ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE à l’ECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE

1. ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACEà l’ECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE Marie-Hélène Salin Des commentaires complètent les diapos. Ne pas regarder sous la forme diaporama

2. Partie I • Que recouvre l’expression « maîtrise de l’espace ? » • Une personne manifeste une certaine maîtrise de l’espace si elle est capable de résoudre l’essentiel des problèmes spatiaux qu’elle rencontre

3. Problèmes spatiaux - leur finalité concerne l'espace sensible - ils peuvent porter sur la réalisation : * d'actions : fabriquer, se déplacer, déplacer, dessiner, etc.. * de communications à propos d'actions ou de constats. Le langage et les représentations spatiales permettent de communiquer des informations qui se substituent à la perception. - la réussite ou l'échec est déterminée par le sujet par comparaison entre le résultat attendu et le résultat obtenu.

4. Un exemple dans les métiers du bâtiment les activités de lecture-tracé Exemple tiré de la recherche en cours de A. Bessot et C. Laborde Projet École et sciences cognitives « Activités et formation professionnelles : simulations informatiques comme aide à la conceptualisation »

5. Plan de fabrication prédalle 2

6. Quelques questions abordées dans la première partie • Dans quelle mesure l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire participe-t-il au développement de la maîtrise de l’espace chez les élèves ? • Est-ce une finalité de cet enseignement ? • Si oui, comment est-elle prise en compte dans les programmes ? • Avec quels résultats ?

7. Les finalités générales de la scolarité obligatoire • Deux fonctions de la scolarité obligatoire : - préparer les élèves aux apprentissages ultérieurs, en particulier professionnels et scolaires, - les préparer à assumer les décisions qu’ils doivent prendre dans leurs milieux de vie. • De ce double point de vue, des connaissances et des compétences spatiales minimales sont nécessaires

8. Les finalités de l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire A l’école primaire, cet enseignement, qui se nomme « espace et géométrie », doit aider l’élève à se situer dans l’espace, à décrire des situations spatiales et à pouvoir y agir par la connaissance des notions géométriques élémentaires et l’usage des instruments et du mesurage.

9. Les finalités de l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire Par contre, au collège, c’est moins clair : - « l’emploi [de l’outil mathématique] est précieux dans de multiples circonstances, de la gestion familiale à l’activité scientifique ou professionnelle ». - Dans les objectifs généraux pour le collège, la priorité semble donnée au raisonnement géométrique - est notée la familiarisation avec des représentations de l’espace

10. Des programmes à la pratique effective… • En primaire • Au collège • La faible place accordée aux connaissances spatiales est justifiée si leur acquisition se fait quasi-spontanément, dans les interactions familières de l'enfant avec le milieu spatial. • Est-ce bien le cas ? Quelques exemples

11. Quelques résultats concernant les compétences des élèves à l'issue de l'école primaire Exemple 1: l’orientation d’un plan pose problème à beaucoup d’élèves de 11 ans

12. L’orientation d’un plan Nos résultats montrent que les trois-quart de ces élèves de 10-11 ans ne maîtrisent pas convenablement l'utilisation d'un plan dans une activité d'anticipation spatiale, et que 40% d'entre eux sont même assez loin de la compréhension des propriétés spatiales en jeu dans une mise en oeuvre correcte

13. Quelques résultats concernant les compétences des élèves à l'issue de l'école primaire Exemple 2 : Les connaissances enseignées en primaire ne sont guère disponibles pour résoudre des problèmes posés dans un autre espace que la feuille de papier

14. Résoudre des problèmes posés dans un autre espace que la feuille de papier

15. - Presque tous les élèves prennent les mesures des (4 ou 2) côtés, placent deux pastilles, et ajustent les deux autres par tâtonnement pour que les 3 distances restantes correspondent aux longueurs. - Très peu d’élèves (moins de 10%) recourent à une utilisation immédiate de l’équerre et font un positionnement convenable des quatre coins. - Les élèves constatent donc un échec massif à la réalisation, lorsqu’on tente de placer les coins du tapis sur les marques faites au sol.

16. - parmi les élèves qui échouent, plus de 60% sont incapables d’entrevoir l’origine de leur échec et imputent celui-ci à une erreur de prise des longueurs. - Pourtant, les évaluations ministérielles montrent que les concepts enseignés sont relativement bien acquis quand les épreuves sont classiques

17. Évaluation 6éme a. On a commencé le dessin du carré ABCD. Termine le dessin de ce carré 4èmesommet correctement placé : 84,7 % b. Trace le cercle de centre B passant par A. tracé correct 76,2 %

18. Quelques résultats concernant les compétences des élèves de l’enseignement technique • Exemple 3 : Les opérations nécessaires à la maîtrise de la représentation des objets de l'espace ne sont pas construites chez de nombreux élèves de 15 ans

19. Représentation des objets de l'espace • 30 à 40 % des élèves n’arrivent pas à changer de point de vue d'observation pour repérer la troisième dimension.  • Toute l’information est demandée à la vue de face, stéréotype représentatif, • De grandes difficultés à sortir du stéréotype pour choisir une autre vue de face.

