Statystyka

1. Elementy statystyki opisowej realizowane na II, III i IV etapie edukacyjnymDobrzeń Wielki, 20.06.2013r.

2. Statystyka Statystyka jest nauką, która zajmuje się badaniami zjawisk masowych. Wyróżniamy jej dwa działy: • statykę opisową • statystykę matematyczną

3. Podmiotem statystyki opisowej są zagadnienia związane ze: • zbieraniem • porządkowaniem • analizą i interpretacją zgromadzonych danych

4. Statystyka matematyczna jest działem rachunku prawdopodobieństwa i zajmuje się modelami matematycznymi, których używa się do badania zjawisk masowych

5. Jednym z etapów badania statystycznego jest obserwacja statystyczna, które przeprowadza się za pomocą wywiadu kwestionariuszowego, ankiety i monitoringu lub rejestracji.

6. Badaniem statystycznym obejmuje się zwykle pewien zbiór obiektów, który nazywamy populacją generalną (zbiorowością generalną). Badanie obejmujące wszystkie elementy populacji nazywamy badaniem pełnym. Najczęściej przeprowadza się badanie częściowe, obejmujące tylko pewną część populacji. Taki podzbiór populacji, który został bezpośrednio objęty badaniem statystycznym, nazywamy próbą, a liczbę elementów wchodzących w skład próby- liczebnością tej próby.

7. W statystyce mówimy o małych próbach, jeśli liczebność próby jest nie większa niż 30 oraz o próbach dużych, jeśli liczebność próby jest większa niż 30. Próba, która podlega badaniu statystycznemu powinna być odpowiednio dobrana. Struktura próby musi odzwierciedlać strukturę badanej populacji, tak, aby istniała możliwość uogólnienia otrzymanych wyników na całą populację.

8. Elementy populacji generalnej, jakie podlegają obserwacji statystycznej mają różne własności, które nazywamy cechami mierzalnymi. W przypadku populacji danego miasta możemy mówić o nast. cechach: • wiek • płeć • kolor oczu • wykształcenie • wzrost • posiadanie własnego mieszkania, samochodu czy komputera • wykonywany zawód

9. Wśród cech są takie, które możemy wyrazić za pomocą liczb. Te cechy nazywamy cechami mierzalnymi. Są też cechy, które możemy wyrazić jedynie za pomocą słów (np. kolor oczu, wykształcenie, uczucia). Nazywamy je cechami niemierzalnymi. W wyniku badania statystycznego otrzymujemy dane statystyczne. Dane te analizujemy, opracowujemy. Następnie prezentujemy wnioski wynikające z uzyskanych danych.

10. Zdobyte przez ankieterów informacje przedstawiamy na różne sposoby za pomocą: • tabel • diagramu kolumnowego • diagramu słupkowego • diagramu kołowego • diagramu częstości względnych

11. Zgodnie z podstawą programową na II etapie edukacyjnym rozdział 13 p. pkt. 1.2 absolwent szkoły podstawowej gromadzi i porządkuje dane oraz odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tekstach, tabelach, diagramach i na wykresach.

12. Zgodnie z podstawą programową rozdział 9 p. pkt. 1-5 na III etapie edukacyjnym, uczeń gimnazjum nie tylko interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów ale także wyszukuje, selekcjonuje i porządkuje informacje z dostępnych źródeł oraz przedstawia dane w tabeli, za pomocą diagramu słupkowego lub kołowego. Wyznaczając liczby charakteryzujące zbiór wyników, wyznacza średnią arytmetyczną i medianę

13. W gimnazjum uczeń nabywa pierwsze umiejętności związane z rachunkiem prawdopodobieństwa a mianowicie analizuje proste doświadczenia losowe i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach.

14. Warto zwrócić uwagę na fakt, że analogiczne wymagania ogólne sformułowano dla IV etapu edukacji. Nieco inne wymagania dla II etapu edukacji, wynikające z faktu, iż stawiane są młodszemu uczniowi. Dzięki spójności wymagań ogólnych można będzie na każdym etapie edukacji rozwijać kształtowane wcześniej umiejętności i monitorować ich rozwój.

