Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost.

1. Elementarni študij funkcije: enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij. Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost. (lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo že ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti) zvezna nezvezna

2. majhna razlika pri funkcijskih vrednostih velika razlika pri vrednostih odvoda Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe?

3. povprečna vrednost osnovne funkcije: 10.9166 povprečna vrednost ‘zanihane’ funkcije 10.9195 Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti.

4. a b p pje povprečna vrednostfunkcije f na intervalu [a,b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika. p = (ploščina pod grafom funkcije f ): (b-a)

5. Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov: Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom. Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom. Intuitivno, z delitvijo [a,b]na dovolj drobne podintervale je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo poljubno dobro oceno za ploščino pod grafom.

6. Formalizem: Privzemimo f:[a,b]→ℝ omejena ( m≤f(x)≤M za vse x∈[a,b] ). delitev intervala [a,b] mi: natančna spodnja meja f na intervalu [xi-1, xi] Mi: natančna zgornja meja f na intervalu [xi-1, xi] spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin včrtanih pravokotnikov) zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin očrtanih pravokotnikov) Pri vseh delitvah D je S(f,D)≤ ploščina pod grafomf≤Z(f,D).

7. Skupno vrednostimenujemo integral funkcije f na intervalu [a,b] in označimo z Množica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (supremum), ki jo označimo S(f)in imenujemo spodnji integral funkcije f Množica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (infimum), ki jo označimo Z(f)in imenujemo zgornji integral funkcije f Vedno je S(f) ≤ Z(f). Funkcija fje integrabilna, če jeS(f) =Z(f).

8. Kaktere funkcije so integrabilne? Za vsako delitev Dvelja S(f,D) ≤S(f) ≤ Z(f) ≤ Z(f,D), zato je dovolj, če pokažemo, da vedno lahko izberemo delitev D, da bo razlika majhna kolikor želimo.

9. Vzamemo delitev pri kateri je Zaradi zveznosti obstaja tak d, da je kakor hitro je Vzamemo delitev pri kateri je Privzamemo f:[a,b]→ℝ naraščajoča, predpišemoɛ>0: Monotone funkcije so integrabilne. Privzamemo f:[a,b]→ℝ zvezna, predpišemoɛ>0: Zvezne funkcije so integrabilne.

10. Ali obstajajo funkcije, ki niso integrabilne? Primer f:[0,1]→ℝ je dana s predpisom ? Za vsako delitev D je S(f,D)=0 inZ(f,D)=1 S(f)=0 inZ(f)=1, torejfni integrabilna Velja: f:[a,b]→ℝ je integrabilna če ima največ števno mnogo točk nezveznosti.

11. je enak ploščini lika pod grafom funkcije f (k∈ℝ) c a b Dogovor: Lastnosti integrala f pozitivna na[a,b] Ob upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje.

12. M m b b a a Povprečna vrednost leži na intervalu [m,M]. Tedaj je za nek t∈[a,b]. M,m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a,b] Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M. fzvezna ⇒ f zavzame svojo povprečno vrednost

13. Računanje 1. Po definiciji f integrabilna Predpis je neroden za računanje: običajno je težko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih. Pomagamo si takole: na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1,xi]. Na podlagi delilnih točk D:x0,...,xn in vmesnih točk T:t1,...,tn tvorimo Riemannovo vsoto Za vse delitve D velja: S(f,D) ≤R(f,D,T) ≤Z(f,D) ... fintegrabilna

14. D poljubna, za T izberemo: b a Podobno dobimo: Primeri • f(x)=xna [a,b]

15. D:n enakih delov, ;T : leva krajišča, • f(x)=ex na [0,1] Podobno dobimo:

16. Računanje Tvorimo novo funkcijo Primeri: za za 2. Analitično Ali je Fzvezna? f omejena f omejena ⇒F zvezna

17. f zvezna Fodvedljiva inF ’=f Ali je Fodvedljiva? f zvezna za nek tmedxinx+h. osnovni izrek analize

18. Obratno, če je F ’=fdobimo Newton-Leibnizova formula F je primitivna funkcija za f Primitivna funkcija ni enolično določena, vsaki dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za neko konstanto.

