Statystyka

1. Statystyka Wojciech Jawień <wojciech.jawien@uj.edu.pl> http://farm.cm-uj.krakow.pl/dyd/stat p. 323

2. Program zajęć • Wymiar • 10 godzin wykładu (5 spotkań po 2 godziny) • 20 godzin ćwiczeń (10 spotkań po 2 godziny)

3. Program zajęć – tematyka • Wykłady • Podstawowe pojęcia: prawdopodobieństwo, zmienna losowa, rozkłady prawdop. • Estymacja, statystyka opisowa • Testowanie hipotez • Elementy statystycznej kontroli jakości

4. Program zajęć – tematyka (cd.) • Ćwiczenia • Ilustracja materiału wykładowego poprzez praktyczne wykonanie analiz statystycznych z wykorzystaniem programów ogólnego zastosowania i specjalistycznych: • MS Excel • Statistica • SAS (Stat i Graph) • R (darmowy S-Plus)

5. Zasady zaliczenia • Na ćwiczeniach obowiązuje materiał z poprzednich wykładów (kolokwia). • Praca na ćwiczeniach.

6. Podstawowe pojęcia

7. Zdarzenia • Eksperyment – powtarzalny sposób postępowania dający jakiś wynik • nie zakładamy powtarzalności wyniku • Zdarzenie elementarne – każdy możliwy wynik eksperymentu

8. Zbiory zdarzeń • Zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu • Zdarzenie losowe – dowolny podzbiór zbioru zdarzeń

9. Prawdopodobieństwo • Określone dla zdarzeń losowych lub elementarnych. • Własności definiujące:

10. Częstość • Częstość zdarzenia A: liczba wystąpień zdarzenia A liczba powtórzeń eksperymentu

11. Prawdopodobieństwo i częstość • Tylko w nielicznych przypadkach można obliczyć teoretyczne prawdopodobieństwa. • Zazwyczaj musimy przybliżać je za pomocą częstości. Przybliżenie to jest tym lepsze, im większa liczba powtórzeń eksperymentu (prawo wielkich liczb).

12. Prawdopodobieństwo warunkowe • Zdarza się, że interesują nas nie wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, a jedynie te, które spełniają pewien warunek (zdefiniowany przez zdarzenie losowe) • Prawdopodobieństwo zdarzeń przy tak ograniczonym zbiorze zdarzeń elementarnych można obliczyć ze wzoru:

13. Prawdopodobieństwo warunkowe – przykłady • P(♂)0,5 • P(♂|starał się na WF UJ)=290/17600,16 • policzenie tego wprost ze wzoru byłoby trudniejsze. • P(♂|przyjęty na WF UJ)=37/2540,15

14. Zatem dla zdarzeń niezależnych: Zdarzenia niezależne • Jeśli nałożony warunek nie zmienia prawdopodobieństwa, zdarzenia nazywamy niezależnymi

15. Zmienna losowa • Jeżeli wynik eksperymentu wyrazimy w postaci liczbowej to otrzymamy zmienną losową • Ściślej: zmienna losowa to odwzorowanie zbioru zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych. Nie musi być wzajemnie jednoznaczne. • np. tę samą wygraną w grze liczbowej można uzyskać dla wielu układów wylosowanych liczb.

16. Zmienna losowa • Gdy zmienna losowa może przybierać dowolne wartości z pewnego przedziału, nazywamy ją zmienną losową ciągłą. • Jeśli natomiast przyjmuje tylko pewne wartości, a nie przyjmuje wartości pośrednich nazywamy ją zmienną losową dyskretną.

17. Zmienna losowa ciągła • Losujemy liczbę z przedziału [0,1] – to nasza zmienna losowa X. Jakie są prawdopodobieństwa:

18. Zmienna losowa ciągła • Dla zmiennych losowych celowe jest rozważanie prawdopodobieństw w przedziałach a nie punktach. • Pożytecznym sposobem przedstawienia zachowania zmiennej losowej jest histogram.

19. Histogram

20. Histogramy • Ze wzrostem liczby przedziałów częstości obserwacji w przedziałach stają się coraz niższe. • Można temu zapobiec wykreślając częstość / szerokość przedziału. W takim histogramie pole powierzchni słupka jest równe częstości.

