BAB 12 OPTIMASI DENGAN KENDALA-KENDALA KESAMAAN

1. BAB 12OPTIMASI DENGAN KENDALA-KENDALA KESAMAAN Tingkat optimum baru yang memenuhi kuota produksi merupakan sebuah optimal terkendala, yang secara umum, mungkin berbeda dengan optimal bebas. Hanya ketergantungan variabel-variabel sebagai variabel pilihan lah yang menciptakan optimal terkendala. Kendala-kendala kesamaan itu misalnya : Q₁+Q₂=950 Tujuan utamanya adalah ekstrema terkendala relatif,sekalipun yang absolut.

2. 12.1 EFEK DARI SUATU KENDALA Tujuan utama digunakannya sebuah kendala adalah memberi tanggung jawab kepada faktor-faktor pembatas tertentu dalam masalah optimisasi. Misalkan seorang konsumen dengan fungsi (indeks) utilitas sederhana sebagai berikut:

3. Karena utilitas marjinal-yaitu derivatif parsial U₁≡∂U/∂ᵪ₁ dan U₂≡∂U/ᵪ₂ adalah positif untuk semua nilai χ₁ dan χ₂ yang positif, maka untuk memperoleh nilai U yang maksimal tanpa pembatas apapun, seorang konsumen harus membeli kedua barang diatas secara tak terbatas, sebuah pemecahan yang jelas kecil kemungkinannya untuk terjadi dalam pabrik. Supaya masalah optimisasi ini berguna,daya beli konsumen harus pula diperhitungkan, yakni kendala anggaran (budget constraint) harus dimassukkan kedalam permasalahan. Jika konsumen ingin membelanjakan sejumlah uang, katakanlah 60 dolar, untuk kedua barang tersebut dan jika harganya P₁₀=4 dan P₂₀=2, maka kendala anggaran dapat dinyatakan dengan persamaan linear berikut: 4ᵪ₁+2ᵪ₂=60

4. 12.2 PencarianNilai-NilaiStasioner MetodePengali - Lagrange Intipokokmetodepengeli-Lagrange adalahmengubahpersoalantitikekstremkendalamenjadibentuksedemikianrupasehinggasyaratordepertamadaripersoalanekstrembebasdapatdilaksanakan. Scaraumum, jikadiketahuifungsiobjektif z = f(x,y) dengankendala g(x,y) = c Kita dapamenuliskanfungsiLagrangian : Z= f(x,y) + ƛ [c – g (x,y) ] Contoh : carilahtitikekstremdari z = xydengansyarat x + y = 6 Jawab : Z = xy + ƛ(6 – x – y) Z ƛ = 6 – x – y = 0 Zx = y – ƛ = 0 Zy = x – ƛ = 0 Denganaturan Cramer, ataumetode lain akankitadapatkan ƛ* = 3 x* = 3 y* = 3 Nilaistasioner Z* = z* = 9

5. PendekatanDiferensial Total z = f (x,y) g (x,y) = c dz = fxdx + fydy = 0 dg = gydx + gydy = 0 fx / gx = ƛfy / gy = ƛ Kasus n-VariabeldanMultikendala Fungsiobjektif : z = f (x1, x2, . . . , xn) dengan Syaratkendala : g (x1, x2, . . . , xn) = c FungsiLagrangianakanmenjadi : Z = f(x1,x2, ..., xn) + ƛ[c – g (x1,x2, ... , xn)] Jikaada 2 kendala : g(x1,x2, … , xn) = c dan h(x1,x2, …, xn) = d Maka, Z = f(x1,x2, ..., xn) + ƛ[c – g (x1,x2, ... , xn)] + µ[d – h (x1,x2, ... , xn)]

6. 12.3 Syaratordekedua Diferensialtotal ordekedua: Syaratordekedua: • Syaratperluordekeduauntuk max z: semidefinit negative, dengansyarat dg=0untuk min z: semidefinitposiitif, dengansyarat dg=0 • Syaratcukupordekeduauntuk max z: definit negative, dengansyarat dg=0untuk min z: definitpositiif, dengansyarat dg=0 • Hessian terbatas (bordered) • dengansyarat

7. 12. 4 Kuasai Kecekungan dan Kuasi Kecembungan Kuasi kecekungan (sebagai ganti kecekungan) untuk suatu maksimum, dan kuasi kecembungan (sebagai ganti kecembungan) untuk suatu minimum. Kuasi kecekungan (kuasai kecembungan) merupakan kondisi yang lebih lemah dari kecekungan (kecembungan). Sifat-sifat Geometri Kuasi kecekungan dan kuaai kecembungan, sebagaimana kecekungan dan kecembungan, dapat bersifat mutlak atau tidak mutlak. Pertama-tama kita akan menyajikan sifat geometri dari konsep-konsep tersebut: Misalkan u dan v merupakan dua titik yang berbedan dalam domain (suatu himpunan cembung) fungsi f , dan misalnya segmen garis-uv dalam domain memberiakn kenaikan busur MN pada grafik fungsi sedemikian rupa sehingga titik N lebih tinggi atau sama dengan tingginya titik M. Maka fungsi f disebut jugha kuasi cekung (kuasai cembung), jikak semua titik M (lebih rendah dari atau sama dengan titik N). Fungsi f dizsebut fungsi cekung sempurna (kuasi cembung sempurna) jika semua titik-titik pada busur MN selain M dan N muutlak lebih tinggi dadri titik M (mutlak lebih dari titk N).

