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Teoría Axiomática General de Agregados (I V )

Teoría Axiomática General de Agregados (I V ). Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003. Contenido. Pares Ordenados Relaciones. Pares Ordenados. Df. EsParOrd.

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Teoría Axiomática General de Agregados (I V )

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Presentation Transcript

  1. Teoría Axiomática General de Agregados (IV) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003 Jorge Baralt-Torrijos

  2. Contenido • Pares Ordenados • Relaciones Jorge Baralt-Torrijos

  3. Pares Ordenados Jorge Baralt-Torrijos

  4. Df. EsParOrd • EsParOrd(x)=a$y $z $u $v (x = Par(z)(u) u = Par(v)(y)  z = Atm(y) )EsParOrd(x)=s x es un par ordenado Jorge Baralt-Torrijos

  5. Ts. EsParOrd • EsParOrd(x)Þ$!y $!z $!u $!v (x = Par(z)(y) y = Par(v)(u)  z = Atm(u) ) Jorge Baralt-Torrijos

  6. Df. Prm • Prm(x) =y =a$z $u $v (x = Par(z)(u) u = Par(v)(y)  z = Atm(y) )Prm(x)=sel primer componente del par ordenado x Jorge Baralt-Torrijos

  7. Ts. Prm • $y Prm(x) =y $!y Prm(x) =y • $y Prm(x) =y EsParOrd(x) Jorge Baralt-Torrijos

  8. Df. Sgd • Sgd(x) =y =a$z $u $v (x = Par(z)(u) u = Par(y)(v)  z = Atm(v) )Sgd(x)=sel segundo componente del par ordenado x Jorge Baralt-Torrijos

  9. Ts. Sgd • $y Sgd(x) =y $!y Sgd(x) =y • $y Sgd(x) =y EsParOrd(x) Jorge Baralt-Torrijos

  10. Df. ParOrd • ParOrd(y)(x)= z =aEsParOrd(z) Prm(z) = xSgd(z) = yParOrd(y)(x)=sel par ordenado formado por y con x<x,y>=aParOrd(y)(x) Jorge Baralt-Torrijos

  11. ParOrd(y)(x) ParOrd(y)(x) Atm(x) Par(y)(x) x y Jorge Baralt-Torrijos

  12. Ts. ParOrd • $z ParOrd(y)(x) =z $!z ParOrd(x) =z • EsParOrd(x) Þ x = ParOrd(Sgd(x))(Prm(x)) • ParOrd(y)(x) = z Þ (ParOrd(v)(u) = z x = u y = v) • ParOrd(y)(x) = z Þ (ParOrd(x)(y) = z x = y) • x = ParOrd(y)(y) Þ x = Atm(Atm(y))  (EsIndivQ(y) Þ x = y) • EsIntegrante(x)  EsIntegrante(y) Þ $z ParOrd(y)(x) = z • $x ParOrd(b)(a) = x Jorge Baralt-Torrijos

  13. Df. ParInv • ParInv(x) = y=aEsParOrd(x) y = ParOrd(Prm(x))(Sgd(x))ParInv(x)=sel par inverso del par ordenado x Jorge Baralt-Torrijos

  14. Ts. ParInv • $y ParInv(x) =y $!y ParInv(x) =y • ParInv(x) = yÞ EsParOrd(y)  ParInv(y) = x Jorge Baralt-Torrijos

  15. Df. ParSubyac • ParSubyac(x) = y=a EsParOrd(x)  y = Par(Sgd(x))(Prm(x)) ParSubyac(x)=sel par subyacente al par ordenado x Jorge Baralt-Torrijos

  16. Ts. ParSubyac • $y ParSubyac(x) =y $!y ParSubyac(x) =y • ParInv(x) = yÞ ParSubyac(y) = ParSubyac(x) Jorge Baralt-Torrijos

  17. Relaciones Jorge Baralt-Torrijos

  18. Df. EsRelacion • EsRelacion(x)=a EsAgregado(x) Ù "y (y ÎxÞ EsParOrd(y))EsRelacion(x)=s x es una relación Jorge Baralt-Torrijos

