K özgazdaságtani és algoritmikus mechanizmus-tervezés

1. Közgazdaságtani és algoritmikus mechanizmus-tervezés Gulyás László AITIA International Rt. lgulyas@aitia.ai Ágensek és multi-ágens rendszerekKurzus az ELTE programtervező-matematikus hallgatóinak

2. Napirend • ZH + Feladat-beadás • Közgazdaságtani mechanizmus-tervezés • Definíció, játékforma, stratégiák, implementáció • A „feltárási szabály” (revelation principle) • Negatív eredmények (Gibbard-Satterthwaite) • A VCG-mechanizmus osztály • A pénzügyi egyensúly • Alkalmazások • Algoritmikus mechanizmus-tervezés • Kiszámítható aukciók • Kommunikációs bonyolultság • A kombinatorikus aukciók bonyolultsága • A közelítés problémái Ágensek és multi-ágens rendszerek

3. Közgazdaságtani mechanizmus-tervezés • A mikroökonómia irodalmának egyik fontos témája kb. 1970-től • Szűkös (társadalmi) erőforrások allokációja, független és önző szereplők esetén. • “Társadalmi” és egyéni hasznosság • Játékelmélet a közgtanban (Nobel-díj) • Implementáció-elmélet Ágensek és multi-ágens rendszerek

4. Környezet • nágensek (alkuszok) száma • X kimenet-állapotok halmaza • tiTiprivát információ (típus)i[1,n] , T= T1...  Tn • vi: Ti Xhasznosságfüggvény,i[1,n](v.ö. típus) • Hasznosság-maximalizálás feltételezése. Ágensek és multi-ágens rendszerek

5. A társadalmi választás függvénye • A kollektív döntés: • f:TX • Megjegyzések: • Determinisztikus • Egyértékű Ágensek és multi-ágens rendszerek

6. A tv-függvény jellemzése • Ex post hatékonyság (Pareto hatékonyság) • Tulajdonképpen „optimalizálási” probléma. • GOND: ti, vi ismeretlen (privát). Ágensek és multi-ágens rendszerek

7. Közgazdaságtani mechanizmus • A kollektív döntés meghozatalának protokollja. • SiStratégia-család minden ágensnek (megengedett üzenetek)S= Si • m:SX Output-függvény Ágensek és multi-ágens rendszerek

8. Közgazdaságtani mechanizmus II. • “Principal”  mechanizmus tervezés • Játékot definiál (v.ö. játékelmélet): • (m, S), • T, • (v1, …, vn) • + a típusok eloszlása Ágensek és multi-ágens rendszerek

9. Stratégia • si:TiSi • Költségmentes / uniform költségű stratégiák. • A probléma definíciója publikus. • A principal ismeri a döntést. • Nincs más információ (pl. egymás típusáról) • Nincs ágens-ágens kommunikáció • Lehetnek ugyanakkor vélekedések Ágensek és multi-ágens rendszerek

10. Output- kontra tv-függvény • Implementáció: •  egyensúlyi stratégia n-es (s1*, …,sn*), hogy • Egyensúly – a játékban: • Domináns stratégia mellett • Nash-egyensúly • Bayesiánus(-Nash) egyensúly Ágensek és multi-ágens rendszerek

11. Mechanizmus-tervezési probléma • Adott • környezethez és tv-függvényhez • keresünk • mechanizmust • ami implementálja azt, egy adott • egyensúly-fogalom • szerint. Ágensek és multi-ágens rendszerek

12. Altípusok… • M-tervezési optimalizálási probléma • f=argmaxxX g(t,x), g:TX+ • Utilitariánus optimalizálási probléma • g(t,x)=vi(ti,x) • M-tervezési -approximáció • implementáció gyengítése • M-tervezési -optimalizáció Ágensek és multi-ágens rendszerek

13. Klasszikus eredmények • Végtelen sok mechanizmus… • Elég lehet egy részhalmaz vizsgálata is? Ágensek és multi-ágens rendszerek

