1 / 22

Optimasi Fungsi Tanpa Kendala

Optimasi Fungsi Tanpa Kendala. Eneng Tita Tosida, M.Si. Optimasi Satu Variabel. Titik Maksimum (Ekstrim). Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x 0 - h) BP = f(x 0 ) CR = f(x 0 + h). P disebut titik maksimum bila : BP > AQ f(x 0 ) > f(x 0 - h)

amiel
Download Presentation

Optimasi Fungsi Tanpa Kendala

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si.

  2. Optimasi Satu Variabel

  3. Titik Maksimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x0 - h) BP = f(x0) CR = f(x0 + h)

  4. P disebut titik maksimum bila : BP > AQ f(x0) > f(x0 - h) BP > CR f(x0) > f(x0 + h) Dari Q ke P kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f’(x) > 0 Dari P ke R kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f’(x) < 0

  5. Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) > 0 ke f’(x) < 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik maksimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

  6. Titik Minimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x0 - h) BP = f(x0) CR = f(x0 + h)

  7. P disebut titik minimum bila : BP < AQ f(x0) < f(x0 - h) BP < CR f(x0) < f(x0 + h) Dari Q ke P kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f’(x) < 0 Dari P ke R kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f’(x) > 0

  8. Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) < 0 ke f’(x) > 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik minimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

  9. Teorema  Syarat perlu I Adanya titik ekstrim sebagai titik optimum  f’(x) = 0 Pada kejadian : Maksimum : f(x) > f(x+h) Minimum : f(x) < f(x+h)

  10. Dengan Deret Taylor Pada titik ekstrim : f’(x) = 0, h diambil cukup kecil sehingga h3, h4, h5,...=0 atau tergantung dari

  11. Teorema  Syarat Cukup II f’’(x)  0 f’’(x) < 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik maximum f’’(x) > 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik minimum Pada titik belok f’’(x) = 0; f’’’(x)  0

  12. Contoh Soal • Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 12x5- 45x4 + 40x3 + 5 Jawab : f’(x) = 60(x4 - 3x3 + 2x2) f’(x) = 60x2(x-1)(x-2) f’(x) = 0  60x2(x-1)(x-2) = 0 f’(x) = 0  x = 0; x =1, x = 2

  13. Untuk mencari titik x yang mana yang min or max f’’(x) = 60(4x3 - 9x2 + 4x) di x = 1  f’’(x) = -60  f’’(x) < 0 maka dikatakan sebagai titik maximum dengan nilai fmax = f(1) = 12 di x = 2  f’’(x) = 240  f’’(x) > 0 maka dikatakan sebagai titik minimum dengan nilai fmin = f(2) = -11 di x = 0  f’’(x) = 0 f’’’(x) = 60(12x2 - 18x) untuk x  0 f’’’(x) = 60 karena f’’’(x)  0, maka x = 0 dikatakan sebagai titik belok

  14. 2. Tentukan titik optimum dari f(x) = x2 - 6x + 5 Jawab : f’(x) = 2x – 6 f’(x) = 0  2x – 6 = 0  x = 3 f’’(x) = 2, untuk semua x, khususnya f’’(3) = 2 f(3) = -4  merupakan minimum lokal

  15. 3. Tentukan titik optimum dari f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 5 Jawab : f’(x) = 6x2 - 6x – 12 = 6(x+1)(x-2) f’’(x) = 12x - 6 f’(x) = 0  x = -1; x = 2 f’’(-1) = -18, diperoleh f(-1) = 12 sebagai titik maks lokal f’’(2) = 18, diperoleh f(2) = -15 sebagai titik min lokal

  16. 4. Tentukan nilai optimum dari f(x) = x2 - 2x – 1 pada [-1, 2] Jawab : ?????

  17. 5 . Pencarian Titik Optimum untuk Fungsi Pecahan titik optimum pada titik ekstrim untuk fungsi pecahan jika  juga merupakan pecahan syarat agar fungsi tersebut merupakan titik ekstrim p(x) = 0; q(x) = 0 jenis titik ekstrimnya ditentukan oleh keadaan f’’(x) 

  18. 5. Tentukan titik ekstrim dari Jawab: (Bentuk yang disederhanakan untuk titik nol dari p(x)) minimum maximum

  19. jadi titik-titik ekstrimnya : Sehingga : minimum maximum

  20. Titik Ekstrim dari fungsi parameter Fungsi x = (t) dan y = (t) merupakan nilai ekstrim jika berlaku : ’(t) = 0; ’(t)  0 Fungsi tersebut mempunyai nilai : Maximum jika : ’’(t) < 0 Minimum jika : ’’(t) > 0

  21. Contoh Tentukan titik ekstrim dari fungsi x = a cos t = (t) y = b sin t = (t)

  22. Jawab (t) = a cos t  ’(t) = -a sin t (t) = b sin t  ’(t) = b cos t dan ’’(t) = - b sin t ’(t) = 0  b cos t = 0 dengan ’(t1)  0 ; ’(t2)  0

More Related