21. Histogram

22. Histogramy

23. Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa • Ze wzrostem liczby pomiarów częstość dąży do prawdopodobieństwa. Jeśli równocześnie zwiększamy liczbę przedziałów, histogram dąży do wykresu tzw. funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa. • Ma ona sens tylko dla zmiennej losowej ciągłej.

24. Funkcja gęstości rozkładu

25. Funkcja gęstości – właściwości • Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pozwala obliczać prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej losowej w dowolnym przedziale.

26. Funkcja gęstości

27. Funkcja rozkładu (dystrybuanta) • Dystrybuanta podaje prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez zmienną losową wartości argumentu. • Funkcja rozkładu ma sens zarówno dla ciągłych, jak i dyskretnych zmiennych losowych.

28. Funkcja rozkładu • jeśli X jest niewiększe od b i nie jest niewiększe od a • W języku logiki: • Można więc napisać:

29. Funkcja rozkładu • Dla ciągłych zmiennych losowych było: • a więc

30. Funkcja rozkładu • Kto pamięta cokolwiek z rachunku całkowego zauważy, że dystrybuanta jest funkcją pierwotną dla funkcji gęstości rozkładu: • Nachylenie wykresu dystrybuanty odpowiada więc funkcji gęstości.

31. Funkcja rozkładu i f. gęstościInne właściwości (pole pod wykresem f(x) jest zawsze równe 1) • F jest funkcją niemalejącą

32. Rozkłady prawdopodobieństwa • Różne eksperymenty opisywane mogą być różnymi funkcjami gęstości, czyli zmienne losowe mogą mieć różne rozkłady prawdopodobieństwa. • W praktyce bardzo często spotykamy rozkład normalny.

33. Rozkład normalny • Funkcja gęstości dana jest wzorem: • Jej konkretna postać określona jest przez dwa parametry: • wartość oczekiwaną • odchylenie standardowe

34. Rozkład normalny

35. Rozkład normalny • Dlaczego rozkład normalny jest tak częsty? • Model Hagena. • Centralne twierdzenie graniczne

36. Model Hagena dla błędów pomiarowych • Błąd jest wypadkową wielu niezależnych czynników, wszystkich tego samego rzędu. • Każdy czynnik z równym prawdopodobień-stwem wpływa na zawyżenie lub zaniżenie wyniku pomiaru. Można udowodnić, że gdy spełnione są te założenia, to wynik pomiaru podlega rozkładowi normalnemu.

37. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe • Wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe można określić dla wielu innych (ale nie wszystkich) funkcji gęstości rozkładu: kwadrat odchyle-nia stand. nazy-wamy wariancją.

38. Centralne twierdzenie graniczne • Jeżeli zm. losowa X ma dowolny rozkład prawdopodobieństwa (ale taki, że określone są i ), to oznacza średnią z n pomiarów • w praktyce zwykle wystarczy n rzędu 10.

39. Estymacja parametrów • Parametry rozkładu normalnego zwykle nie są znane. Na podstawie serii pomiarów możemy je oszacować: jest oszacowaniem dla wartości oczekiwanej jest oszacowaniem odchylenia standardowego

40. Standardowy rozkład normalny • Jeśli X ma rozkład normalny o parametrach i to: ma rozkład normalny o parametrach zwany standardowym rozkładem normalnym.

41. Standardowy rozkład normalny standardowy

42. Suma i różnica niezależnych rozkładów • Jeżeli X ma rozkład o parametrach i oraz Y ma rozkład o parametrach i to parametry rozkładu ich sumy X+Y są następujące: • Podobnie, dla różnicy X-Y:

43. Suma i różnica rozkładów • Kształt rozkładu sumy lub różnicy jest zwykle inny od kształtu składników. Są jednak wyjątki, np. rozkład normalny lub • Suma lub różnica dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym też ma rozkład normalny.

44. Średnia z pomiarów o rozkładzie normalnym • Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach i : • to średnia z n pomiarów ma rozkład normalny o parametrach i :

45. Galeria rozkładów ciągłych