwsze pozostają pierwszymi, liczby złożone - złożonymi; podzielne przez 3 - podzielnymi przez 3 itd.

22. Systemy pozycyjne o podstawie większej niż 10 W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie większej od 10 do zapisu liczb wprowadza się nowe znaki na oznaczenie dodatkowych cyfr. Najbardziej popularnym z nich jest system szesnastkowy (zwany heksadecymalnym), gdzie oprócz cyfr 0, ..., 9 używa się liter A,. .., F; przy czym A= 10, B= 11, C= 12, D= 13, E= 14, F= 15.Przykład:4F(16) = 4 x 161 + 15 x 160,DFD(16) = 13 x 162 + 15 x 161 + 13 x 160, itd.

23. System dwójkowy Dwójkowy system liczenia jest powszechnie stosowany w komputerach, ponieważ cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie:a) w przewodniku płynie prąd (cyfra 1), nie płynie (cyfra 0),b) cyfry 0 i 1 można łatwo interpretować jako wartości logiczne zdań: 1- zdanie prawdziwe, 0 - zdanie fałszywe,c) algorytmy działań w systemie dwójkowym są prostsze niż w innych systemach.Z tego względu wszystkie urządzenia liczące przechodzą od zapisu liczb w systemie dziesiątkowym do zapisu binarnego; po wykonaniu obliczeń następuje ponowna zamiana na system dziesiątkowy

24. Systemy niepozycyjne W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Do takich systemów należą: hieroglificzny, alfabetyczny i najbardziej znany rzymski, którego znaki używane są często do zapisywania miesięcy. e) f) każdą z liczb 4, 9, 40, 90, 400, 900 zapisujemy pisząc mniejszą liczbę przed większą i odejmując tę mniejszą od większej: IV = 5 - 1 = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400,CM = 900,g) każdy z zapisów: IV, IX, XL, XC, CD, CM w zapisie jednej liczby może być użyty tylko jeden raz, np.MCM = 1000 + (1000 - 100) = 1900,

25. MXC = 1000 + (100 - 10) = 1090.Nieprawidłowe są więc zapisy:IVIV = (5 - 1) + (5 - 1) = 8XM = 1000 - 10 = 990System rzymski przetrwał do dziś, natomiast hieroglificzny system był używany w starożytnym Egipcie, a starożytni Grecy używali alfabetycznego systemu liczbowego.W hieroglificznym systemie liczbowym liczby oznaczano hieroglifami; był to system oparty na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera.

26. W alfabetycznym systemie liczbowym liczby oznaczone są literami alfabetu. System ten też jest oparty na zasadzie dziesiętnej i bez zera.Na całym świecie ludzie liczą w systemie dziesiątkowym. Stało się to za pewne dlatego, że posiadamy dziesięć palców u rąk i tyleż u nóg. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne plemiona i narody posługiwały się innymi systemami. Np. system dwójkowy spotykano (co prawda w bardzo niedoskonałej formie) u niektórych plemion Australii i Polinezji, układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce. Występował on również w języku Wedau na Nowej Gwinei. Starożytni Majowie (I w. p.n.e.) używali układu dwudziestkowego.

27. Pozostałość niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego. Np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. Dzień i noc mają po 12 godzin. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.

28. System rzymski System ten nie zawiera zera, jest oparty na zasadzie piątkowej i zawiera specjalne znaki:   I,  V,  X,  L,  C,  D,  M, które oznaczają kolejno:  1,  5,  10,  50,  100,  500,  1000. Używając tych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999 według następujących reguł:a) zaczynamy od znaków oznaczających największą liczbę, a następnie piszemy coraz mniejsze liczby,b) obok siebie mogą być zapisane najwyżej trzy identyczne znaki spośród: I, X, C lub M,c) obok siebie nie mogą być zapisane dwa identyczne znaki spośród: V, L lub D,d) wartości znaków sumujemy, np. CXXIII = 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 123

29. System rzymski • Według tych zasad nie można zapisać liczb: 4, 9, 40, 90, 400, 900. Dla tych liczb obowiązują dodatkowe reguły, stanowiące wyjątek od reguły a):f) każdą z liczb 4, 9, 40, 90, 400, 900 zapisujemy pisząc mniejszą liczbę przed większą i odejmując tę mniejszą od większej: IV = 5 - 1 = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400,CM = 900,g) każdy z zapisów: IV, IX, XL, XC, CD, CM w zapisie jednej liczby może być użyty tylko jeden raz, np.MCM = 1000 + (1000 - 100) = 1900,MXC = 1000 + (100 - 10) = 1090.Nieprawidłowe są więc zapisy:IVIV = (5 - 1) + (5 - 1) = 8XM = 1000 - 10 = 990