15. Na IV etapie edukacyjnym na poziomie podstawowym, rozdział 10 p. pkt. 1,2,3 uczeń: • oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych, interpretuje te parametry dla danych empirycznych • zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania • oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa

16. Na poziomie rozszerzonym spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego a ponadto: • wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych, • oblicza prawdopodobieństwo warunkowe, • korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym,

17. Rozważmy przykłady zadań z poziomu podstawowego, które mogą być rozwiązywane na III lub IV etapie edukacyjnym

18. 1. Mediana zestawu danych: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 3 jest równa: a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 3. 2. Średnia ważona liczb: 8, 3, 5, 12 z wagami odpowiednio: 1,8; 1,2; 0,9; 1,1 jest równa: a) 5,6 b) 7,04 c) 7,14 d) 6,25. 3. Średnia arytmetyczna liczb 3, 4a, 2a – 1, 8 jest o 2 mniejsza od średniej arytmetycznej liczb a – 1, 8a, 10. Zatem liczba a należy do przedziału: a) (0, 1b) (1, 2c) (2, 3 d) (3, 4.

19. 4. Troje przyjaciół ma wzrost odpowiednio równy 170 cm, 150 cm, 190 cm. Odchylenie standardowe od średniej wzrostu wynosi w przybliżeniu: a)20 cm b)16 cm c)17 cm d)18 cm. 5. Średnia ważona liczb 4, 3, x, 7, których jedyną modą jest 3, z wagami odpowiednio 1, 2, 2, 5 wynosi: a) 4/51 b) 1,7 c) 4,25 d) 5,1.

21. 7. (3 pkt) W pewnej firmie średnia płaca pracowników produkcyjnych wynosi 2816 zł, zaś średnia płaca pozostałych pracowników tej firmy wynosi 2480 zł. Średnia płaca wszystkich pracowników firmy jest równa 2720 zł. Oblicz, jaki procent pracowników produkcyjnych stanowią pozostali pracownicy tej firmy. 8. (5 pkt) W I semestrze z matematyki Maciek otrzymał 5 ocen, z których wszystkie to bardzo dobre i dostateczne. Oblicz, ile piątek ma Maciek, jeśli trójek ma więcej, a wariancja jego ocen wynosi 0,96.

22. 9. (3 pkt) Trzy różne od zera liczby: 9, x, y, których średnia arytmetyczna wynosi 3, tworzą (w podanej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz odchylenie standardowe od średniej tych liczb. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

23. Elementy kombinatoryki

24. 1. Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 7? a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 2. Na placu zabaw w przedszkolu bawi się piętnaścioro dzieci, wśród nich znajduje się dziesięć dziewczynek i siedmioro dzieci z grupy „Zuchy”. Najmniejsza możliwa liczba dziewczynek należących do „Zuchów” i bawiących się na podwórku wynosi: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7. 3. Z liczb 1, 2, 3, 4 tworzymy czterowyrazowe ciągi różnowartościowe. Liczba wszystkich takich ciągów jest równa: a) 24 b) 16 c) 48 d) 256.

25. 4. W klasie znajduje się 13 dziewcząt i 15 chłopców. Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację, w której będzie tylko jedna dziewczynka? a) 13 b) 13 + 15 c) 13 15 d) 13  27 5. Sześcian z zewnątrz pomalowano, a następnie pocięto na 27 jednakowej wielkości sześcianików. Ile spośród tych sześcianików ma pomalowaną co najwyżej jedną ścianę? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

26. 6. (5 pkt) Dane są zbiory: A = {x: xN i x < 5}, B = {y: yN i 1 y 3}. Wypisz wszystkie pary liczb postaci (x, y), gdzie xA i yB. Ile jest wśród nich takich par (x, y), że: a) suma liczb x i y jest podzielna przez 3 b) iloczyn liczb x i y jest nie mniejszy od 8 c) iloraz liczby x przez y jest większy od 1? 7. (5 pkt) Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych numerów telefonów, które spełniają łącznie następujące warunki:  pierwszą cyfrą jest 6 lub 8  druga cyfra oznacza liczbę pierwszą  cyfra czwarta oznacza liczbę mniejszą od 7  ostatnie trzy cyfry oznaczają trzy kolejne liczby nieparzyste (patrząc od lewej do prawej).