8. Definisi secara Alajabar Sifat geometri dapat diterjemahkan ke dalam uatu definisi aljabar guna generalisasi yang lebih mudah kasus dengan dimensi yang lebih tinggi: Suatu fungsi f adalah {kuasi cekung, kuasi cembung} jika dan hanya jika, untuk setiap pasangan titik yang berebeda u dan v dalam dominan (cembung) dari f dan untuk 0 < ϴ < 1 f(v) ≥ f(u) → f[ϴ u + (1 - ϴ ) v ] {≥ f(u) , ≤ f(v)}

9. Dalil I (negatif dari fungsi) bila f(x) adalah kuasi cekung (kuasi cekung smpurna), maka –f(x) adalah kuasi cembung (kuasi cembung sempurna)fungsi ceung sempurna (cembung sempurna) adalah kuasi cekung (kuasi cembung s Dalil II (kecekungan lawan kuasi kecekungan) setiap fungsi cekung (cembung) adalah kuasi cekung (kuasi cembung), tetapi tidak sebaliknya. Sama halnya, setiap fungsi cekung sempurna (cembung sempurna) adalah kasi cekung (kuasi cembung sempurna), tetapi tidak sebaliknya. Dalil III (fungsi linier) jika f(x) adalah fungsi linier, maka fungsi ini merupakan kuasi cekung dan juga kuasi cembung Fungsi-fungsi yang Dapat Didiferensialkan sebuah fungsi satu variabel yang terdapat dideferensialkan, f(x) adalah { kuasi cekung, kuasi cembung} jika dan hanya, untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda dalam domain tersebut f(v) ≥ f(u) → { f’(u) (v-u) , f’(v) (v – u) ≥ 0

10. BAB 12.5 MemaksimumkanUtilitasdanPermintaanKonsumen Memaksimalkannilaiguna (utility) Dalamkeadaandimanaharga-hargaberbagaimacambarangadalahberbeda, syarat yang harusdipenuhiuntukmemberikannilaigunayang maksimumadalah : • Seseorangakanmemaksimumkannilaigunadaribarang-barang yang dikonsumsinnyaapabilaperbandingannilaiguna marginal berbagaitersebutadalahsamadenganperbandinganharga-hargabarangtersebut • Seseorangakanmemaksimumkannilaigunadaribarang-barang yang dikonsumsinnyaapabilanilaiguna marginal untuksetiap rupiah yang dikeluarkanadalahsamauntuksetiapbarangyangdikonsumsikanDayabelimasyarakat : B DengansyaratBentukpermaksimumanfungsiutilitas yang mulus U = U (x,y) (Ux’ Uy > 0)

11. SYARAT ORDE PERTAMA • Fungsilagrangedari model optimasiadalah • Misalkanadahimpuanpersamaansimultan : Maka, akanekuivalendengan Apabilakitanyatakankembalidalamkondisi Kita akanmemperolehpadakurvaindeferens

12. SYARAT ORDE KEDUA Jika hessian terbatas pd persoalanygsekrgpositif, yaknijika Dengansemuaderiviatifdinilaipadanilaikritis x* dan y*, makanilaistasioner U dipastikanpadatingkatmaksimum Padacontohdiatasadanyaderiviatifmenjelaskanbahwasannyauntukmemenuhikondisiinidisarankanadannyabatasantertentupadafungsiutilitas .

13. Analisisstatis -komparatif Dalammodel konsumen, PxdanPyadalaheksogenpadasuatuhimpunanpersamaanDimanasetiapfungsimempunyaideviriatifparsialkontinu. Variabelendogen Jacobiandanhimpunanpersamaanharusmempunnyainilai yang samaseperti Hessian terbatas. Jadibilasyaratordeduadipenuhiharusbernilaipositif PerubahanproposionaldalamhargadanPendapatan Hal ygjugapentingadalahmemperasalahkanbagaimana x* dan y* akanterpengaruhbilaketiga parameter diubahdalamproporsiygsama.

