Zpracování neurčitosti Fuzzy přístupy

1. Zpracování neurčitostiFuzzy přístupy RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz

2. Fuzzy množiny Fuzzy množinaA v univerzu U: U… klasická množina … funkce příslušnosti (charakteristická funkce) … stupeň příslušnosti prvku x k fuzzy množině A Prázdná fuzzy množina

3. Fuzzy čísla Fuzzy čísloA je fuzzy množina na universu reálných čísel, která je určena čtveřicí bodů ( a(1), a(2), a(3), a(4) ) a po částech souvislou funkcí příslušnosti s následujícími vlastnostmi: • a(1)a(2)a(3)a(4) • je rovna nule pro xa(1) a xa(4) • je rovna jedné pro a(2)xa(3) • je rostoucí na a(1), a(2) a klesající na a(3),a(4)

4. A(x) 1 1 x x 0 0 a(1) a(2) a(3) a(4) a(1) a(2) a(3) Speciální případy fuzzy čísel Lichoběžníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3), a(4) ) Trojúhelníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3) ) A(x)

5. Základní operace s fuzzy množinami Nechť , . Doplněk fuzzy množiny A: Sjednocení fuzzy množin A a B: Průnik fuzzy množin A a B:

6. Kartézský součin a fuzzy relace Nechť , . Kartézský součin fuzzy množin A a B: Fuzzy relace: jsou klasické množiny Kartézský součin fuzzy množin je zvláštním případem fuzzy relace.

7. Cylindrické rozšíření a silná kompozice Nechť m < n, , . Cylindrické rozšíření fuzzy relace R na : Cyl(R) = R* Nechť , Silná kompozice relací R a S

8. Lingvistická proměnná Lingvistická (slovní, jazyková) proměnná je taková proměnná, jejíž hodnotami jsou slova. Významy těchto slov jsou reprezentovány jako fuzzy množiny v nějakém univerzu. Strukturovaná lingvistická proměnná: X … jméno proměnné, T… množina termů (tj. slovních hodnot proměnné), U … univerzum (neprázdná klasická množina), G … množina syntaktických pravidel pro generování hodnot z T M … množina sémantických pravidelinterpretujících hodnoty z Tjako fuzzy množiny s univerzem U. Nestrukturovaná lingvistická proměnná: T … konečná množina fuzzy množin s univerzem U.

9. Vícehodnotová logika Množina logických (pravdivostních) hodnot C =   0 představuje pravdu a 1 nepravdu. Logická proměnná je proměnná nabývající hodnot z množiny C.Nechť W je konečná množina logických proměnných. Množina logických spojek L = {, , , } (disjunkce, konjunkce, odvážná konjunkce, implikace). Formuleje konečný řetězec, definovaný těmito pravidly: Je-li   C, pak  je formule. Je-li   W, pak  je formule. Jestliže  a  jsou formule a   L, pak (  ) je formule. Interpretace formule je dosazení logických konstant za logické proměnné.

10. Pravdivostní ohodnocení Nechť Q je množina všech formulí a (Q) množina všech jejich interpretací. Pravdivostním ohodnocením nazveme zobrazení V: (Q)  C, splňující následující požadavky: V() =  Operacenegaceje definována takto:  =   0 Pro pravdivostní ohodnocení negace pak dostaneme:

11. Příklady implikací Lukasiewiczova: Kleene-Dienesova: Zadehova: Gödelova:

12. Kompoziční pravidlo usuzování Uvažujme pravidlo IF X = A THEN Y = B Nechť , . Pak toto pravidlo můžeme chápat jako fuzzy relaci Ve fuzzy systémech se charakteristická funkce této relace často definuje vztahem a relace se nepřesně označuje názvem Mamdaniho implikace.

13. Kompoziční pravidlo usuzování Pravidlofuzzy modus ponens: Nechť . Pak fuzzy množina může být určena takto: Je-li univerzum U konečná množina, můžeme operátor sup nahradit operátorem max.

