16. Relativiseeritud teooria.

1. 16. Relativiseeritud teooria. • Vaatleme järgmist hulka: H = { xy (x(x) = y ja K rahuldab tt-tingimust y} Teoreem 1. H ei ole tt-taanduv hulgale K. Väide. H on intuitiivselt taanduv hulgale K.

2. Olgu antud hulk X. Vaatleme järgmist lõpliku käskude hulgaga protseduuri. Antud sisendi korral alustatakse arvutust, mis toimub algoritmi kohaselt, ainult et: • aeg-ajalt tahetakse saada vastust küsimusele vormis “kas n kuulub hulka X?” • käsud ei anna mingit võimalust sellisele küsimusele vastamiseks, • sellisele küsimusele vastuse saamine läheb üldises protseduuris arvesse ühe sammuna, • järgnevad sammud sõltuvad üldiselt saadud vastusest.

3. Kui mingi väline agent annab korrektselt ja automaatselt selliseid vastuseid, siis on meil tegu korrektselt defineeritud ja efektiivse protseduuriga. Nimetame sellist protseduuri X-st sõltuvaks algoritmiks. • Näiteks H karakteristliku funktsiooni arvutamine on hulgast K sõltuv algoritm. Abilindiga Turingi masin. • Lisaks tavalisele lindile on Turingi masinal veel üks, kus on kasvavas järjekorras üles loetud kõik X elemendid. Infot X kohta otsitakse sobilike käskude abil siis abilindilt.

4. Oraakliga Turingi masin. Välist agenti, mis annab korrektseid vastuseid hulga X kohta, nimetatakse sageli oraakliks. Tavalisele Turingi masinale antakse lisaks kaks omadust: • Võimalus säilitada eelneva arvutuse tulemas, sel ajal kui esitatakse küsimusi oraaklile • Võimalus valida edasiminekuks kahe seisundi vahel.

5. Meie meetod: • Moodustame efektiivse nimekirja kõigist oraakliga masinatest. See annab igale oraakliga masinale indeksi. Olgu Pz oraakliga masin, mille indeks on z. • Igale oraakliga masinale ja hulga X valikule vastab, nagu tavaliselt, ühe muutuja osaline funktsioon. Olgu zX funktsioon, mida arvutab masin Pz sõltuvalt hulgast X. • Kui z on fikseeritud ja on antud mingi sisend x, võime efektiivselt genereerida (võib-olla lõpmatu) diagrammi, mis kirjeldab kõiki võimalikke zX arvutusi (vastavalt X varieerumisele).

6. Seda tehakse järgmiselt: • Võtame sisendi x. • Alustame Pz poolt määratud arvutust. Jätkame seda, kuni küsitakse esimene küsimus. • Sellest momendist alustame kaht arvutust, millest üks vastab jaatavale ja teine eitavale vastusele. • Iga haru jaguneb uuesti, kui tuleb uus küsimus. • Kui mõnes harus esitatakse küsimus, millele on eelnevalt juba vastatud, siis kasutame eelnevat vastust ja uut harunemist ei tule.

7. Iga haru määrab ära kaks hulka D’ ja D’’, D’ = {w  harus kasutatakse jaatavat vastust küsimusele “kas wX?”} ja D’’ = {w  harus kasutatakse eitavat vastust küsimusele “kas wX?”}. • On selge, et D’D’’ = . Mõned diagrammi harud võivad olla lõplikud, teised mitte. Kui haru on lõplik, on ja D’ ja D’’ lõplikud. • Diagrammi konstrueerimisel võime genereerida efektiivselt järgmise (rekursiivselt loenduva) hulga:

8. {y,u,v leidub lõplik haru, mille jaoks D’ = Du, D’’ = Dv ja väljundiks on y} • Selle hulga rekursiivselt loenduv indeks sõltub sisendist x ja masina indeksist z. Seepärast (tänu s-m-n-teoreemile ja projektsiooniteoreemidele) leidub selline rekursiivne funktsioon h, et Wh(z) = {x,y,u,v diagrammil, mis kirjeldab masina Pztööd sisendil x, leidub lõplik haru, mille jaoks D’ = Du, D’’ = Dv ja väljundiks on y}. • Seega, me saame sõltuvaid algoritme kirjeldada sobivate rekursiivselt loenduvate hulkade terminites.