14. Apabilakeduaharganaik, bersama-samadenganpendapatan, dg kelipatanygsamabesar, seperti J, setiapsuku pd kendalaanggaranakannaiksebesar J. Menjadi Fungsiutilitas lain adalahindependendri parameter-parameter. Akibatnyatingkatkeseimbangan x dan y yg lama akanterusberlaku, yaknifungsikeseimbangankonsumen pd model2 tidaklahbervariasisesuai dg perubahanproposionalygsma pd semuahargadanpendapatan. Secarasimbolikdigambarkanseperti :

15. 12.6 FungsiHomogen Fungsihomogen : f (jx1 , … , jxn) = jrf (x1, … , jxn) Homogenitas Linear Q = f ( K,L ) • Sifat I : Sifat II : Misalsetiapvariabeldikalikandengan j = 1/L Maka, Q menjadijQ = Q/L Jadi,

16. Sifat III FungsiProduksi Cobb-Douglas : PerluasanHasil

17. 12.7 Kombinasi Input dengan Biaya Terkecil • Syarat Orde Pertama Rasio harga input terhadap produk marjinal harus sama untuk setiap input pada titik kombinasi input yang optimal • Syarat Orde Kedua ( Jalur Ekspansi ) Semua titik pada jalur ekspansi harus menunjukkan rasio input yang tetap dan sama • Fungsi Homotetik Juga dapat ditulis Rasio input optimal Kemiringan Isokuan Kemiringan Isokuan Q

18. Elastisitas Substitusi Besarnya substitusi input dapat diukur dengan rumus elastisitas titik berikut ini • Fungsi Produksi CES Persamaan umum Nilai K dan L didefinisikan positif Kemiringan isokuan ( dengan K diletakkan secara vertikal dan L secara horizontal)

19. 13.1Pemograman Nonlinear dan Kondisi Kuhn-Tucker Dengan pembatas linear mempunyai bentuk dasar sebagai berikut : minimize f (x) subject to Ax = b , x ≥ 0 dimana, f(x) dapat diturunkan terus menerus dan convex dari Rn sampai R. Rn = himpunan bilangan real berdimensi n Rmxn = himpunan bilangan real berdimensi mxn A∈Rmxn = matriks A yang anggota himpunannya bilangan real dimensi mxn dan x, b ∈Rm

20. Kondisi Optimal Berdasarkan kondisi KKT, x* merupakan solusi optimal dari permasalahan tersebut jika dan hanyajikaterdapat y* ∈Rm se-hingga (x*, y*)harus memenuhi kondisi berikut: • Ax − b = 0 , • ∇f (x) − AT y ≥ 0, • xT (∇f (x) − AT y) = 0 Ketiga kondisi di atas ekivalen dengan : • Ax – b = 0 • (x-x*)T ( ∇ f(x) – ATy) ≥ 0 , • ∀ x ≥ 0

21. 13.2 KualifikasiKendala Ketidakteraturanpadatitikbatasan - memaksimalkanΠ = x1 dengankendala x2-(1-x1)43 ≤ 0 dan x1, x2 ≥ 0 - menambahkansuatukendalabaru 2x1 + x2 ≤ 2 Kualifikasikendala Jikavariabelpilihanke j memilikinilainolpadatitik x , kitahanyamengizinkanperubahan non negatifpadasumbu x1yaitu : dxj ≥ 0 jika x*j = 0 Jikakendalake I benarbenardipenuhipadatitik x*, makaberarti dgi(x*) = gi1 dx1 + gi2dx2+…………..+gindxn(≤ 0 (maks), ≥ 0 (min), jikagi(x*) =ri ) Kendala Linear Jikadaerahlayakmerupakansuatuhimpunancembung yang hanyadibentukolehkendala linear, makakualifikasikendalapastiakandipenuhidankondisi Kuhn Tucker akanselaluberlakupadapemecahan optimal

22. 13.3 Aplikasi ekonomi Penjatahan sembako di waktu perang. Pada saat terjadi perang maka negara akan memberikan kupon untuk ditukarkan dengan sembako.pada saat seperti ini maka konsumen (masyarakat) harus membayar dua harga,yaitu harga kupon dan harga moneter

23. Penetapan harga beban puncak Penetapan harga beban puncak dan bukan beban puncak Sering kali ditemui pada perusahaan dengan proses produksi berkapasitas terbatas.Contoh umumnya adalah sekolah/universitas,dibangun untuk memenuhi kebutuhan siswa/mahasiswa (konsumen) pada siang hari (beban puncak),tapi kadang menawarkan kelas pada malam hari (bukan beban puncak) Walaupun pasar sekunder lebih kecil dari pasar primer,untuk mendapatkan laba yang lebih besar,pada saat pasar primer (beban puncak) melampaui kapasitas,maka pasar sekunder dapat menjadi alternatif dengan tingkat laba yang lebih rendah untuk maksimalisasi laba

