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Teoria dos Grafos – Aula 3 Árvores

Teoria dos Grafos – Aula 3 Árvores. Profª.: Loana T. Nogueira. Árvores. Grafo Acíclico: não possui ciclos. Árvores. Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico. Árvores. Grafo Acíclico: não possui ciclos Uma árvore é um grafo conexo acíclico.

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Teoria dos Grafos – Aula 3 Árvores

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Presentation Transcript

  1. Teoria dos Grafos – Aula 3Árvores Profª.: Loana T. Nogueira

  2. Árvores • Grafo Acíclico: não possui ciclos

  3. Árvores • Grafo Acíclico: não possui ciclos • Uma árvore é um grafo conexo acíclico

  4. Árvores • Grafo Acíclico: não possui ciclos • Uma árvore é um grafo conexo acíclico Todas as árvores com 6 vértices

  5. Teorema: Numa árvore, quaisquer dois vértices são conectados por um caminho único

  6. Teorema: Numa árvore, quaisquer dois vértices são conectados por um caminho único • Por contradição!!! • G uma árvore • P1e P2: dois caminhos-(u,v) distintos • Existe aresta e= (x,y)  P1 tal que (x,y)  P2 • (P1  P2)-e é conexo • Contém um caminho P de x a y. • Logo, P+e é um ciclo em G!!!

  7. Teorema: Se G é uma árvore então m=n-1 • Por indução em n!!!!

  8. Corolário: toda árvore não trivial possui pelo menos dois vértices de grau um.

  9. Aresta de corte • Uma aresta de corte de G é uma aresta e tal que (G)  (G-e). • Ex.:

  10. Aresta de corte • Uma aresta de corte de G é uma aresta e tal que (G)  (G-e). • Ex.:

  11. Aresta de corte • Uma aresta de corte de G é uma aresta e tal que (G)  (G-e). • Ex.:

  12. Aresta de corte • Uma aresta de corte de G é uma aresta e tal que (G)  (G-e). • Ex.:

  13. Teorema: Uma aresta e de G é uma aresta de corte de G se e somente se não está contida em nenhum ciclo de G

  14. Teorema: Um grafo conexo é uma árvore se e somente se toda aresta é uma aresta de corte

  15. Árvore Geradora • É um subgrafo gerador de G que é uma árvore

  16. Corolário: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora

  17. Corolário: Se G é conexo, então m n-1

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