Árvores de Busca

1. Árvores de Busca

2. Árvores de Busca • Uma árvore que suporta eficientes operações de busca, inclusão e exclusão é chamada de árvore de busca. A árvore é usada para armazenar um conjunto finito de chaves obtidas de um conjunto totalmente ordenado de chaves K. Cada nó da árvore contém um ou mais chaves e todas as chaves na árvore são únicas, sem duplicação. • A diferença entre uma árvore comum e uma árvore de busca é que, nesta última, as chaves não aparecem em nós arbitrários. Existe um critério de ordenação de dados que determina aonde cada chave pode figurar na árvore em relação às demais. • Serão apresentadas as árvores de busca: • de M caminhos (M-Way) • binárias.

3. Binary Search Tree (BST) • Definição (Árvore de busca M-way) Uma árvore de buscaM-wayT é um conjunto finito de chaves. Ou o conjunto é vazio, T =  ; ou o conjunto é constituído de n sub árvores M-way T1 , T2 ,..., Tn-1, e n-1 chaves, k1 , k2 ,..., kn-1, T = {T0,k1, T1, k2, ..., kn-1, Tn-1} aonde 2 n  M, tal que as chaves e os nós satisfaçam às seguintes propriedades de ordenação de dados: • As chaves em cada nó são distintas e ordenadas, i.e., ki<ki+1 para 1  i  n-1 • Todas as chaves contidas na sub árvore Ti-1 são menores do que ki. A árvore Ti-1 é chamada sub árvore da esquerda com respeito à chave ki. • Todas as chaves contidas na sub árvore Ti são maiores do que ki. A árvore Ti+1 é chamada sub árvore da direita com respeito à chave ki.

4. Exemplo de árvore de busca M-Way

5. Binary Search Tree (BST) • Definição (Árvore Binária de Busca) A Árvore Binária de Busca T é um conjunto finito de chaves. Ou o conjunto é vazio, T =  ; ou o conjunto consiste da raiz r e exatamente duas Árvores Binárias de Busca TL e TR , T={r,TL,TR}, tais que as seguintes propriedades sejam satisfeitas: • Todas as chaves contidas na sub árvore da esquerda, TL, são menores do que r. • Todas as chaves contidas na sub árvore da direita, TR , são maiores do que r.

6. Exemplo de árvore binária de busca

7. Busca em Árvores de Busca M-Way • Busca do objeto x inicia na raiz • Se a raiz estiver vazia a busca falha • As chaves contidas na raiz são examinadas para verificar se o objeto buscado está presente • Se o objeto não estiver presente três casos podem ocorrer: • Objeto buscado é menor do que k1 • a busca prossegue em T0; • Objeto buscado é maior do que kn-1 • a busca prossegue em Tn-1; • Existe um i tal que ki < x < ki+1 • a busca prossegue em Ti

8. Busca em Árvores Binárias de Busca • Semelhante à busca em árvores de busca M-Way • Apenas cada nó só possui um objeto e duas sub árvores

9. Árvore Binária Perfeita • Definição (Árvore Binária Perfeita) A Árvore Binária Perfeita de altura h 0 é um árvore binária T={r,TL,TR} com as propriedades: • Se h=0, então TL =  e TR =  . • Caso contrário, h>0, caso no qual ambos TL e TR são Árvores Binárias Perfeitas de altura h -1.

10. Implementação Java

11. Implementação de Árvores de Busca

12. Interface SearchTree // pgm10_01.java public interface SearchTree extends Tree, SearchableContainer { Comparable findMin (); Comparable findMax (); }

13. Classe BinarySearchTree // pgm10_02.java public class BinarySearchTree extends BinaryTree implements SearchTree { // ... }

14. Classe Association public class Association extends AbstractObject { protected Comparable key; protected Object value; // ... } // só aparece por causa de getKey

15. Métodos da Classe Association public class Association extends AbstractObject { protected Comparable key; protected Object value; public Association (Comparable key, Object value) { this.key = key; this.value = value; } public Association (Comparable key) { this (key, null); } public Comparable getKey () { return key; } public Object getValue () { return value; } // ... }

