Geometria piana Cenni

1. Prof. Fabio Santagata Geometria pianaCenni

2. Angoli

3. Angoli

4. Angoli

5. Angoli

6. Angoli

7. Angoli

8. Angoli

9. Angoli

10. Angoli

11. Angoli

12. Angoli

13. Angoli

14. Triangoli

15. Triangoli DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Mediana: si chiama mediana relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto Baricentro: punto di intersezione delle mediane relative ai tre lati Bisettrice: si chiama bisettrice relativa ad un lato il segmento che congiunge il lato con il vertice opposto sulla semiretta bisettrice dell’angolo. Incentro: punto di intersezione delle tre bisettrici Altezza: si chiama altezza relativa ad un lato il segmento perpendicolare ad esso e che lo congiunge il vertice opposto Ortocentro: punto di intersezione delle tre altezze

16. Triangoli CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

17. Triangoli

18. Triangoli

19. Triangoli

20. Triangoli

21. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA Validità del teorema di Pitagora per figure simili

22. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA Sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo i relativi quadrati. Dividiamo poi ogni quadrato a metà. L'area del rettangolo sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei rettangoli sui cateti? Sì perché si ha: c2/2 = a2/2 + b2/2 e da questa relazione si passa a quella pitagorica moltiplicando tutti i termini dell'uguaglianza per 2. Se, invece di dimezzare, raddoppiamo le aree dei quadrati si otterrà ancora che l'area del rettangolo sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei rettangoli sui cateti? La risposta è ancora sì perchè anche la relazione: 2c2 = 2a2 + 2b2 è equivalente a quella pitagorica. Infatti, da questa relazione si passa a quella pitagorica dividendo tutti i termini dell'uguaglianza per 2.

23. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA L'area del triangolo rettangolo isoscele costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli rettangoli isosceli costruiti sui cateti? Sì perché si ha: c2/2 = a2/2 + b2/2 e questa relazione è equivalente a quella pitagorica. Sappiamo, dai criteri di similitudine, che tutti i triangoli rettangoli isosceli sono simili perché hanno gli angoli corrispondenti uguali. Questa osservazione ci fa intuire che se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei triangoli simili, allora l'area del triangolo costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli costruiti sui cateti.

24. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA L'area del triangolo rettangolo isoscele costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli rettangoli isosceli costruiti sui cateti? Sì perché si ha: c2/2 = a2/2 + b2/2 e questa relazione è equivalente a quella pitagorica. Sappiamo, dai criteri di similitudine, che tutti i triangoli rettangoli isosceli sono simili perché hanno gli angoli corrispondenti uguali. Questa osservazione ci fa intuire che se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei triangoli simili, allora l'area del triangolo costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli costruiti sui cateti.

25. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo, invece dei soliti quadrati, dei poligoni regolari con lo stesso numero di lati, l'area del poligono regolare sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni regolari sui cateti. Ad esempio, se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei triangoli equilateri, l'area del triangolo equilatero sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei triangoli equilateri sui cateti? ESEMPIO L'area di ognuno di questi tre triangoli equilateri è: La conclusione del nostro ragionamento è allora: in un triangolo rettangolo l'area del triangolo equilatero costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli equilateri costruiti sui cateti.

26. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA Cosa succede se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei pentagoni regolari oppure degli esagoni regolari oppure dei poligoni regolari con n lati? L'area del poligono regolare è sempre direttamente proporzionale al quadrato del lato e possiamo esprimerla con la formula A = k · l2 dove k è un valore costante che dipende dal tipo di poligono regolare. Ecco ad esempio il valore di k per alcuni poligoni regolari:

27. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA Se sui lati di un triangolo rettangolo costruiamo dei poligoni regolari con n lati e consideriamo l'uguaglianza tra le aree C = A + B avremo di nuovo una relazione equivalente a quella pitagorica: kc2 = ka2 + kb2 Si passa da questa relazione a quella pitagorica dividendo tutti i termini dell'uguaglianza per k. A questo punto si intuisce che la relazione pitagorica rappresenta un caso particolare dove il valore di k è uguale a Possiamo quindi generalizzare il teorema di Pitagora a tutti i poligoni regolari formulando l'enunciato in questo modo: il poligono regolare di n lati costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei poligoni regolari di n lati costruiti sui cateti.

