Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM

1. Dasar-DasarKalkulusVektoruntukMedan danGelombang EM EL 2028Medan Elektromagnetik

2. Dasar-dasar Vektor Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y

3. Penjumlahan vektor Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

4. Vektor posisi dan vektor jarak Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

5. Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az Vektor jarak RPQ =rQ - rP = ax - 4ay - 2 az

6. Perkalian titik (perkalian skalar) • Selalu menghasilkan bilangan skalar • A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. • Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: • A·A=|A|2=A2

7. Perkalian titik (perkalian skalar)

8. Perkalian silang (perkalian vektor) Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!! Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil

9. Perkalian silang (ljt) Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

10. Triple Products Hasil operasi lain yang penting: Scalar triple product Menghasilkan skalar Vector triple product (aturan bac-cab) Menghasilkan vektor

11. Choice is based on symmetry of problem VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: RECTANGULAR CYLINDRICAL SPHERICAL Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL

12. x y z Sistem Koord. Kartesian (x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d!

13. Sistem Koord. Kartesian

14. z  y  x Sistem Koord. Tabung atau Silindris (, , z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d!

15. Sistem Koord. Tabung atau Silindris

16. z r  y  x Sistem KoordinatBola (r, , ) Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d! nb : harga  adalah 0 sampai  , bukan 0 sampai 2

17. Sistem KoordinatBola

18. Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

19. Soal2 • Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : • Vektor dari A ke C • Vektor satuan dari B ke A • Jarak dari B ke C • -ax+8ay-4az • 0,762ax-0,127ay-0,635az • 12,45

20. Soal2 • Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az Cari : • Besar medan di P(2,-3,4) • Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P • Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan • 53,4 • -0,899ax-0,412ay+0,150az • +- 0,455

21. Soal2 • Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az Cari : • F.G • Sudut antara F dan G • Panjang proyeksi F pada G • Proyeksi vektor F pada G • -27,0 • 130,8 o • -4,38 • -2,13ax-3,55ay-1,42az

22. Soal2 • Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az Cari : • F x G • ax (ay x F) • (ay x ax ) x F • Vektor satuan yang tegak lurus F pada G • 215ax+190ay-145az • -45ay • -70ax-45ay • +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)

23. Soal2 • Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : • Jarak dari P ke titik asal • Q tegak lurus pada sumbu z • P ke Q • 6,71 • 3,16 • 11,20

24. Soal2 • a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya • 240+z2 –ρ2 sin 2φ • 8,66

25. Soal2 • a. NyatakanmedanvektorW= (x-y)aydalamkoordinattabung b. Carimedan F dalamkoordcartesianjika F= ρcosφ aρ =ρ(cosφ- sin φ)(sin φ aρ+cosφ aφ

26. Operator Del = 

27. Grad, Div dan Curl

28. Gradien dari medan skalar Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad  atau  Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor.

29. turunan berarah Contoh gradien Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah

30. Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber medan seragam Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan tak seragam

31. Divergensi Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

32. Contoh divergensi Di titik (2,-2,0) Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.

33. Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol. Medan B seragam, curl-nya nol.

34. Perhitungan curl

35. Operator penting lainnya Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian

36. Operator Laplacian (1) Ingat: Sekarang baca “del kuadrat” Untuk praktisnya ditulis:

37. Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor Jika Maka, “curl curl dari E” Dapat juga ditunjukkan bahwa:

38. Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl

39. Teorema integral Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup

40. Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen. Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.

41. Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: • Syarat batas jenis Dirichlet • Syarat batas jenis Neumann • Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

42.  S Syarat batas jenis Dirichlet Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . Persyaratan V = g pada  disebut sbg syarat batasDirichlet.

43.  S Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada . Ini dikenal sebagai syarat batasNeumann.

44. Hr Hi Ei Er r i 11 x 22 t Ht Et Contoh (1) batas bidang (planar) y incident reflected transmitted Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0).

45. Y b ,  X a Contoh (2): bumbung gelombang perlu pada dinding.  syarat batas Neumann Perlu Ez=0 pada semua dinding  syarat batas Dirichlet

46. Et1 Ht1 Bn1 111 111 111 111 n n n n 222 222 222 222 Bn2 Et2 Ht2 Syarat batas dalam EM E tangensial kontinyu n× (H1-H2)=Js Ekivalen D1n D2n B normal kontinyu n·(D1-D2)=s

47. Et1 E tangensial kontinyu 111 n 222 Et2 Lihat contoh berikut Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!

48. Ht1 111 n 222 Ht2 Dan satu contoh lagi Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: n× (H1-H2) = Js Ini berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”

49. Ei atau Er Et 0 z d Contoh: Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.