16. Métodos da Classe BinarySearchTree • getLeftBST • getRightBST • find • findMin • insert • attachKey • balance • withdraw

17. Métodos getLeftBST e getRightBST // pgm10_03.java public class BinarySearchTree extends BinaryTree implements SearchTree { private BinarySearchTree getLeftBST() { return (BinarySearchTree) getLeft(); } private BinarySearchTree getRightBST() { return (BinarySearchTree) getRight(); } // ... }

18. Método find // pgm10_04.java public class BinarySearchTree extends BinaryTree implements SearchTree { public Comparable find (Comparable object) { if(isEmpty()) return null; int diff = object.compare((Comparable) getKey()); if(diff == 0) return (Comparable) getKey(); else if(diff < 0) return getLeftBST().find(object); else return getRightBST().find(object); } }

19. Método findMin public Comparable findMin () { if(isEmpty()) return null; else if(getLeftBST().isEmpty()) return (Comparable) getKey(); else return getLeftBST().findMin(); } // ...

20. Inserção de itens em BST • A inclusão de nós em árvores de busca deve ser precedida de uma operação de busca. Esta operação indica se o nó buscado já existe na árvore e, em caso de não existência, o local aonde deve ser feita a inclusão. Convém lembrar que uma busca sempre termina em folha e os nós a incluir serão incluídos como filhos da folha aonde se encerrou a busca.

21. Método insert (1) // pgm10_05.java public class BinarySearchTree extends BinaryTree implements SearchTree { public void insert (Comparable object) { if(isEmpty()) attachKey (object);

22. Método insert (2) else { int diff = object.compare((Comparable) getKey()); if(diff == 0) throw new IllegalArgumentException( “chave duplicada"); if(diff < 0) getLeftBST().insert(object); else getRightBST().insert(object); } balance(); } }

23. Métodos attachKey e balance public void attachKey (Object object) { if(!isEmpty()) throw new InvalidOperationException(); key = object; left = new BinarySearchTree(); right = new BinarySearchTree(); } protected void balance() {}

24. Remoção de itens em BST • A exclusão de nós em árvores de busca pode configurar um de 3 casos. • Se o nó não tiver filhos pode ser excluído sem exigir ajustamento da árvore. • Se o nó a excluir tiver apenas uma sub árvore, este nó pode ser excluído e deve ser substituído por seu filho único. • Se o nó a excluir tiver mais de um filho, para que ele possa ser excluído, deve ser substituído por seu antecessor ou seu sucessor em ordem infixa. O nó substituto deve ser excluído da sua posição gerando outro processo de exclusão. • Considerando o caso do sucessor em ordem infixa, o nó a ser excluído deve ser substituído pelo nó obtido alcançando-se o nó mais à esquerda da sub árvore direita do nó a excluir.

25. Remoção de itens em BST • Remoção do nó (4) folha em BST • Remoção do nó (1) não folha em BST

26. Método withdraw (1) // pgm10_06.java public class BinarySearchTree extends BinaryTree implements SearchTree { public void withdraw (Comparable object) { if(isEmpty()) throw new IllegalArgumentException( "objeto não encontrado"); int diff = object.compare ((Comparable) getKey()); if(diff == 0) { if(!getLeftBST().isEmpty()) { Comparable max = getLeftBST().findMax(); key = max; getLeftBST().withdraw(max); }

27. Método withdraw (2) else if(!getRightBST().isEmpty()) { Comparable min = getRightBST().findMin(); key = min; getRightBST().withdraw(min); } else detachKey(); } else if(diff < 0) getLeftBST().withdraw(object); else getRightBST().withdraw(object); balance(); } // ... }

28. Árvores de Busca AVL

29. Conceito de AVL Adelson-Velskii e Landis propuseram as condições de balanceamento para uma árvore binária que recebeu como sigla suas iniciais. Definição (Condição de equilíbrio AVL)  Uma árvore binária vazia é AVL balanceada  . Uma árvore binária não-vazia, T={r,TL,TR} , é AVL balanceada se tanto TL quanto TR forem AVL balanceadas e |hL-hR|<=1 aonde hL é a altura of TL e hR é a altura of TR .