27. 1. Ola wycięła jednakowe pasy materiału w trzech różnych kolorach. Ile różnych trójkolo­rowych flag można utworzyć z tych pasów, jeśli paski układamy poziomo i kolory w jednej fladze nie mogą się powtarzać? a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 2. Na płaszczyźnie danych jest 7 różnych punktów. Liczba wszystkich odcinków, których końcami są te punkty, jest równa: a) 14 b) 21 c) 28 d) 35. 3. Krzysiek urodził się w 1995 roku. Ile różnych czterocyfrowych kodów może utworzyć, przestawiając dowolnie cyfry swojego roku urodzenia? a) 12 b) 24 c) 18 d) 6

28. 4. W pewnej grupie osób tylko dwie osoby wyróżniają się tym, że urodziły się w tym samym dniu tygodnia. Ile co najwyżej osób liczy ta grupa? a) 8 b) 7 c) 4 d) 2 5. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 50, które w wyniku podzielenia przez 8 dają resztę 2? a) 10 b) 7 c) 5 d) 6

29. 6. (5 pkt) Do kina wybrało się 7 znajomych osób: trzy dziewczyny i czterech chłopaków, wśród nich Kasia i Tomek. Mają bilety na kolejne miejsca, znajdujące się w jednym rzędzie. Na ile sposobów mogą zająć te miejsca, jeśli: a) Kasia i Tomek mają siedzieć obok siebie b) między dowolnymi dwoma chłopakami ma siedzieć jedna dziewczyna. 7. (5 pkt) W pudełku znajdują się 2 kule czerwone, 3 zielone i 4 niebieskie. Wszystkie kule są ponumerowane. Na ile sposobów można wybrać dwie kule tak, aby: a) tylko jedna z nich była niebieska b) obie kule były tego samego koloru. 8. (5 pkt) Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6} wybieramy trzy cyfry i tworzymy liczby trzycyfrowe; cyfry nie mogą się powtarzać. Ile można utworzyć takich liczb, które: a) są podzielne przez 4 b) są mniejsze od 345?

30. Udowodnij, że...

31. 1. (P) Wykaż, że istnieje dokładnie 3360 liczb pięciocyfrowych utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie 2 razy cyfra 1, a pozostałe cyfry są między sobą różne. D: Ustalamy, na ile sposobów można wybrać pozycję dla dwóch jedynek w liczbie pięciocyfrowej na tyle, ile jest . Trzy pozostałe cyfry losujemy z ośmioelementowego zbioru, czyli możliwości jest tyle, ile . Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy .

32. 2. (P) Uzasadnij, że jest 28800 liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 7 i dokładnie 2 razy cyfra 4. D: Należy rozpatrzeć trzy przypadki: Cyfra 7 jest pierwszą cyfrą tej liczby, następnie wyznaczamy pozycję dla dwóch czwórek, a to możemy zrobić na sposobów i następnie wyznaczamy pozostałe trzy cyfry na sposobów. Cyfra 4 jest pierwszą cyfrą tej liczby, następnie wyznaczamy pozycję dla drugiej czwórki i to możemy zrobić na sposobów, następnie pozycję dla 7 i następnie wyznaczamy 3 pozostałe cyfry na sposobów. Pierwszą cyfrą tej liczby jest cyfra należąca do zbioru , zatem wszystkich możliwości jest , Łącznie otrzymujemy: liczb. Zadanie można rozwiązać krótszą metodą:.

33. 3. (P) Uzasadnij, że jest 27500 liczb pięciocyfrowych, które w zapisie dziesiętnym mają trzy cyfry parzyste i dwie cyfry nieparzyste. D: Najpierw ustalmy, gdzie stoją cyfry parzyste, a gdzie nieparzyste. Należy rozpatrzeć dwa przypadki: P_ _ _ _ lub N_ _ _ _. Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (bez 0). Miejsca dla dwóch cyfr nieparzystych możemy wybrać na tyle sposobów, ile jest . Jeżeli już ustaliliśmy, gdzie stoją cyfry parzyste, a gdzie nieparzyste, to każdą cyfrę można wybrać na 5 sposobów, zatem . Gdy na pierwszym miejscu stoi cyfra nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów, drugą cyfrę nieparzystą możemy rozmieścić na 4 sposoby. Każdą pozostałą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów, zatem . Uwzględniając oba przypadki otrzymujemy .

34. 4. (P) Uzasadnij, że są 1344 liczby naturalne czterocyfrowe o 4 różnych cyfrach takich, że jedną z cyfr jest 6 i żadna z trzech pozostałych cyfr nie jest zerem. D: W liczbie czterocyfrowej cyfra 6 może być na 4 pozycjach. Trzy pozostałe cyfry wybieramy z 8-elementowego zbioru, zatem wszystkich możliwości jest .

