Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Prof. Luciano Stropper UFRGS 2013

2. Distribuição das questões

3. B C  D A F E GEOMETRIA PLANA  Polígonos convexos Polígonos não-convexos • Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. • Os vértices A, B, C, D, E e F. • Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. •  é ângulo externo relativo ao vértice A. • A diagonal BD.

4. C A D F E Polígono regular • Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. B

5. Soma dos ângulos internos • A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º. A4 A3 Si = (n – 2).180º A2 A5 A1 An

6. TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES c² = a² + b²

7. D E C F A B Apótema Polígonos Regulares O O R  θ m R m M B A L/2

8. O R θ m B A L/2

9. Área de polígonos Área do quadrado A = L2 L L

10. L L Exemplo • Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2. ⇒ L2 = 18 A = L2 ⇒ L = 3√2 D D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2 ⇒ D = 3√2.√2 ⇒ D = 6 cm

11. Área do retângulo Altura (h) Base (b) A = b . h

12. Exemplo • Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro. A = 18 ⇒ x.2x = 18 x ⇒ x2 = 9 ⇒ 2x2 = 18 ⇒ x = 3 2x Os lados medem 3 m e 6 m. P = 2.3 + 2.6 = 18 m

13. Área do Paralelogramo h base (b) A = b . h

14. 4 60º 6 Exemplo • Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área. h h √3 ⇒ h = 2 ⇒ h = 4. sen 60º = 4. √3 sen 60º = 4 2 ⇒ A = 12√3 A = b . h = 6. 2√3

15. d1 . d2 A = 2 Área do Losango L L d2 L L d1

16. b . h A = b . c. sen α 2 A = 2 Área do Triângulo h base (b) A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)

17. L2√3 A = 4 Área do Triângulo Eqüilátero L L h L√3 h = 2 L

18. 6L2√3 A = 4 Área do Hexágono regular L L L L L L

19. CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA?? A = π R² C = 2. π. R

20. UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8

21. C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1 C=6,28 (1 volta) Como serão 10 voltas C= 62,8 (letra B)

22. x x+6

25. GEOMETRIA ESPACIAL Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

26. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.

27. Elementos de um poliedro • Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. B C D F G A E H Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.

28. O PRISMA e suas formas • Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

29. Definição r • Observe a animação.   O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

30. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de faces • bases (polígonos congruentes). • faces laterais (paralelogramos). • Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

31. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma O prisma tem dois tipos de arestas • arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). • arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

32. F’ E’ A’ D’ C’ B’ E F A D C B Elementos principais do prisma h • A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

33. Classificação dos prismas • Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

34. Veja alguns desses prismas Prisma Pentagonal Prisma triangular

35. Classificação dos prismas h h Prisma Pentagonal oblíquo Prisma triangular reto

36. B A C Prisma regular • Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. O prisma é reto e a Base é hexágono regular O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero ⇒ ⇒ Prisma hexagonal regular Prisma triangular regular

37. Prismas quadrangulares • Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

38. Prismas quadrangulares • Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

39. Estudo do cubo • O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a→ medida de cada uma das arestas a a a

40. a a a Diagonais no cubo • Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais. a→ medida de cada uma das arestas D d→ diagonal da face d D→ diagonal do cubo

41. D a d a a Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a

42. Diagonais no cubo • Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 a d ⇒ D = a√3 a

43. a a a Área da superfície total do cubo • Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a AT = 6a2

44. a a a Volume do cubo a a a a V = a³

45. Estudo do paralelepípedo retângulo • O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c→ As dimensões do paralelepípedo. b c a • Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

46. Diagonal do paralelepípedo • Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c b d a d→ diagonal da face inferior D→ diagonal do paralelepípedo

47. Cálculo da diagonal do paralelepípedo • Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. D c b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2

48. O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? Exemplo D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2 ⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160 ⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9

49. Área da superfície total do paralelepípedo • Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc)

50. A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? Exemplo As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k. AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248 :(2) ⇒ ab + ac + bc = 124 ⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 ⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2