1 / 107

Vektor kalkulus

Vektor kalkulus. Del-operator Definisjon og anvendelse. Gradient Retningsderivert Divergens Fluks Curl Sirkulasjon / Rotasjon. Del-operator. Gradient. Divergens. Curl. Curl Sammenheng mellom c url og rotasjon. Posisjon. Hastighet. Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet.

vidal
Download Presentation

Vektor kalkulus

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Vektor kalkulus

  2. Del-operatorDefinisjon og anvendelse Gradient Retningsderivert Divergens Fluks Curl Sirkulasjon / Rotasjon Del-operator Gradient Divergens Curl

  3. CurlSammenheng mellom curl og rotasjon Posisjon Hastighet

  4. Konservativt vektorfeltVei-uavhengighet F definert i et åpent område D i rommet. B La være uavhengig av alle veier mellom A og B for alle A,B  D. A Vi sier da at integralet er vei-uavhengig. Vi sier videre atF er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.

  5. Potensial-funksjon F definert i et åpent område D i rommet. Hvis det finnes en skalar-funksjon f som er slik at F =  f F er gradienten til f så kalles f for en potensial-funksjon til F og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.

  6. Gradientfelt og vei-uavhengighet F definert i et åpent område D i rommet. Bevis del 1: Anta at det finnes en f slik at F =  f. Det finnes en f slik at F =  f vei-uavhengig dvs, integralet er vei-uavhengig, kun avhengig av endepunktene.

  7. Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver F definert i et åpent område D i rommet. Bevis: F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig) C2 B C1 A

  8. Gradientfelt og curl F definert i et åpent område D i rommet. Bevis 1: F gradientfelt  curl F = 0

  9. Gradientfelt og eksakt differentialform F = [ F1, F2, F3] definert i et åpent område D i rommet. Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz er en differential form. Differentialformen kalles eksakt hvis det finnes en skalar funksjon f slik at

  10. Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt F definert i et åpent område D i rommet.

  11. Konservativt vektorfeltEks 1 - Oppgave F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z] 1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig) 2. Bestem en potensialfunksjon til F 3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

  12. Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [1/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

  13. Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [2/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z] 2. Bestem en potensialfunksjon til F

  14. Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [3/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z] 3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

  15. Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave 1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt 2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene: A (1,1,1) B (2,3,-1)

  16. Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [1/4] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

  17. Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [2/4] 2. Bestemmelse av potensialfunksjon f

  18. Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [3/4] F = [ y, x, 4] 2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1) A (1,1,1) F B (2,3,-1)

  19. Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [4/4] 2. Integralet kan også løses direkte A (1,1,1) F A B (2,3,-1) B

  20. Divergens(Flukstetthet)Curl (Sirkulasjonstetthet) Fluks k C Strømning T n F Divergens dA dC C Curl k A T n F

  21. Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]

  22. Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]

  23. Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3] D C A B

  24. Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D Ekspanderende gass i punktet (x0,y0) Komprimerende gass i punktet (x0,y0)

  25. Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2D Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]

  26. Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]

  27. Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]

  28. Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3] D C A B

  29. Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D Rotasjon mot klokka i punktet (x0,y0) Rotasjon med klokka i punktet (x0,y0)

  30. Divergens (FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet) C A Divergens n F Curl C A T F

  31. Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2D Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ] Ingen rotasjons-tendens

  32. Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2D Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2] = [ -y, x ] Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ] Rotasjons-tendens

  33. Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2D Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]

  34. Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2D C k R T F curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjonrundt randen til R. curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt. curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.

  35. Greens teoremDef - 2D Fluks - Divergens - Normalform Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

  36. Greens teoremDef - 2D - Fig F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R T F

  37. Greens teoremDef - 2DNormalform F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Normalformen av Greens teoremsier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C, dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til Fover det indre området R av kurven C, dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.

  38. Greens teoremDef - 2DTangentiellform F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R T F Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C, dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.

  39. Greens teoremDef - 2D - Part F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R T F

  40. Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2D C y III Ci,j+1 Ci+1,j+1 IV Ri,j II RP Ri,j Ci,j Ci+1,j I x

  41. Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2D C y x III IV Ri,j II I

  42. Greens teoremBevis-skisse - Div - 2D C y x III IV Ri,j II I

  43. Greens teoremFysisk tolkning - Uten hull n hull Green - Fluks - Divergens - Normalform R C Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form R C

  44. Positiv og negativ fluksDef - 2D - Fig Green - Fluks - Divergens - Normalform Flom Positiv fluks Uttapping av vann Negativ fluks Elektrisk felt Positiv fluks / Negativ fluks Elektrisk felt Null fluks E

  45. Greens teoremEks 1 - 2D Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ] over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2 Normalform Fluks Tangentialform Sirkulasjon

  46. Greens teoremOmråder med hull - 2D [1/2] C1 y R x C1 C11 y R1 C21 C2 A B J2 J1 C22 R2 C12 x

  47. Greens teoremOmråder med hull - 2D [2/2] C1 C11 y R1 C21 C2 1 hull J2 J1 C22 R2 C12 x C y R C1 C3 n hull C2 x

  48. Greens teoremFysisk tolkning - Med hull n hull Green - Fluks - Divergens - Normalform R C Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form R C

  49. Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [1/3] y C Ca x

  50. Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [2/3] y C Ca x

More Related