20. Les difficultés des élèves (et des professionnels) des« métiers du bâtiment » « un nombre significatif de litiges entre le fabricant et le client résultent d’erreurs commises par les ouvriers dans la tâche de lecture - tracé (30% de litiges déclarés) ».

21. Partie II • Pourquoi l’enseignement de la géométrie semble-t-il si peu efficace du point de vue des compétences spatiales, telles que définies ci-dessus ? • Quelques interrogations plus précises….

22. 1 : comment sont liées les connaissances spatiales et les connaissances géométriques ? • 2 : les compétences et connaissances spatiales ont-elles besoin d’être enseignées ? • 3 : si on vise une certaine maîtrise spatiale, peut-on limiter les rapports avec l’espace à des rapports avec des représentations (travail sur les plans) ou des figures de l’espace graphique ? • 4 : au collège, quels peuvent être les effets de la centration de l’enseignement sur la démonstration, du point de vue de la maîtrise de l’espace ?

23. 1. Connaissances spatiales et connaissances géométriques Nous avons pris le point de vue suivant : • d'une part différencier les types de connaissances (spatiales / géométriques) par les types de situations et de problèmes dans lesquelles elles sont mobilisées. • d'autre part prendre le terme « géométrie » au sens strict, c'est-à-dire renvoyant à une branche des mathématiques.

24. Problème de géométrie Les problèmes de géométrie, au sens où ce mot est employé en mathématiques : Résoudre un problème de géométrie est une activité qui concerne le caractère nécessaire de certaines propriétés des objets de la géométrie. • Un exemple simple : Construire un segment [AC] de 5 cm de longueur et un triangle ARC tel que AR = 3 cm et RC = 4 cm. Quelle est la nature du triangle ARC ? Un raisonnement géométrique permet de prévoir que le triangle ARC est rectangle en R, en s’appuyant sur les données et un théorème, la réciproque du théorème de Pythagore

25. Une « figure-dessin » peut soutenir le raisonnement, mais le constat des propriétés sur la « figure-dessin » ne permet pas de valider la proposition mise à l'étude. • Les situations de géométrie mettent donc en interaction un sujet « mathématicien » avec un milieu qui n'est plus l'espace physique et ses objets mais un espace conceptualisé. • Les connaissances géométriques (dont sont extraites celles enseignées dans le secondaire) constituent un savoir : la géométrie euclidienne

26. Les rapports entre connaissances spatiales et connaissances géométriques • leur genèse s’effectue différemment  • ce sont les problèmes spatiaux qui ont donné naissance à la géométrie • Les connaissances géométriques sont des outils pour la résolution des problèmes spatiaux  • Le vocabulaire : points communs et différences • L'organisation des connaissances

27. En conclusion Les connaissances spatiales et les connaissances géométriques - ne sont pas mobilisées dans le même type de problèmes, - ne se recouvrent pas les unes les autres, - on ne peut pas faire de géométrie sans un minimum de connaissances spatiales - dans notre société, un minimum de connaissances géométriques sont nécessaires pour résoudre des problèmes spatiaux ordinaires ou professionnels.

28. 2. Les compétences et connaissances spatiales ont-elles besoin d’être enseignées ? • Deux problématiques possibles pour la résolution des problèmes spatiaux • Un exemple hors école, pour comprendre l’enjeu de cette distinction : Le vitrier

29. La problématique pratique C’est la problématique de la vie courante, des problèmes spatiaux « ordinaires ». Le sujet tente de les résoudre de la manière la plus rapide possible. Si la solution n'est pas satisfaisante, le sujet va l'ajuster à la solution attendue par une suite de corrections immédiates, sans se soucier de corriger la méthode utilisée initialement pour l'obtenir

30. La problématique de modélisation C’est la problématique dans laquelle se situent les « professionnels », ingénieurs, techniciens. Le problème concerne l'espace sensible. Comme pour la problématique pratique, la solution doit pouvoir être validée dans l'espace sensible. Mais la solution doit être reproductible, dépassant le problème immédiat.

31. La problématique de modélisation • la solution d'un problème par modélisation doit être construite dans le système symbolique du modèle • L'interprétation dans l'espace sensible de la solution construite dans le modèle permet la validation pragmatique de l'ensemble de la démarche • Modélisation spatio-géométrique : modélisation de l'espace par des connaissances issues du savoir géométrique, • Modélisation analogique : modélisation d'un espace par un autre : schéma, dessins, plans, etc..

32. Retour sur l’enseignement des connaissances spatiales • La problématique pratique est présente dès la naissance. De nombreuses compétences spatiales de base se développent, relayées et approfondies par certaines situations d’enseignement à l’école maternelle et au cycle 2, • La problématique pratique ne suffit plus sitôt qu’est visée une certaine modélisation, même très élémentaire, des problèmes spatiaux, qu’ils relèvent des connaissances « analogiques » ou « spatio-géométriques ».

33. 3. Peut-on limiter les rapports avec l’espace à des rapports avec des représentations (travail sur les plans) ou des figures de l’espace graphique ?