  19. Ts. EsRelacion • EsIndividuo(x) Þ¬ EsRelacion(x) • EsRelacion(0Z) • EsRelacion(x)  EsMinimal(x) Þ x = 0Z • EsRelacion(x)  EsRelacion(y) Þ EsRelacion(Dif(y)(x)) EsRelacion(Intsc(y)(x)) EsRelacion(UnRel(z)(y)(x)) • EsRelacion(x)  EsParte(x)(y) Þ EsRelacion(y) Jorge Baralt-Torrijos

  20. Df. PrC • PrC(y)(x) = z =a EsAgregado(z) Ù "w (w ÎzÛ EsParOrd(w) ÙPrm(w) ÎxÙSgd(w) Îy )PrC(y)(x)=sel producto cartesiano por y de x Jorge Baralt-Torrijos

  21. Ts. PrC (1) • PrC(y)(x) = zÞ EsRelacion(z) • PrC(y)(x)= 0Z  EsMinimal(x) ÚEsMinimal(y) • PrC(y)(x) = zÙ PrC(x)(y) = z z = 0Z Ú x = y Jorge Baralt-Torrijos

  22. Ax. de Producto Cartesiano • $z PrC(y)(x) = z Jorge Baralt-Torrijos

  23. Resumen de Axiomas • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano Jorge Baralt-Torrijos

  24. Ts. PrC (2) • EsAgrupacion(x) Þ (PrC(y)(x) Í PrC(z)(x)  y Í z) • EsAgrupacion(x) Þ (PrC(x)(y) Í PrC(x)(z)  y Í z) • PrC(Dif(z)(y))(x) = Dif(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) • PrC(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) • PrC(UnEn(u)(z)(y))(x) = UnEn(PrC(u)(x))(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  25. Df. Rot • Rot(x) = y=a EsAgregado(y) Ù"z (z Î y Û $u $v $w (ParOrd(v)(ParOrd(u)(w)) = zÙParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) Î x ) )Rot(x)=sla rotación de x Jorge Baralt-Torrijos

  26. Ts. Rot • "y (y Î x Ù EsParOrd(y) Þ ¬EsParOrd(Prm(y)) ÞRot(x) = 0Z • "y (y Î x Þ ¬EsParOrd(y)) ÞRot(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Rot(x) = 0Z • Rot(x) = y ÞEsRelacion(y) Jorge Baralt-Torrijos

  27. Ax. de Rotación • $y Rot(x) = y Jorge Baralt-Torrijos

  28. Resumen de Axiomas • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación Jorge Baralt-Torrijos

  29. Df. Trp • Trp(x) = y=a EsAgregado(y) Ù"z (z Î y Û $u $v $w (ParOrd(w)(ParOrd(u)(v)) = zÙParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) Î x ) )Trp(x)=sla transposición de x Jorge Baralt-Torrijos

  30. Ts. Trp • "y (y Î x Ù EsParOrd(y) Þ ¬EsParOrd(Prm(y)) ÞTrp(x) = 0Z • "y (y Î x Þ ¬EsParOrd(y))ÞTrp(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Trp(x) = 0Z • Trp(x) = y ÞEsRelacion(y) Jorge Baralt-Torrijos

  31. Ax. de Transposición • $y Trp(x) = y Jorge Baralt-Torrijos

  32. Resumen de Axiomas • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición Jorge Baralt-Torrijos

  33. Df. Dom • Dom(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û $u (u Î x Ù EsParOrd(u) Ù Prm(u) = z ) )Dom(x)=sel dominio de x Jorge Baralt-Torrijos

  34. Ts. Dom • "y (y Î x Þ ¬EsParOrd(y))ÞDom(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Dom(x) = 0Z • Dom(x) = y Þ EsAgregado(y) Jorge Baralt-Torrijos

  35. Ax. de Dominio • $y Dom(x) = y Jorge Baralt-Torrijos

  36. Resumen de Axiomas • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  37. Df. Inv • Inv(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û EsParOrd(z) Ù ParInv(z) Î x)Inv(x)=sla inversa de x Jorge Baralt-Torrijos