24. 13.4 Dalilkecukupan Kuhn-Tucker : PemrogramanCekung Dalilkecukupan Memaksimalkan ∏ = f (x) Dengankendalagi (x) ≤ ri (i= 1,2,. . ., m) Dan x ≥ 0 Jikapersyaratanberikutdipenuhi : • Fungsitujuan f(x) dapatdibedakandancekungdalamorthantnonnegatif • Setiapfungsikendalagi(x) dapatdibedakandancembungdalamorthant non negatif • Titik x* memenuhikondisimaksimum global ∏ = f (x)

25. Dalilkecukupan Arrow-Enthoven: PemrogramanKuasiCekung Denganmasalahpemrogramannonlinier Memaksimalkan ∏ = f (x) dengankendalagi (x) ≤ ri (i= 1,2,. . ., m) Dan x ≥ 0 Jikasyaratsyaratberikutdipenuhi : • Fungsitujuan f (x) dapatdidiferensiasikandankuasicekungdalamorthantnonnegatif. • Setiapfungsikendalagi (x) dapatdidiferensiasikandankuasicembungdalamorthantnonnegatif • Titik x*memenuhikondisimaksimum Kuhn-Tucker • Salahsatudarihalberikutdipenuhi (d-i) fj (x*) < 0 untuksetidaknyasatuvariabelxj (d-ii) fj (x*) > 0 untukbeberapavariabelxj yang dapatmengambilnilaipositiftanpamelanggarkendala (d-iii) turunan n darifj (x*) tidaksemuanya 0, danfungsi f(x) dapatditurunkandua kali dalamlingkungan x*. (misal, semuaturunanparsialordekeduadari f(x) munculpada x* ) (d-IV) fungsi f(x) berwujudcekung

26. 13.5 FungsiNilaiMaksimumdanDalil Envelope • Dalil envelope untukOptimisasi yang takterkendali. Fungsitujuaninitidaklangsungmenelusurisemuanilaimaksimumdarifungsitujuankarena parameter inibervariasi. Olehkarenaitu,fungsitujuantidaklangsungmerupakansuatu “envelope” darisekumpulanfungsitujuan yang dioptimalkan, yang dibuatdenganmemvariasikanparametrdari model.

27. PenerapanNilaiMaksimumdalil Envelope • FungsiLaba • KondisiResipositas

28. Dalil Envelope untukoptimisasiTerkendala. • InterpretasidariPengali Lagrange menunjukanbahwanilai optimal mengukurtingkatperubahandarinilaimaksimumfungsitujuan.

29. 13.6. Dualitas dan Dalil Envelope Masalah Primal Misalkan U(x,y) adalah fungsi utilitas dimana x dan y barang konsumsi. Konsumen memiliki anggaran B dan menghadapi harga pasar Px dan Py untuk barang x dan y , dianggap masalah primal Memaksimalkan U=U(x,y) Dengan kendala Pxx+Pyy=B Lagrangiannnya : Z=U(x,y) + (B-Pxx-Pyy) Syarat orde pertama adalah Zx = Ux – Px = 0 Zy = Uy – Py = 0 = B – Pxx – Pyy = 0 Sistem persamaan ini memecahkan masalh xm, ym, dan m, pemecahan xm dan ym fungsi permintaan konsumen biasa, dan cara memasukkan ke fungsi utilitas : U* = U* (xm(Px, Py, B), ym (Px,Py,B))V(Px, Py, B)

30. Masalah Dual Tujuan meminimalkan pengeluaran atas x dan y dengan mempertahankan utilitas U* Meminimalkan E=Pxx + PyyDengan kendalaU(x,y) = U* Lagrangiannya Zd = Pxx +Pyy + [U* - U(x,y)] Syarat Orde Pertama = Px – Ux = 0 = Py – Uy = 0 = U* - U(x,y) = 0 Sistem persamaan ini menentukan serangkaian nilai dari xh, yh, , xh dan yh (pendapatan riil dianggap konstan) atau Hickisan sehingga diberi tanda tikatas h Pxxh(Px, Py, U*) + Pyyh(Px,Py,U*) E(Px, Py, U*)

31. Dualitas Jika menghilangi pengali Lagrange, dapat ditulis Laluakankitadapatkan Identitas Roy Adalah fungsi permintaan konsumen Marshallian individual sama dengan negatif dari rasio dua derivatif parsial dari fungsi nilai maksimum Hasil ini, dikenal identitas Roy, menunjukka permintaan Marshallian untuk komoditas x adalah negatif dari rasio dua derivatif parsial dari fungsi nilai-maksimum V terhadap Px dan B. Lemma Shephard Dengam menggunakan derivatif parsial dari fungsi ini terhadap Px dan Py dan mengevaluasinya pada optimum, kita menemukan bahwa mewakili permintaan Hicksian konsumen. Pendekatan Hotelling memiliki pendapatan serupa yang diterapkan pada fungsi pengeluaran menghasilkan lemma Shephard’s