35. 5. (R) Ze zbioru liczb losujemy jednocześnie dwie liczby. Wykaż, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb takich, że suma tych liczb jest liczbą parzystą, wynosi . 6. (R) Ze zbioru liczb losujemy jednocześnie dwie liczby. Wykaż, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch takich liczb, że suma kwadratów tych liczb jest liczbą podzielną przez 4, jest równe .

36. 7. (R) Ze zbioru losujemy jednocześnie pięć liczb. Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie liczby będą parzyste i dokładnie jedna liczba będzie podzielna przez 5, jest równe . D: Wszystkich możliwych wyników w tym doświadczeniu jest tyle, ile wariacji pięcioelementowych dziesięcioelementowego zbioru, czyli . Zdarzenie A polega na tym, aby dokładnie dwie liczby były parzyste i dokładnie jedna była podzielna przez 5. Temu zdarzeniu sprzyjają zdarzenie , które polega na wylosowaniu liczby 10 oraz jednej liczby parzystej z 4 liczb parzystych, a także wylosowaniu 3 liczb nieparzystych spośród 4 liczb nieparzystych (bez 5) lub zdarzenie , które polega na wylosowaniu 2 liczb parzystych spośród 4 parzystych (bez 10), jednej liczby 5 oraz 2 liczb nieparzystych spośród 4. , , , , zatem .

37. 8. (R) Listonosz losowo rozmieszcza 8 listów w 6 różnych skrzynkach na listy. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo tego, że w każdej skrzynce znajdzie się przynajmniej 1 list, jest równe . D: Zauważmy, że każdy list może trafić do jednej z sześciu skrzynek, zatem . Mamy dwie możliwości: - w jednej skrzynce znajdą się trzy listy, a w każdej z pozostałych po jednym liście. Skrzynkę, w której byłyby 3 listy, można wybrać na 6 sposobów, zaś trzy listy na tyle sposobów, ile jest kombinacji trójelementowych 8-elementowego zbioru- , a pozostałych 5 listów można umieścić w skrzynkach na 5! sposobów. - zdarzenie polegające na tym, że dwie skrzynki zawierają dwa listy. Dwie skrzynki możemy wybrać na sposobów. Następnie wybieramy 4 listy, które znajdują się w tych skrzynkach. Możemy to zrobić na sposobów. Należy jeszcze ustalić, które dwa z tych czterech listów trafią do pierwszej z wybranych skrzynek. Możemy to zrobić na sposobów (lub też mogliśmy wybrać najpierw dwa listy do pierwszej skrzynki a następnie dwa do drugiej na sposobów). Pozostałe cztery listy możemy dowolnie rozmieścić pomiędzy 4 pozostałe skrzynki, zatem:.

38. 9. (R) i są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω takimi, że i . Wykaż, że D: Zauważmy, że , to . Z założenia , to . Z własności prawdopodobieństwa , zatem . . Uwzględniając założenie, możemy zapisać, że i ...

39. 10. Wiedząc, że , to uzasadnij, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia pod warunkiem zajścia zdarzenia jest równe . D: Zauważmy, że , zatem , więc . Korzystając z własności prawdopodobieństwa, otrzymujemy: , zatem . Korzystamy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego.

40. 11. (R) Dziesięć różnokolorowych par rękawiczek rozmieszczamy w trzech szufladach. Zdarzenie polega na tym, że w pierwszej szufladzie są dwie pary rękawiczek. Zdarzenie polega na tym, że czarna para rękawiczek znalazła się w szufladzie drugiej. Uzasadnij, że zdarzenia i nie są niezależne. 12. (R) Uzasadnij, że dla dowolnych zdarzeń zachodzi nierówność.

41. 13. W zestawie egzaminacyjnym umieszczono tematów z algebry, z geometrii i z rachunku prawdopodobieństwa. Zdający wylosował kolejno dwa tematy (bez zwracania). Udowodnij, że prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosował temat z geometrii jest równe . D: Przedstawione w treści zadania doświadczenie jest doświadczeniem dwuetapowym. Zdarzenie – za drugim razem wylosowano temat z geometrii.Korzystamy z własności , zdarzenie – za pierwszym razem wylosowano temat z geometriizdarzenie – za pierwszym razem wylosowano temat z algebry zdarzenie – za pierwszym razem wylosowano temat z rachunku prawdopodobieństwa , i .Prawdopodobieństwo warunkowe:, i .Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:. .Zdanie można rozwiązać także, stosując drzewo stochastyczne.

42. Dziękuję za uwagę