A Teoria dos Determinantes

1. A Teoria dos Determinantes www.matematiques.com.br

2. 1. Introdução: A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. Determinantes 2. Definição: A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. 3. Cálculo dos Determinantes: 3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz . Ex.:

3. 3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária . Ex.: (Regra de Sarrus) 3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem 1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas. 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita. 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita. 4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3. Ex.: = -4 10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 - - + + - +

4. 4. Cofator de uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij. Ex.: A12 = -7 5. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ex.: 3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 =

5. + + - - - + - - - + + + 3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) = -176 3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32

6. Propriedades dos Determinantes P1. Fila Nula Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 . Ex.: 0 P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 . e Ex.: Se liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e também de colunas! 1ª coluna = 3ª coluna 2ª linha = 2 x 1ª linha

7. P3. Matriz Transposta O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. Ex.: = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1 = 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1 P4. Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então: det(A . B) = det A . det B Ex.: det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60 det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60

8. P5. Matriz Triangular O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex.: = 5 .1 .8 = 40 P6. Troca de Filas Paralelas Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que: det M´ = - det M Ex.:

9. P7. Produto de uma Fila por uma Constante Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k. Ex.: = 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11 Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos: = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33 Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos: det (k . A) = kn . det A

10. P8. Determinante da Matria Inversa Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: Ex.: P9. Adição de Determinantes Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante. Ex.: + + =

11. P10. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que: det M´ = det M -3 Ex.:

12. Regra de Chió A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A. 1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento. 2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna. 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas. Ex.: -17

13. Matriz de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1). Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores. (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5) Ex.: 1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2 240