14. Direkt (feltáró) mechanizmusok • Az ágensek típusukkal licitálnak. • i[1,n]: Si=Ti • „Az ágenseket megkérjük, hogy fedjék fel privát információjukat.” Ágensek és multi-ágens rendszerek

15. Igaz(mondó) implementáció • (m, S)direkt mechanizmus • (s1*, …,sn*)=(t1,…,tn) • m(t)=f(t) • Alternatív elnevezések • Stratégiaálló (strategy-proof) • szándékkompatibilis (incentive compatible) Ágensek és multi-ágens rendszerek

16. (Gyengén) Domináns stratégia • tiTi: s-iS-i: s’iSi • Egyensúly domináns stratégiában: • minden ágensnek létezik DS-e, • ezek egyensúlyi pontja • Implementáció domináns stratégiában • Igazmondó implementáció DS-ben Ágensek és multi-ágens rendszerek

17. A feltárási szabály/tétel (RP) • Ha (m,S)indirekt mechanizmus • implementál egy problémát, • akkor létezik (m’,T)direkt mechanizmus, • ami igazmondóan implementálja azt. Ágensek és multi-ágens rendszerek

18. Feltárási szabály – “Bizonyítás” • A DS-ek kiszámíthatóak a típusokból. • Ezért a principal is kiszámíthatja azokat... • Számoljunk hát DS-eket a beküldött típusokból • és “szimuláljuk” az eredeti mechanizmust. • Ebben a mechanizmusban az igazmondás domináns stratégia. • Érvelés mobil ágensekkel... Ágensek és multi-ágens rendszerek

19. Kommentek az RP-hez I. • Angol árverés  Vickrey árverés • A DS-egyensúly ugyanaz, de a “taktikai lehetőségek” mások (ha valaki hibázik). • Az “érvelés” áll több forduló esetén is. • Minden megszerzett infó kiszámítható. Ágensek és multi-ágens rendszerek

20. Kommentek az RP-hez II. • A szabály nem zárja ki, hogy valakinek más domináns stratégiája is legyen. • Feltesszük, hogy a szereplők csak akkor hazudnak, ha abból közvetlenül profitálnak. (Incentive to lie assumption) • A racionális önzés axiómája • A racionalitás fontos! • Feltettük, hogy a DS kiszámítható! • Ld. később… Ágensek és multi-ágens rendszerek

21. Az RP következménye • Elegendő a direkt mechanizmusok vizsgálata. Ágensek és multi-ágens rendszerek

22. Klasszikus negatív eredmény • Gibbard ’73, Satterthwaite ‘75: • HA • X véges és legalább 3 elemből áll; • f(T)=Xés • a típusok (valuációk) tetszőlegesek lehetnek • AKKOR • f igazmondóan DS-implementálható fdiktatórikus. Ágensek és multi-ágens rendszerek

23. Következmény • Ha nem csak triviális problémákkal foglalkozunk, akkor • vagy lazítanunk kell a megoldás-fogalmon(a DS elvetése) • vagy korlátoznunk kell a lehetséges valuációkat Ágensek és multi-ágens rendszerek

24. “Kvázi-lineáris” környezet • pi: pénz-transzfer • vi:O • ui(ti,o,pi)=vi(ti,o) + (mi+pi) • A hasznosság független a kapott pénztől. • A diktatórikusság (ami hasznosság-alapú) értelmetlenné válik. • Zárt (pénzügyi) rendszer: pi0 • Nincs külső finanszírozás (csak egymástól vehetik el a pénzt). Ágensek és multi-ágens rendszerek

25. “Kvázi-lineáris” környezet II. • Tv-függvény: f=(o(), p1(),…, pn()) • o: T  O • pi  •  pi(t)  0. • Mechanizmus: (o,p,S) • Ex post hatékonyság: o()-ra Ágensek és multi-ágens rendszerek