34. Exemple 1 : le travail sur le plan

35. Exemple 2 : le déplacement du tapis • Les élèves ont appris à dessiner des rectangles sur du papier, et à parler de ses propriétés. Mais ils n'ont jamais ressenti la nécessité d'utiliser effectivement les propriétés des angles droits. Pourquoi ? Parce qu'ils utilisent d'autres propriétés pour contrôler leurs dessins sur papier. Par exemple, ils peuvent contrôler la forme par des moyens perceptifs qui sont très efficaces dans ce micro-espace.

36. Pour résoudre le problème, les élèves doivent se transporter dans un espace qui n'est plus l'espace symbolique de la géométrie, où ils ne peuvent plus contrôler une forme d'un seul coup d'oeil (comme sur le papier), et le modifier immédiatement. Ils doivent reconstruire tout le modèle géométrique : lignes joignant deux points (places des coins), et contrôler la position relative des lignes avec des angles; ils doivent aussi contrôler les liens entre l'espace et le modèle.

37. Pour conclure à propos de l’enseignement primaire • Les connaissances dont disposent les élèves concernent surtout l’espace de la feuille de papier. • L’enseignement de l’espace et de la géométrie à l’école primaire sous-estime la difficulté d’acquisition des connaissances spatiales. • Il laisse à l’élève la charge d’établir des rapports adéquats entre l’espace et les concepts qui lui sont enseignés.

38. 4. Les effets du changement de rapport aux figures initié en 6ème • Depuis vingt ans, les programmes privilégient un passage en douceur de la géométrie « instrumentée » à la géométrie « déductive » et évoquent pour la classe de 6ème la mise en place de « courtes séquences déductives » • Dans la plupart des manuels, il y a confusion entre séquence déductive et démonstration. • Pour essayer d’aider les élèves, des moyens différents sont proposés

39. Essayer de convaincre les élèves que mesurer ou utiliser les instruments est imprécis

40. Mesurer ou utiliser les instruments est imprécis Il s’agit d’introduire la nécessité de la démonstration en disqualifiant la mesure, trop imprécise, sans prendre en compte le fait que les deux méthodes (mesure et logique) pour vérifier la vérité d’une assertion, s’appliquent à des objets de nature complètement différente. Une personne qui veut savoir si ses murs sont d’équerre devrait-elle renoncer à l’emploi d’une équerre ou à des mesurages sous prétexte que ces mesures peuvent être imprécises ?

41. Développer un apprentissage systématique du codage et de règles de prélèvement d’informations sur une figure

42. Introduire en 6ème des figures à main levée, dès les premiers chapitres de géométrie

43. Quelles conséquences pour le développement des compétences spatio-géométriques ? • Les exercices présentés ont toutes chances d’être incompréhensibles pour des élèves de 6ème puisqu’ils renvoient à un type de rapport à la « figure-dessin » spécifique de la géométrie mathématique qui leur est étrangère. • Selon les moments, tantôt le professeur a les mêmes exigences en 6ème qu’au CM2 (géométrie instrumentée), tantôt il « démolit » les connaissances que l’élève a mis plusieurs années à acquérir et qui lui permettent d’avoir prise sur le réel. Comment ce dernier pourrait-il s’y retrouver ?

44. La disqualification du rapport spatial aux figures-dessins, sans justification accessible aux élèves, les conduit à adopter des comportements incompréhensibles si on ne les remet pas dans ce contexte : • « Même quand il s’agit de construire un patron de cube, dont j’ai donné les dimensions, les élèves ne les respectent pas, ils n’associent visiblement pas un patron à un objet précis mais plutôt à une famille d’objets » (PLC2, à propos de ses élèves de 5ème)

45. Partie IIIA Quelques pistes à l’école primaire - Introduire, dès l'école primaire, les savoirs géométriques de base comme outils pour résoudre effectivement des problèmes spatiaux. - Utiliser la feuille de papier comme laboratoire

46. Exemple 1 : Alignement et visée Objectifs - introduire la notion d’alignement dans une situation spatiale, en liaison avec la visée et le fait que si l’œil est dans l’alignement déterminé par deux objets « quasi ponctuels », l’objet le plus proche de l’œil cache l’autre. - relier alignement-visée et ligne droite - travailler simultanément dans le méso-espace et dans l’espace de la feuille de papier.

47. viseur poteau

48. viseur barre de bois fixée au carton pour le surélever d’un côté carton rectangulaire Le viseur(posé sur une table roulante support de rétro)

49. Déroulement en 6ème de SEGPA • Phase 1 : jeu par équipes • Phase 2 : jeu par deux puis représentation sur un plan • Phase 3 : nouveau jeu par équipes • Phase 4 : institutionnalisation : « depuis la position où on veut mettre la bouteille, regarder le poteau et le viseur. Il faut que le poteau cache le trou du viseur. » ou : « la bouteille, le poteau et le viseur doivent être alignés »

50. Phase 5 : plus de viseur • Il faut aligner sur le sol quatre croix en légos avec des contraintes. • Matériel : des ficelles, une règle de maçon