30. INNE SYSTEMY ZAPISYWANIA LICZB System rzymski przetrwał do dziś, natomiast hieroglificzny system był używany w starożytnym Egipcie, a starożytni Grecy używali alfabetycznego systemu liczbowego.W hieroglificznym systemie liczbowym liczby oznaczano hieroglifami; był to system oparty na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera.W alfabetycznym systemie liczbowym liczby oznaczone są literami alfabetu. System ten też jest oparty na zasadzie dziesiętnej i bez zera. Na całym świecie ludzie liczą w systemie dziesiątkowym. Stało się to za pewne dlatego, że posiadamy dziesięć palców u rąk i tyleż u nóg. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym

31. TROCHĘ HISTORII System dwójkowy spotykano (co prawda w bardzo niedoskonałej formie) u niektórych plemion Australii i Polinezji, układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce. Występował on również w języku Wedau na Nowej Gwinei. Starożytni Majowie (I w. p.n.e.) używali układu dwudziestkowego. Pozostałość niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego. Np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. Dzień i noc mają po 12 godzin. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków

32. RÓŻNE SPOSOBY ZAPISYWANIA LICZB UŁAMKI:::::::: a) ułamki zwykłe b) ułamki właściwe c) ułamki niewłaściwe d) ułamki nieskracalne e) ułamki dziesiętne f) ułamki okresowe 5. liczby niewymierne 6. liczby rzeczywiste 7. liczby przeciwne i liczby odwrotne

33. sudoku Historia Łamigłówka przeszła wiele mutacji. Dzisiejsze sudoku pojawiło się po raz pierwszy w Japonii w 1986 roku, jednak międzynarodową sławę zyskało dopiero w 2005 roku. W 2004 oraz 2005 r. sudoku stało się niezwykle popularne w Wielkiej Brytanii dzięki publikacjom łamigłówki w tamtejszych gazetach. Modę na sudoku zapoczątkował „The Times” 12 grudnia 2004 r. W Polsce sudoku (pod obecną nazwą) jako pierwszy opublikował tygodnik „Polityka” (15 czerwca 2005 r.), kolejne były „Angora”, „Przyjaciółka” , „Gazeta Wyborcza”, „Przegląd”, „Focus”. Gra ta jednak ukazywała się już wcześniej w polskiej prasie m.in. w „Wiedzy i Życiu” pod nazwą „Dziewięć na dziewięć”. Pierwsza polska strona o Sudoku powstała w sierpniu 2005 roku. Obecnie zawiera ponad 200 tys. plansz.

34. Metody rozwiązywania • Metody rozwiązywania • W przeciwieństwie do innych łamigłówek sudoku nie wymaga od gracza wykonywania żadnych rachunków matematycznych, dzięki czemu wydaje się banalna. W rzeczywistości bez cierpliwości oraz umiejętności logicznego myślenia rozwiązanie diagramu nie jest możliwe. • Do diagramu cyfry wpisywać należy jedynie w miejsca, gdzie cyfra na pewno powinna się znajdować. Niepewne miejsca można tylko zanotować lub zaznaczyć, by uniknąć kreślenia i poprawek.

35. Metoda pierwsza Polega na znajdowaniu miejsca, gdzie w obrębie małego kwadratu 3x3 pasuje dana cyfra na zasadzie eliminacji rzędów i kolumn, w których ta cyfra znajduje się w innych kwadratach. Diagram 1 - cyfrę 4 wpisać można tylko w jedno pole środkowego dolnego kwadratu (oba pozostałe rzędy są już zajęte). Diagram 2 - bardziej skomplikowany przypadek, znalezienie miejsca dla cyfry 3. Cyfra 3 pasuje w dwa miejsca w środkowym dolnym kwadracie. Pozwala to na wyeliminowanie tego rzędu (cyfra 3 musi znaleźć się w tym rzędzie, niezależnie czy na polu po lewej czy po prawej), więc w prawym dolnym kwadracie dwa rzędy są zajęte. Jedną kolumnę zajmuje wpisana już cyfra 3, więc pozostaje jedyne pole gdzie można wpisać cyfrę 3.(to obok 8) Diagram1 Diagram2

36. Metoda druga Polega na dopełnianiu rzędu, kolumny lub kwadratu 3x3 cyframi od 1 do 9. Diagram 3 - w dolnym rzędzie brakuje już tylko dwóch cyfr, Łatwo sprawdzić, że są to 1 i 7. Do drugiego pustego pola od lewej pasuje tylko cyfra 1, ponieważ w tej kolumnie już znajduje się cyfra 7. Cyfra 7 natomiast powinna się znaleźć w pierwszym pustym polu po lewej. Diagram 4 - w pewnym momencie można dopełnić cały kwadrat, dla przykładu lewy dolny. Cyfra 2 pasuje tylko do środkowej kolumny, cyfra 6 tylko do środkowego rzędu. Do tego gdzie umiejscowić cyfrę 9 można w tym przypadku dojść na dwa sposoby: • bo jest to ostatnia cyfra jaka pozostała do wpisania w tym kwadracie • bo nie można tam wpisać ani cyfry 2 ani cyfry 6 Diagram3 Diagram4

37. Metoda trzecia Jest to metoda wymagająca "bazgrania" po diagramie. Polega ona na stawianiu w odpowiednim miejscu kratki kropek-podpowiedzi. Kropki stawia się tak, by jasno określić cyfrę - patrz Diagram 5.