26. Elégséges feltétel igazmondásra • HA • o() ex post hatékony és • AKKOR • f() igazmondóan DS-implementálható. Ágensek és multi-ágens rendszerek

27. Groves-mechanizmus(-osztály) • Direkt mechanizmus, ahol • o() ex post hatékony és • Definíció szerint„igazmondó”. Ágensek és multi-ágens rendszerek

28. Clarke/Pivotális mechanizmus • Ha ahol . • Azaz Ágensek és multi-ágens rendszerek

29. Megjegyzések a Clarke-mechanizmushoz • Az az ex post hatékony allokáció, ami akkor jönne létre, ha az i-ik ágens nem volna jelen. • Az i-ik ágens 0 transzfert kap, ha az ő licitje nem változtatja meg az allokációt. • Ha megváltoztatja, akkor a transzfer negatív: • Ez az ún. Clarke-adó (Clarke-tax), amiaz ágens „meghatározóságával” arányos. • Egyetlen oszthatatlan áru allokálása esetén Clarke mechanizmusa a Vickrey aukciót adja. • Innen a Vickrey-Clarke-Groves (VCG) mechanizmus elnevezés. Ágensek és multi-ágens rendszerek

30. Általánosított Vickrey Aukció (Generalized Vickrey Auction) • A Clarke mechanizmus, ha • m db áruról van szó, • melyek k típusba tartoznak és • kezdetben tetszőleges módon vannak szétosztva az ágensek között. Ágensek és multi-ágens rendszerek

31. Vickrey-Clarke-Groves mech. • A Groves mechanizmus kissé pontatlan elnevezése. • Igazmondóan DS-implementálható megoldás kvázi-lineáris környezetben. • Milyen más mechanizmusok “képesek” erre? Ágensek és multi-ágens rendszerek

32. Green-Laffont 1979. • HA • minden ágens esetén, minden lehetséges valuációs függvény előadódhat, • AKKOR • a VCG az egyetlen igazmondóan implementálható • ex post hatékony mechanizmus. Ágensek és multi-ágens rendszerek

33. A pénzügyi egyensúly • Eddig csak az allokáció hatékonyságával törődtünk. • Nem biztos azonban, hogy pi(t)=0. • Azaz: veszhet el pénz… • Vagy valaki többet fizet, mint amennyi az ér, amit kap… • V.ö. Részvételi korlát. • Green-Laffont 1979: • A pénzügyi egyensúly nem garantálható. Ágensek és multi-ágens rendszerek

34. A pénzügyi egyensúly II. • Ha legalább egy ágens valuációja ismert, • akkor igen! • Az “indifferens” eladó esete: • Mindegy neki, hogy kihez kerül az áru (vagy ki mit kap). • Minden “befizetést” az eladó kap. • Természetes feltételek... Ágensek és multi-ágens rendszerek

35. Rövid kitérő a “másik útra” • Eddig a DS-implementációt vizsgáltuk • Szükségszerűen speciális környezetben. • Járható út a megoldásfogalom gyengítése is. • Létezik a VCG “megfelelője” is... Ágensek és multi-ágens rendszerek

36. Vissza: a VCG alkalmazásai • Nisan és Ronen: • Legrövidebb út telekommunikációs hálózatban • Feladat-ütemezés • MacKie-Mason: • GVA QoS route-oláshoz • Wellman et al.: • Feladat-ütemezés Ágensek és multi-ágens rendszerek

37. Az alkalmazások problémái • A VCG megköveteli az optimális allokáció o() kiszámítását. • Ez a számításigény szempontjából problémás lehet… • Mi hasznunk akkor a VCG-ből? • Az ágenseket rávettük a privát információ felfedésére! Ágensek és multi-ágens rendszerek