  38. Ts. Inv • Inv(x) = Dom(Trp(PrC(x)(x))) • $y Inv(x) = y • y (y Î x Þ¬ EsParOrd(y)) Þ Inv(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Inv(x) = 0Z • EsRelacion(Inv(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  39. Df. Rng • Rng(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û $u ParOrd(z)(u) Î x) • Rng(x)=sel rango de x Jorge Baralt-Torrijos

  40. Ts. Rng • Rng(x) = Dom(Inv(x)) • $y Rng(x) = y • y (y Î x Þ¬ EsParOrd(y)) Þ Rng(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Rng(x) = 0Z • EsAgregado(Rng(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  41. Df. Cmp • Cmp(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û z Dom(x) z Rng(x)) • Cmp(x)=sel campo de x Jorge Baralt-Torrijos

  42. Ts. Cmp • Cmp(x) = yÛ y = Union(Dom(x))(Rng(x)) • y (y Î x Þ¬ EsParOrd(y)) Þ Cmp(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Cmp(x) = 0Z • Cmp(x) = y Þ EsAgregado(y) Jorge Baralt-Torrijos

  43. Df. Nucleo • Nucleo(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û EsParOrd(z) Ù z Î x)Nucleo(x)=sel núcleo de x Jorge Baralt-Torrijos

  44. Ts. Nucleo • Nucleo(x) = Inv(Inv(x)) • $y Nucleo(x) = y • y (y Î x Þ¬ EsParOrd(y)) Þ Nucleo(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ Nucleo(x) = 0Z • EsRelacion(Nucleo(x)) • Inv(x) = Inv(Nucleo(x)) • Dom(x) = Dom(Nucleo(x)) • Rng(x) = Rng(Nucleo(x)) • Nucleo(x) = Nucleo(Nucleo(x)) • EsRelacion(x) Û x = Nucleo(x) Jorge Baralt-Torrijos

  45. Df. RstrP • RstrP(y)(x) = z=a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û EsParOrd(u) Ùu Î x Ù Prm(u) Î y )RstrP(y)(x)=sla restricción primaria en y de x Jorge Baralt-Torrijos

  46. Ts. RstrP • RstrP(y)(x) = Intsc(PrC(Rng(x))(y))(x) • $z RstrP(y)(x) = z • EsMinimal(x)  EsMinimal(y) ÞRstrP(y)(x) = 0Z • RstrP(y)(x) Í x • Dom(RstrP(y)(x)) Í y • RstrP(y)(x) = RstrP(y)(Nucleo(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  47. Df. RstrS • RstrS(y)(x) = z=a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û EsParOrd(u) Ùu Î x Ù Sgd(u) Î y )RstrS(y)(x)=sla restricción secundaria en y de x Jorge Baralt-Torrijos

  48. Ts. RstrS • RstrS(y)(x) = Inv(RstrP(y)(Inv(x))) • $z RstrS(y)(x) = z • EsMinimal(x)  EsMinimal(y) ÞRstrS(y)(x) = 0Z • RstrS(y)(x) Í x • Rng(RstrS(y)(x)) Í y • RstrS(y)(x) = RstrS(y)(Nucleo(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  49. Df. Rstr • Rstr(y)(x) = z=a EsAgregado(z) Ù "u (u Î z Û EsParOrd(u) Ù u Î x ÙPrm(u) Î y Ù Sgd(u) Î y )Rstr(y)(x)=sla restricción de x en y Jorge Baralt-Torrijos

  50. Ts. Rstr • Rstr(y)(x) = RstrS(y)(RstrP(y)(x)) • $z Rstr(y)(x) = z • EsMinimal(x)  EsMinimal(y) ÞRstr(y)(x) = 0Z • Rstr(y)(x) Í x • Dom(Rstr(y)(x)) Í y • Rng(Rstr(y)(x)) Í y • Rstr(y)(x) = Rstr(y)(Nucleo(x)) Jorge Baralt-Torrijos

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