Cap. 9 Poligoni

1. Cap. 9 Poligoni

2. Spezzata C B D A E F A cosa vi fa pensare una spezzata? Qualcosa che si rompe in tanti pezzi A me dà l’idea di un spaghetto che si rompe Se noi rompiamo uno spaghetto e manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzata In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti segmenti uno consecutivi all’altro

3. Elementi di una pezzata vertici I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata C B lati D I punti che uniscono i segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata A E I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata F estremi

4. Tipi di spezzata Spezzata aperta semplice Spezzata aperta intrecciata Spezzata chiusa semplice Spezzata chiusa intrecciata

5. Spezzata aperta Spezzata aperta intrecciata Spezzata aperta Una spezzata si dice aperta se i suoi estremi non coincidono Una spezzata aperta si dice rintracciata quando ha due o più lati che si intersecano

6. Spezzata Chiusa Spezzata semplice chiusa Spezzata chiusa intrecciata Una spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidono Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si intersecano

7. Poligono • Cosa succede al piano a se noi tracciamo una spezzata chiusa semplice? • Se immaginiamo di prendere un paio di forbici e di ritagliare il contorno cosa abbiamo preso? • Un pezzo di piano più precisamente una porzione di piano (parte colorata) Definiamo poligono una porzione di piano delimitata da una spezzata chiusa Delimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne i confini

8. Lati consecutivi • Consideriamo la seguente figura • Vediamo che i lati a e i lati b hanno un vertice in comune (B) Definiamo consecutivi due lati che hanno un vertice in comune Contributi esterni

9. Tipi di poligono • Possiamo riconoscere due tipi di poligoni • Poligono concavo • Poligono convesso • Che differenza esiste fra i due?

10. Poligono Convesso • Fissiamo la nostra attenzione sugli angoli interni e sui lati • Definiamo interno l’angolo formato da due lati consecutivi • Tutti gli angoli interni sono minori di un angolo piatto • Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono nessuna di esse lo attraversa • Si definisce convesso un poligono che non viene attraversato dal prolungamento dei suoi lati

11. Poligono concavo • Fissiamo nuovamente la nostra attenzione sugli angoli interni e sui lati • Alcuni angoli interni sono maggiori di un angolo piatto • Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono alcune di esse lo attraversano • Si definisce concavo un poligono che è attraversato dal prolungamento di alcuni lati

12. Diagonali • Consideriamo la seguente figura • Disegniamo un segmento che unisce due vertici non consecutivi • Chiamiamo questo segmento diagonale • Si definisce diagonale in segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono

13. Perimetro Consideriamo il seguente poligono I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva) La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta perimetro del poligono Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligono

14. A C B D Somma di segmenti • Per sommare due segmenti occorre metterli uno dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti • Consideriamo i segmenti AB e CD • Facciamo coincidere B con C • Otteniamo il segmento AD • Tale segmento è la somma di AB + CD • AD = AB + CD

15. Semiperimetro Si definisce semiperimetro e si indica con P la metà del perimetro Spesso ci troviamo a utilizzare nei calcoli non il perimetro ma il semiperimetro

16. Con 2P indichiamo il perimetro di un poligono Con P indichiamo il semiperimetro

17. Criterio di esistenza di un poligono In un poligono un lato deve essere minore della somma di tutti gli altri • Consideriamo tre segmenti • È sempre possibile costruire un poligono? • In teoria sembrerebbe di si perché posso metterli uno dietro l’altro • Ma il giochetto riesce sempre? • Consideriamo altri tre segmenti • Ripetiamo l’operazione • Come si vede non posso costruire un poligono, uno dei due segmenti è addirittura più grande della somma degli altri due

18. Figure equivalenti • Equivalenti significa che le due figure si equivalgono cioè hanno lo stesso valore • Consideriamo le seguenti due figure • Il loro contorno racchiude la stessa porzione di piano cioè hanno la stessa area • Si definiscono equivalenti due figure che hanno la stessa area

19. Figure isoperimetriche • Ogni volta che ci troviamo di fronte al prefisso Iso significa che abbiamo due cose uguali • Consideriamo i seguenti due poligoni • Essi pur essendo diversi hanno lo stesso perimetro Si definiscono isoperimetrici due poligoni che hanno lo stesso perimetro