28. Triangoli ESTENSIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA In generale, nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro. Due figure sono simili quando segmenti che congiungono coppie di punti corrispondenti sono nello stesso rapporto. Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra.

29. Triangoli TERNE PITAGORICHE Definizione di terna pitagorica.Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a2+ b2 = c2 si dice che formano una terna pitagorica.Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche, mentre non lo è (1, 1, radq(2)) perché l'ultimo numero non è intero.Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5). Terne primitive e terne derivate.Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate.Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero positivo. Come si distinguono le terne primitive da quelle derivate?Semplice: se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è derivata.

30. Triangoli TERNE PITAGORICHE Ecco le prime terne pitagoriche

31. Triangoli TERNE PITAGORICHE In tutte le terne pitagoriche:- uno dei tre "lati" a, b, c è divisibile per 3 e un altro per 5- il prodotto dei due "cateti" a*b è divisibile per 12- il prodotto dei tre "lati" a*b*c è divisibile per 60 Nelle terne pitagoriche primitive:- uno dei due "cateti" a oppure b è pari e l'altro dispari, mentre l'"ipotenusa" c è sempre dispari- a, b sono primi fra loro

32. Triangoli TERNE PITAGORICHE Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche primitive?Utilizzando le seguenti formule si possono ottenere delle terne pitagoriche: a = m2 - n2 b = 2mn c = m2 + n2 dove m, n sono numeri interi tali che m>n>0. Le terne generate sono quindi del tipo: m2 – n2 , 2mn , m2 + n2 Queste formule permettono di generare tutte le terne primitive e anche alcune terne non primitive. Ad esempio NON si può generare la terna 9, 12, 15, mentre si può generare la terna 12, 16, 20 (m = 4, n = 2).

33. TRIGONOMETRIA TEOREMA DEL COSENO (DI CARNOT)

34. TRIGONOMETRIA

35. Figure geometriche piane Poligoni • un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono. • La parola "poligono" deriva dal Greco πολύς ("molti") e γωνία (gōnia) ("angolo").

36. In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli uguali (tutti retti). Il quadrato è un caso particolare di rettangolo (in quanto ha tutti e quattro i lati uguali) e di rombo (in quanto ha le due diagonali uguali ovvero in quanto ha quattro angoli uguali) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli). Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà Quadrato • Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati uguali, misura: • Lx4        • L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono uguali, misura: :

37. Rettangolo In geometria il sostantivo rettangolo denota il quadrilatero con tutti gli angoli interni congruenti (e quindi retti). Da questa definizione segue che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari parallelogrammi. Proprietà -Gli angoli opposti sono congruenti e misurano 90° - Le diagonali sono congruenti e si dimezzano scambievolmente A = B x h Formule inverse h =AB = A ---- ---- b h

38. Parallelogramma In geometria un parallelogramma è un quadrilatero contraddistinto da un centro di simmetria. Da questo ne deriva che i lati opposti sono paralleli tra loro • Proprietà • I lati opposti sono congruenti • Gli angoli opposti sono congruenti • Le diagonali non sono congruenti e si dimezzano scambievolmente • L’area si calcola moltiplicando la base per l’altezza

39. Rombo • In geometria, un rombo è un quadrilatero con tutti i lati congruenti e conseguentemente paralleli a due a due (è quindi un parallelogramma). • Le due diagonali sono perpendicolari fra loro e si intersecano nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli. • L'altezza del rombo è la distanza tra due lati opposti del rombo. • Gli angoli opposti sono congruenti • Le diagonali sono disuguali e si dimezzano scambievolmente A = Dx d 2p = AB+BC+CD+DA --------- 2 Formule inverse D = 2x A d =2x A -------- -------- 2 2