19. Računanje : • izračunamo • ‘uganemo’ primitivno funkcijo F Primeri

20. Računanje 3. Numerično Numerično računamo, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrand fnadomestimo s približkomg, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala

21. Metoda trapezov: integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo. [a,b] razdelimo na nenakih delov: g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk,yk), k=0,1,...,n napaka trapezne metode trapezna formula

22. Simpsonova metoda: integrand nadomestimo z odsekoma kvadratično funkcijo. [a,b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo. Simpsonova formula

23. Izračunaj z napako < 0.01. 1. Iz pogoja določimo primeren n: xk0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 yk 1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000 Primer Trapezna metoda: 2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti: 3. Vstavimo v trapezno formulo: dejanska napaka0.0025 Simpsonova metoda: n=2 (4 delilne točke) dejanska napaka 0.0001

24. http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/Animations.htmlhttp://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/Animations.html

25. Primer Oceni ploščino kosa pločevine:

26. Primer Računanje primitivnih funkcij F primitivna funkcija za f kF primitivna funkcija za kf F primitivna funkcija za f, G primitivna funkcija za g F+G primitivna funkcija za f+g

27. (Npr. integrali niso elementarne funkcije.) Diferenciranje f(x)f ’(x)dxdiferencial d funkcije diferenciali Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnem ni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev. Primitivna funkcija elementarne funkcije pogosto ni elementarna. Obratno operacijo imenujemo nedoločeni integral. C neko število (odvajanje ni injektivno, zato obrat ni enoličen)

28. Pravila za diferenciranje: Pravila za integriranje: uvedba nove spremenljivke (substitucija) delna integracija (per partes)

29. Podobno za Podobno za Splošno pravilo: Primeri

30. Uspešna je tudi substitucija t2=x2+1.

31. Integriranje racionalnih funkcij Primer P(x),Q(x) polinoma 1.korakČe je potrebno, z deljenjemprevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. 2.korakImenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike in 3.korakIntegriramo dobljeni izraz.

32. Izlimitirani integrali Primer integrand je neomejen, ne ustreza zahtevam za integrabilnost Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo: Kako bi razširili pojem integrabilnosti na tovrstne primere?

33. obstaja za vse t∈[a,b) obstaja za vse t∈[a,+∞) Osnovna primera: • f zvezna na [a,b), pri b ima pol • f zvezna na [a,+∞)

34. Primeri limita ne obstaja

35. limita ne obstaja

36. obstaja za r>1 ne obstaja zar≤ 1 obstaja za r<1 ne obstaja zar≥ 1 Za x → ∞ je primerljiva z Za x → 1je primerljiva z , ki je primerljiva z pri x → 0 Ocenjevanje konvergence: obstoj limite pri izlimitiranem integralu lahko ugotovimo na podlagi primerjave z znanimi integrali. Primeri integral obstaja integral obstaja

37. ploščina Uporaba integrala Ploščine likov

38. To je Riemannova vsota za funkcijo ploščina= ploščina Ploščina v polarnih koordinatah

39. dolžina lomljenke dolžina krivulje Riemannova vsota za funkcijo Dolžina krivulje Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolžina krivulje je natančna zgornja meja dolžin lomljenk. (če je f zvezno odvedljiva)

40. ploščina prereza na nivoju x Prostornina telesa = Prostornina telesa Riemannova vsota za funkcijo P (če je P zvezna)

41. Prostornina vrtenine = Vrtenine Vrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli neke osi. Prerez na nivoju x je krog s ploščino P(x)=f(x)2 π.

42. Dolžina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t)prepotuje v času od t1 do t2 je • Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b] in z dolžinsko gostoto r=r(x)je • Težišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b]in z dolžinsko gostoto r=r(x)je Težišče n točk, katerih mase so mi, koordinate pa (xi,yi) je • Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolž osi x Nekatere fizikalnekoličine, ki se izražajo z integralom (Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so ‘enodimenzionalni’.)

43. Funkcije definirane z integralom Vsaka integrabilna funkcijaf:[a,b]→ℝ določa zvezno funkcijo F :[a,b]→ℝ: Lastnosti F lahko razberemo iz lastnosti f, npr: če je f zvezna je F odvedljiva in velja F’=f; če je f pozitivna, je F naraščajoča...

44. Za vsakx>0 je definirana funkcija Primer je zvezna lje odvedljiva je > 0 je strogo naraščajoča x↦l(x)je alternativna definicija funkcije ln(x). x↦l -1(x) pa je alternativna definicija funkcije ex

45. Pravilo določa funkcijoF :[a,b]→ℝ. Nove funkcije dobimo tudi z integriranjem funkcij več spremenljivk: f:[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ: integral s parametrom Primer Kdaj je tako definirana funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral?

46. Zveznost če je x1 dovolj blizu x0 , je zato je fzvezna zvezna Izberimo natančnost e in privzemimo, da je f zvezna:

47. Odvedljivost Lagrange: zvezna za dovolj majhen h je za vse y∈[c,d] f(x,y) zvezno odvedljiva na x odvedljiva odvajanje integrala po parametru

48. Primer

49. zvezna Integrabilnost f zvezna integrabilna Primerjajmo funkciji in G1=G2 posebej: G1(b)=G2(b) zamenjava vrstnega reda integriranja

50. Primer