“ ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著（培風館） M.Bando, T.Kugo and K.Yamawaki, Phys. Rept. 164 ,217 (1988).

2. 自発的対称性の破れと有効場の理論 • “ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著（培風館） • M.Bando, T.Kugo and K.Yamawaki, Phys. Rept. 164,217 (1988).

2.1. 大局的 U(1) 対称性 （複素スカラー場：対称性が破れない場合）・大局的 U(1) 対称性・ネターカレント・保存電荷

・真空・・・系の最低エネルギー状態 = 真空期待値 (VEV) ・粒子・・・場の、真空のまわりの揺らぎを量子化したもの質量 m を持つ粒子が２つ存在・・・ f, f* ☆ ポテンシャル • 回転対称性を持つ • ⇔ U(1)対称性 • 停留点・・・ f= 0

2.2. 大局的U(1)対称性の自発的破れと南部-ゴールドストーン定理ゴールドストーン模型・大局的 U(1) 対称性・ネターカレント・保存電荷

☆ ポテンシャル メキシカンハット・ポテンシャル

◎ 南部-ゴールドストーンの定理 ○ 連続対称性の自発的破れオーダー・パラメータ ○ 質量０の、南部-ゴールドストーン粒子(NG boson)が存在・ NG ボゾンは破れたカレントに結合・ (NGボゾンの数) = (破れたカレントの数)

◎ 対称性の自発的破れ ◎ カレントとの結合・・・ NG ボゾンの崩壊定数 (decay constant)

・・・質量を持つ粒子 ・・・質量０の粒子 ☆ ポテンシャル・粒子・・・場の、真空のまわりの揺らぎを量子化したもの

粒子

◎ 低エネルギー（E ≪ ms） 有効理論を考える・・・極分解を使うのが便利 ○ 低エネルギー領域では、重い s粒子は現れない → sを運動方程式を用いて消去

☆ 有効場の理論 対称性の（自発的破れの）性質を用い、南部-ゴールドストーン粒子のみを含む、最も一般的なラグランジアンを、低エネルギー展開に基づいて作る・対称性の性質・・・ SSB : U(1) → nothing ・低エネルギー展開 = 微分展開・場の量・・・ U = exp[ ip (x) / fp ] 変換性： U→ eiqU

2.3. 大局的 SU(2) 対称性の自発的破れ： Higgs-Kibble 模型 SU(2) × SU(2)’ ◎ 対称性・・・ ?

☆ カレントと保存電荷 ・・・カレントは随伴表現に属する

☆ 対称性の自発的破れ 真空期待値ポテンシャル

◎ 低エネルギー（E ≪ ms） 有効理論を考える・・・極分解を使うのが便利

☆ 有効場の理論 対称性の（自発的破れの）性質を用い、南部-ゴールドストーン粒子のみを含む、最も一般的なラグランジアンを、低エネルギー展開に基づいて作る・対称性の性質・・・ SSB : SU(2)L × SU(2)R→ SU(2)V ・低エネルギー展開 = 微分展開・場の量・・・ U = exp[ ipaTa / fp ] 変換性： U→ gLU gR†

2.4. 南部-ヨナラシーニョ (NJL) 模型でのカイラル対称性の破れ ☆ ラグランジアン N個の成分を持つフェルミオン場 ◎ カイラル対称性 : U(1)V ×U(1)A U(1)V : U(1)A :

◎ カイラル対称性はU(1)L×U(1)Rとも見なせる ・カイラル変換のもとで不変

☆ 補助場の導入 フェルミオンに関する経路積分を実行 large N 展開 = σ, π に関するループ展開

☆ large N 近似での有効ポテンシャル (σ,π に対するツリー近似) 積分は発散している → ユークリッド化してからcutoff を導入して正則化

☆ 有効ポテンシャル σ σ π π 対称性が自発的に破れている対称性が回復している

☆ 真空期待値の決定・・・ ポテンシャルの停留条件（Gap 方程式）・G < Gcrのとき → v = 0 のみが解・G > Gcrのとき → v = 0 と v ≠ 0 の両方の解がある → v ≠ 0 の解が安定解 v G Gcr symmetric phase broken phase

☆ カイラル対称性の自発的破れ NJLの４体相互作用により、yLと yRが真空中で凝縮・オーダー・パラメータ真空は yLと yRを同時に回転させる対称性のみ持つ ◎ 南部-ゴールドストーンの定理 1 個の南部-ゴールドストーン粒子（質量ゼロ）

☆ 有効場の理論 ・対称性の性質・・・ SSB : U(1)L×U(1)R = U(1)V ×U(1)A→U(1)V ・低エネルギー展開 = 微分展開 ― ・場の量・・・ U = exp[ ip (x) / fp ] ～ yRyL 変換性： U→ eiqLUe-iqR= e-iqAU

“ ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著（培風館） M.Bando, T.Kugo and K.Yamawaki, Phys. Rept. 164 ,217 (1988).