38. Bonyolultság és korl. racionalitás Ágensek és multi-ágens rendszerek

39. Algoritmikus mech-tervezés • Számítógépes implementáció • Ágensek • Protokoll • A győztes kiválasztása • Algoritmikus (bonyolultsági) problémák • Korlátozott erőforrások ( korl. racionalitás) • Csillag-topológia (visszaélések) • Reprezentáció (licitek, preferenciák) Ágensek és multi-ágens rendszerek

40. Számítási korlátok • Az ágensek nem a domináns stratégiát játsszák (nem feltétlenül). • A győztes / allokáció kiválasztása szuboptimális lehet. Ágensek és multi-ágens rendszerek

41. A csillag-topológia hiánya • Ha a principalnak szánt üzenetek áthaladnak az „ellenfeleken”, akkor • nem kizárható a hamisítás • nem tehető fel a teljes információhiány. • Monderer-Tennenholtz 1999: • Ha f implementálható a klasszikus környezetben, akkor bi-kapcsolt gráfban is. Ágensek és multi-ágens rendszerek

42. Az információ reprezentációja • A licitek, preferenciák és a részeredmények reprezentációja, struktúrája. • Bonyolultsági következmények. • Ha nincs csillag-topológia, akkor a helyes reprezentáció megakadályozhatja a visszaéléseket. • A bonyolultsági következményekre még visszatérünk. Ágensek és multi-ágens rendszerek

43. Aukciók számítási hatékonysága • Bonyolultság-elméleti megközelítés. • Az ágensek és a principal tevékenysége • az aukció kezdetétől • a (vég)eredmény kihirdetéséig. • Azaz a “leszállítás” már nem és • a principal esetleges “elő-szervezése” sem. Ágensek és multi-ágens rendszerek

44. “Kiszámítható” aukciók I. Győztes meghatározása Aukcióvezető Üzenetek X t Ágens Ágens Ágens Licitszámítás Ágensek és multi-ágens rendszerek

45. “Kiszámítható” aukciók II. • Polinomiális licitszámítás • Polinomiálisan korlátos üzenetek • Polinomiális győztes-számítás minden körben • Véges sok (polinomiális) licitálási forduló • Polinomialitás: a jószágok és az ágensek számának függvényében Ágensek és multi-ágens rendszerek

46. Megjegyzések • Az RP-kapcsán: • direkt kontra indirekt mechanizmusok • Az aukciók eredendően centralizáltak. • A “light szerver” nem biztos, hogy értelmes • Angol árverés kontra Vickrey aukció Ágensek és multi-ágens rendszerek

47. Az AMT “alaptétele” • A bonyolultság elsősorban a feladat sajátja. • Ha a tv-függvény optimalizációja (privát információk nélkül) NP-teljes, akkor minden aukció is az, amely implementálja. • A kommunikációtól eltekintve a direkt mechanizmusok bonyolultsága a teljes-információs optimalizálás bonyolultsága. Ágensek és multi-ágens rendszerek

48. Struktúra-függőség • Nem-graduális győztes-számítás: • Csak minden licit megérkezése után kezdjük el. • Állítás: • (m,S) indirekt mechanizmus • (m’,S) az „ekvivalens” direkt mechanizmus • Ha eltekintünk a kommunikációtól, akkor • Om’  nOm Ágensek és multi-ágens rendszerek

49. Következmény • Indirekt mechanizmussal maximum n-szeres hatékonyságnövelés érhető el. • Ha kevés ágens van, de sok “áru”... • A teljes n-faktor nehezen realizálható. • Általában direkt mechanizmusunk van, s nehéz “elosztani azt”. • A kommunikációs költség azonban fontos lehet. Ágensek és multi-ágens rendszerek

50. Kommunikációs bonyolultság • A licitek (és a részeredmények) leírásához megfelelő nyelv (reprezentáció) kell. • Teljesség kontra korlátosság • Az XOR-bids nyelv példája (kombinatórikus eset): • bizonyíthatóan teljes (kevés ilyen van) • exponenciális pl. a Vickrey-Clarke-Groves mechanizmus esetén… Ágensek és multi-ágens rendszerek