40. Trapezio • In geometria un trapezio è un quadrilatero con due lati mutuamente paralleli. Questi due lati sono necessariamente opposti e vengono chiamati basi del trapezio; gli altri due lati vengono detti lati obliqui del trapezio; la distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento che collega le basi o i loro prolungamenti, ed è loro ortogonale, si dice altezza del trapezio. I trapezi sono di tre tipi: • TRAPEZIO ISOSCELE Si dice trapezio isoscele un trapezio per il quale i due angoli adiacenti a una base sono congruenti; in questo caso sono congruenti anche i due angoli corrispondenti all'altra base. • PROPRIETA’ DEL TRAPEZIO ISOSCELE • . gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono congruenti; • . le diagonali sono congruenti; • . le due proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti ; • . le diagonali intersecandosi dividono il trapezio in quattro triangoli di cui due isosceli e due congruenti tra di loro

41. Trapezio • Trapezio: • Proprietà: • M è il punto di incontro delle diagonali • AM:MC=BM:MD • Angoli opposti • a+d=180 • b+g=180

42. TRAPEZIO RETTANGOLO Si dice trapezio rettangolo un trapezio per il quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti. • TRAPEZIO SCALENO lati, angoli e diagonali del trapezio non sono congruenti A= (B+b) x h ---------- 2 Formule inverse: B+b = A x 2 h= A x 2 -------- ----------- h B + b

43. Figure geometriche piane Poligoni • Domanda 1: quante diagonali ha un poligono? • Risposta 1Il numero d di diagonali di un poligono (di Jordan) di v vertici è: • d = v(v-1)/2 - v • ovvero: • d = v(v-3)/2 • Domanda 2: quante diagonali ha un poliedro? • Risposta 2Il numero d di diagonali di un poliedro (euleriano) di v vertici e s spigoli è: • d = v(v-1)/2 - s

44. Figure geometriche piane • Parallelogrammi e trapezi Il teorema di Pitagora si può enunciare anche in una forma un po’ diversa: La somma dei quadrati della base e dell’altezza di un rettangolo è uguale al quadrato della diagonale. Infatti la diagonale di un rettangolo è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha come cateti la base e l’altezza. Se poi prendiamo ogni quadrato due volte, avremo che: La somma dei quadrati dei lati di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali.

45. Figure geometriche piane • Parallelogrammi Lo stesso risultato vale anche per un parallelogramma non rettangolo. In un parallelogramma la somma delle aree dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma delle aree dei quadrati dei quattro lati. Consideriamo il parallelogramma ABCD. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo BED, il quadrato della diagonale BD è uguale alla somma dei quadrati di ED e di BE, colorati in verde e giallo. Analogamente, il quadrato della diagonale AC è uguale al quadrato rosso più quello multicolore. La somma delle aree dei quadrati delle diagonali è allora uguale a quella delle aree dei quattro quadrati disegnati nella figura a fianco.

46. Figure geometriche piane • Parallelogrammi Questa figura è ottenuta dalla precedente spostando alcuni pezzi senza cambiare l’area complessiva, e quindi la somma delle aree dei quattro quadrati della prima figura (che era uguale alla somma dei quadrati delle diagonali) è uguale a quella dei sei quadrati della seconda. D’altra parte, sempre per il teorema di Pitagora, i due quadrati verdi sono uguali al quadrato del lato AB, e i due rossi al quadrato del lato AC, e dunque la somma delle aree dei sei quadrati è uguale a quella dei quadrati dei lati. Possiamo allora concludere che: In un parallelogramma la somma delle aree dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma delle aree dei quadrati dei quattro lati.

47. Figure geometriche piane • Trapezi Un risultato simile vale anche per i trapezi: La somma delle aree dei quadrati dei lati è uguale alla somma delle aree dei quadrati delle diagonali, più il quadrato della differenza tra la base maggiore e la minore. In questo caso la migliore dimostrazione è quella per via algebrica. Riferendoci alla figura che segue dobbiamo dimostrare che: L2+ l2 + B2 + b2 = D2 + d2 + (B - b)2

48. Circonferenza e cerchio Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza

49. Circonferenza e cerchio Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica C p d

50. Circonferenza e cerchio Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d