38. Prymitywne sposoby liczenia • Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze żadnego pisma i ich mowa była jeszcze stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa (np. 5 = 2,2,1). Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele. Nie znaczy to jednak, że plemiona te nie potrafiły zrozumieć i pojąć większych liczb, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników. Ludzie oceniali wtedy „na oko”. Myśliwi potrafili na przykład określić ile zwierzyny złowili.

39. Prymitywne sposoby liczenia c.d. • Ludziom tej epoki nie można jednak przypisać znajomości pewnych liczb w tym sensie, jak to dziś rozumiemy. Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd., ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym (a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko). Pojecie liczby nie związanej ze zbiorem pewnych przedmiotów powstało znacznie później. Zasadniczą rolę odegrały tu równoliczne zbiory przedmiotów, a więc takie zbiory, których wszystkie przedmioty dają się zestawić „parami”: np. 5 krów i 5 koni – zestawiając każdą krowę z jednym koniem mamy jednocześnie zestawienie każdego konia z jedną krową. W ten sposób ludzie mogli dojść do pojęcia „liczebności” przedmiotów, przy czym pojęcie to było zupełnie niezależne od rodzaju tych przedmiotów. Dopiero tą drogą mogło powstać abstrakcyjne pojęcie liczby.

40. Liczby fibonacciego, liczba złota • Ciąg liczbowy Fibonacciego • Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe. Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący:F0 = 0F1 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2,   dla n ≥ 2

41. Początkowe wartości tego ciągu to:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... • Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. • W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: Φ = 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482... • Liczby Fibonacciego można wyznaczyć ze wzoru:Fn+1=n0+n-11+n-22+...Liczby Fibonacciego są więc sumami liczb z przekątnych w trójkącie Pascala. • .

42. Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki. Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego. • Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji

43. LICZBA ZŁOTA • Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

44. Liczby olbrzymy • Z liczbami - olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego. • W Polsce (i innych krajach np. w Niemczech, w Anglii) przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe, a np. w Ameryce, Francji grupy trzycyfrowe. Czasami warto znać nazwy dużych liczb. • Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu stosowanego w Polsce).

46. Ciekawostki: • Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonylionów gramów. • Ciało ludzkie składa się z 1028atomów, Ziemia ma ich 1052 • Widocznych gwiazd jest około 1087

47. LICZBY PIERWSZE • Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynniki pierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużym praktycznym znaczeniu w arytmetyce. Carl Friedrich Gauss • Iloczyn liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną, są więc liczby naturalne, będące iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Są także liczby naturalne większe od jedności, które nie są iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Takie właśnie liczby nazywamy pierwszymi. Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych. • Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). • Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...

48. Kwadraty magiczne • Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze mają zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty należą do najstarszych znanych łamigłówek. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami rozpowszechniło się z Chin do Europy. • Kwadrat magiczny z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Taka suma jest nazywana sumą magiczną. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

49. Kwadraty magiczne c.d. Tak zwany "Idealny Kwadrat" stworzył ok. 2800 roku p.n.e. chiński filozof i budowniczy Lo Shu, tworząc tym samym podwaliny sztuki Feng Shui. Jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9. Żydowscy badacze pisma także stworzyli na swój użytek magiczny kwadrat. W odróżnieniu od chińskiego, zbudowany był wyłącznie z nieparzystych liczb, a ich literowe odpowiedniki miały składać się na imię Boga. Te litery, wypisane w formie magicznego kwadratu na pergaminie, miały moc uzdrawiania, a nawet powoływania do życia martwych. W IX wieku naszej ery, tajemnicę Magicznego Kwadratu poznali Arabowie, a do Europy wiedza o nim dotarła, za sprawą mieszkającego w Konstantynopolu Greka - Moscopulosa - dopiero w XIV wieku. Sto lat później w swoich obliczeniach i badaniach wykorzystywał go jeden z najsłynniejszych ówczesnych magów - Korneliusz Agryppa (1486 1535).

50. Kwadraty magiczne c.d. • W Europie Magiczny Kwadrat, symbolizujący porządek świata, stał się poszukiwanym talizmanem. Ale nie tylko interesowali się nim alchemicy. W czasach nowożytnych, ten fenomenalny układ zaintrygował matematyków. Twórcami i teoretykami rozpraw na jego temat byli tak wielcy naukowcy jak: Frenicle de Bessy, który opisał aż 880 magicznych kwadratów zbudowanych z 16 pól, Pierre Fermat i wielu innych. • Na czym polega magia Magicznych Kwadratów? Jest to matematyczny szyfr, a kontemplacja "doskonałego" układu liczb wzmacnia koncentrację, pozwala szybciej uszeregować myśli oraz pomaga w szybkim kojarzeniu różnych faktów.