20. a Area • Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano • Si definisce area la misura di questa porzione di piano L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea chiusa non intrecciata

21. Calcolo di un perimetro • Consideriamo la seguente figura • Il suo perimetro 2P sarà dato da: • Se sostituiamo ai lati il loro valore avremmo che: • cioè 2P = a + b + c + d + e 2P = 5,45 cm + 4,49 cm + 6,21 cm+ 4,94 cm + 3,82 cm 2P = 24,91 cm

22. Angolo interno di un poligono • Prendiamo in considerazione la parola pentagono • Essa deriva dai termini penta che significa 5 e gono che significa angolo • Perciò letteralmente si tratta di una figura geometrica con 5 angoli • Ma da come avranno origine questi angoli? • Essi risulteranno formati dalle semirette che contengono e segmenti consecutivi del poligono Gli angoli interni di un poligono sono gli angoli formati da due segmenti consecutivi

23. Somma degli angoli interni di un triangolo • Consideriamo il seguente triangolo • Tracciamo la retta passante per CB e la sua parallela passante per A • A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo Gli angoli b e b1 sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c Interessante contributo esterno

24. Gli angoli g e g1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b • Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo a, b, g sia uguale alla somma degli angoli b1, g1 e a perché: • g1 = g; b1 = b e a è in comune a + b + g = a1 + b1 + g con a1 + g + b1 = 180° Come si vede chiaramente dalla figura

25. La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°

26. Somma degli angoli interni di un poligono • Adesso sappiamo quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo • Possiamo utilizzare questa conoscenza per calcolare la somma degli angoli interni di ogni poligono? • Secondo voi come possiamo fare? • È possibile ad es. dividere il poligono in tanti triangoli avente per lati i lati del poligono e le sue diagonali

27. Quanti lati ha questo poligono? Quante diagonali? Quanti triangoli Ogni triangolo = 180° 3 x 180° = 540°

28. A noi serve una formula: come trovarla? Consideriamo il seguente poligono Inseriamo al proprio interno un punto Uniamo con un segmento il punto G con ciascun vertice del poligono Otteniamo tanti triangoli quanti sono i lati del poligono Istintivamente potremmo dire che indicato con lil numero dei lati del poligono la somma dei suoi angoli interni sarà : l x 180° Trascureremo però gli angoli i cui vertici cadono su G

29. Una via per la formula Gli angoli che hanno il vertice in G vanno sottratti dal calcolo Quanto vale la loro somma? 360° (è un angolo giro) cioè 2 x 180° Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli che è possibile costruire è uguale al numero dei lati) vanno sottratti questi 2 x 180° (che non fanno parte degli angoli interni) Nel nostro poligono la somma degli angoli interni è 6 x 180 – 360° = 720°

30. Formula Somma degli angoli interni = l x 180 – 2 x 180 Da cui Somma degli angoli interni = (l – 2) x 180

31. Definizione La somma degli angoli interni di un poligono è uguale al numero dei lati diminuito di due per 180 °

32. Angoli esterni di un poligono La somma degli angoli esterni di un poligono vale sempre 360° approfondimenti Si definisce angolo esterno di un poligono l’angolo formato dal prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligono

33. Angoli adiacenti • Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un poligono?

34. Consideriamo la seguente figura Le coppie angoli interni ed esterni di un poligono che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

35. Numero delle diagonali di un poligono Dove n è il numero dei vertici del poligono Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:

36. Poligono equiangolo Un poligono si dice equiangolo se ha gli angoli interni uguali

37. Poligono equilatero Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti

38. Poligoni regolari Si dicono regolari quei poligoni che sono sia equilatere che equiangoli

39. Perimetro di un poligono regolare Il perimetro di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il valore di un lato per il numero di lati 2P = n x l Il perimetro della seguente figura si trova sommando i suoi lati cioè: 2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u 2P = 6 x 3u = 18u

40. Lato di un poligono regolare Noi sappiamo che : A noi serve l perciò dobbiamo modificarla 2P rimane al suo posto x scavalca l’uguale diventando la sua operazione opposta cioè : 2p n l = x Da cui : n scavalca l’uguale e da fattore diventa divisore l 2p n = :

41. Il lato di un poligono regolare è uguale al suo perimetro diviso il numero dei lati