14. Báze fuzzy pravidel Předpokládejme , že znalostní báze je tvořena m pravidly tvaru IF X1 = Ai1 AND X2 = Ai2 AND … AND Xn = Ain THEN Y = B kde , . Těmto pravidlům odpovídají fuzzy relace Podmínku na levé straně i-tého pravidla můžeme vyjádřit ve tvaru X= Ai, kde , Báze fuzzy pravidel může být reprezentována relací

15. Zodpovězení dotazu Nechť nyní je položen dotaz X1 = A01 AND X2 = A02 AND … AND Xn = A0n Odpovědí systému je fuzzy množina Při použití Mamdaniho interpretace relací Ri můžeme tento vztah převést do tvaru umožňujícího efektivnější výpočet:

16. Příklad tvorby odpovědi

17. Systém LMPS LMPS (Linguistic Model Processing System) je systém pro slovní modelování funkcí a relací. Slovní model je formule, ve které jsou nahrazeny logické proměnné charakteristickými funkcemi fuzzy množin, které sémanticky interpretují slovní hodnoty lingvistických proměnných. Systém LMPS rozlišuje dva typy slovních proměnných: • slovní proměnná s reálným univerzem • slovní proměnná s univerzem slovních hodnot V systému LMPS se používají tři typy slovních modelů: • CCD-model (vhodný pro relace, které nejsou funkcemi) • CIC-model • CI&-model

18. CCD-model CCD-model je tvořen CC-prohlášeními, která jsou propojena spojkou disjunkce. CC-prohlášení má tvar X1 je A1 a X2 je A2 a … a Xn je An a Y = B kde Xja Y jsou lingvistické proměnné a Aj a B jsou jejich slovní hodnoty. CC-prohlášení je vlastně sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při použití Mamdaniho „implikace“. CCD-model interpretuje pravdu tak, že pravdivé je to, co tvrdí alespoň jedno prohlášení. Model není citlivý na spory mezi prohlášeními a nebere v úvahu redundantní informace.

19. Modely CIC a CI& CIC-model a CI&-model jsou tvořeny CI-prohlášeními tvaru X1 je A1 a X2 je A2 a … a Xn je An pak Y = B CI-prohlášení je sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při použití Lukasiewiczovy implikace. V CIC-modelu jsou prohlášení propojena pomocí konjunkce, kdežto v CI&-modelu je k tomuto účelu použita odvážná konjunkce. V těchto modelech se za pravdivé považuje to, co není v rozporu s žádným prohlášením. Oba modely jsou citlivé na spory (absolutní spor v prohlášeních vede k úplné ztrátě informace) a berou v úvahu redundantní informace. Vlastnosti CIC-modelu redundantní informace obecně zhoršují, kdežto u CI&-modelu je tomu naopak (pokud tyto informace nejsou vzájemně sporné).

20. Zpracování dotazu v systému LMPS Systému LMPS jsou zadávány dotazy tvaru Jaká je hodnota Y, jestliže X1 je H1 a X2 je H2 a … a Xn je Hn ? Každé CC-prohlášení je nahrazeno formulí a každé CI-prohlášení je nahrazeno formulí pro každé yV, kde pro reálné univerzum a pro univerzum slovních hodnot Tyto formule spojeny logickými spojkami , resp. , resp. &. Pravdivostní ohodnocení výsledné formule určuje stupeň příslušnosti hodnoty y k fuzzy množině, která je odpovědí na zadaný dotaz.

21. Defuzzifikace Defuzzifikace je proces, v němž nějaké fuzzy množině přiřazujeme ostrou hodnotu, která ji v jistém smyslu nejlépe reprezentuje. Nejčastěji používané metody defuzzifikace: • Metoda těžiště (COA, center of area): • Metoda maxima: Pokud je takových bodů více, může se použít některá z následujících metod. • Metoda prvého maxima (FOM, first of maxima). • Metoda průměrného maxima (MOM, mean of maxima).

22. Defuzzifikace v systému LMPS Defuzzifikace odpovědi v systému LMPS probíhá následovně. Pokud charakteristická funkce odpovědi nabývá svého maxima v jediném prvku univerza V, pak tento prvek představuje nejpravdivější možnou odpověď na zadaný dotaz. Je-li takových prvků více, pak v případě reálného univerza je vybrán ten prvek, který leží nejblíže těžišti plochy, shora ohraničené charakteristickou funkcí odpovědi.