30. Implementação de árvores AVL

31. Classe AVLTree // pgm10_07.java public class AVLTree extends BinarySearchTree { protected int Height; // ... }

32. Construtor // pgm10_08.java public class AVLTree extends BinarySearchTree { protected int Height; public AVLTree() { Height = -1; } // ... }

33. Métodos getHeight, adjustHeight e getBalanceFactor public int getHeight () { return Height; } protected void adjustHeight() { if(isEmpty()) Height = -1; else Height = 1 + Math.max(left.getHeight(), right.getHeight()); } protected int getBalanceFactor() { if(isEmpty()) return 0; else return left.getHeight() - right.getHeight(); }

34. Inserção de itens em Árvores AVL • 1o. Passo – Inserir o item • 2o. Passo – Balancear a árvore

35. Balanceamento de Árvores AVL • O balanceamento de árvores AVL é feito por operações chamadas de rotações, que podem ser: • Rotações simples (LL e RR) • Rotações duplas (LR e RL)

36. Rotações simples • A rotação LL ocorre quando um nó (B) tem a sub árvore da esquerda maior do que a da direita e seu filho da esquerda (A) tem sub árvore da esquerda maior do que a da direita • A rotação RR ocorre quando um nó (B) tem a sub árvore da direita maior do que a da esquerda e seu filho da direita (A) tem sub árvore da direita maior do que a da esquerda

37. Rotações duplas • A rotação LR ocorre quando um nó (C) tem a sub árvore da esquerda maior do que a da direita e seu filho da esquerda (A) tem sub árvore da direita maior do que a da esquerda. Aplica-se uma rotação RR a A seguida de uma rotação LL aplicada a C. • A rotação RL ocorre quando um nó (C) tem a sub árvore da direita maior do que a da esquerda e seu filho da direita (A) tem sub árvore da esquerda maior do que a da direita. Aplica-se uma rotação LL a A seguida de uma rotação RR aplicada a C.

38. Rotação Simples LL

39. Propriedades das rotações simples • Existem três propriedades importantes da rotação LL: • A rotação não destrói a propriedade de ordenação de dados e, portanto, o resultado ainda é uma árvore de busca. A sub árvore AL permanece entre os nós A e B, e a sub árvore BR fica à direita do nó B. • Após a rotação tanto A quanto B são AVL balanceadas. Os nós A e B ficam com fator de balanceamento igual a zero. • Após a rotação a árvore permanece com a altura original. A inclusão do item não aumenta a altura da árvore.

40. Rotações Duplas

41. Balanceamento de árvores AVL • Os desbalanceamentos e as rotações de equilíbrio correspondentes podem ser enquadrados em seis categorias, ou casos, adiante descritos. O ancestral mais novo, desbalanceado, do novo nó inserido é ya. Seu filho na direção do desbalanceamento é s. Os sufixos l e r representam filho mais velho e filho mais novo, respectivamente:

42. Categorias de rotações • 1o caso: O novo nó é incluído na sub árvore esquerda da sub árvore esquerda do nó ya. Este caso tem solução chamada de rightrotation ou rotação LL • 2o caso: O novo nó é incluído na sub árvore direita da sub árvore direita do nó ya. Este caso tem solução chamada de leftrotation ou rotação RR • 3 o caso: O novo é incluído na sub árvore esquerda da sub árvore direita do filho mais velho de ya (rotação LR) • 4 o caso: O novo nó é incluído na sub árvore direita da sub árvore direita do filho mais velho de ya (LR) • 5 o caso: O novo nó é incluído na sub árvore direita da sub árvore esquerda do filho mais novo de ya (RL) • 6 o caso: O novo nó incluído na sub árvore esquerda da sub árvore esquerda do filho mais novo de ya(RL)

43. Rotação LL

44. Rotação LL

45. Rotação RR

46. Rotação RR

47. Rotação LR

48. Rotação LR

49. Rotações LR e RL

50. Rotação LR