9. Def. x,y,u,v on kokkusobiv, kui DuDv= . Def. x1,y1,u1,v1 ja x2,y2,u2,v2 on võrreldavad, kui Du1Dv2= Du2Dv1= . Def. Wx on regulaarne, kui • x,y,u,vWx => x,y,u,v on kokkusobiv, • x1,y1,u1,v1Wx ja x2,y2,u2,v2Wx ja x1,y1,u1,v1x2,y2,u2,v2 => x1,y1,u1,v1 ja x2,y2,u2,v2 ei ole võrreldavad. Teoreem 2. Leidub selline rekursiivne funktsioon r, et kõigi z korral • Wr(z) on regulaarne, • Kui Wz on regulaarne, siis Wr(z) = Wz.

10. Def. zX = {x,yu,v (x,y,u,vWr(z) & Du X & Dv X)} zX (x1, …, xk) = zX (x1, …, xk) Olgu A fikseeritud hulk. Def.  nimetatakse osaliseks A-rekursiivseks funktsiooniks, kui = zA mingi z jaoks. f on A-rekursiivne funktsioon, kui mingi z korral f = zA ja zA on totaalne. Teoreem 3. Kui A on rekursiivne, siis zA on osaline rekursiivne funktsioon.

11. Def. A on rekursiivne hulgas B, kui hulga A karakteristlik funktsioon CA on B-rekursiivne. A on rekursiivselt loenduv hulgasB, kui kas A =  või A = range f mingi B-rekursiivse f jaoks. Teoreem 4. A on rekursiivne hulgas B parajasti siis, kui A ja on mõlemad rekursiivselt loenduvad hulgas B. • Kui asendada eelnevas teoorias (kõigis definitsioonides ja teoreemides) osalised rekursiivsed funktsioonid osaliste A-rekursiivsete funktsioonidega, siis saame relativiseeritud teooria.

12. 17. Turingi taanduvus. Def. Hulk A on Turingi mõttes taanduv hulgale B (A T B), kui A on rekursiivne hulgas B, s.t. CA on B-rekursiivne funktsioon. Näide. HTK. Teoreem 1. Ton refleksiivne ja transitiivne. Def. A T B, kui A T B ja B T A. Ekvivalentse nimetatakse Turingi järkudeks (T-järkudeks).

13. Turingi taanduvust loetakse harilikult kõige fundamentaalsemaks taanduvuseks. Kui kasutatakse ainult sõna “taanduvus”, siis mõeldakse tavaliselt Turingi taanduvust. Def. A on Turingi mõttes täielik (T-täielik),kui • A on rekursiivselt loenduv, • B (kui B on rekursiivselt loenduv, siis B T A.) Näiteks hulk K on T-täielik.

14. Teoreem 2. • A tt B => A T B. • T-taanduvuse järjestus on ülemine poolvõre. • Kui B on rekursiivne ja A T B, siis A on rekursiivne. Ka T on rekursiivselt invariantne. T-taanduvuse järjestuses on üks minimaalne järk, mis koosneb ainult rekursiivsetest hulkadest. T-järku võib vaadelda koosnevana tt-järkudest.

15. Leidub hulki, mis on T-täielikud, kuid ei ole tt-täielikud. Def. Olgu A lõpmatu hulk. Funktsioon fületab hulka A, kui n (f(n) zn), kus z0, z1,… on A elemendid rangelt kasvavas järjestuses. • On lihtne aru saada, et leidub hulki, mida ei ületa ükski rekursiivne funktsioon. Olgu f0, f1, … funktsioonide jada, mis hõlmab kõik rekursiivsed funktsioonid. Defineerime g(0) = f0(0)+1 g(n+1) = min z [z > g(n) & z > fn+1(n+1)] Hulka range g ei ületa ükski rekursiivne funktsioon.

16. Def. Hulk A on hüperimmuunne, kui A on lõpmatu ja ükski rekursiivne funktsioon seda ei ületa. Teoreem 3. Kui A on hüperimmuunne, siis A on immuunne. Def. Hulk A on hüperlihtne, kui A on rekursiivselt loenduv ja on hüperimmuunne. Teoreem 4. Kui A ei ole rekursiivne ja A on rekursiivselt loenduv, siis leidub selline hulk B, et B T A ja B on hüperlihtne.

17. Järeldus. • Iga mitterekursiivne, rekursiivselt loenduv T-järk sisaldab lihtsat hulka. • Iga mitterekursiivse, rekursiivselt loenduva hulga A jaoks leidub selline hüperlihtne B, et Btt A. Posti probleem. • kas leidub hulk, mis poleks rekursiivne ega T-täielik? • kas leidub rohkem kui 2 rekursiivselt loenduvat T-järku? • kas suvalised kaks mitterekursiivset, rekursiivselt loenduvat hulka peavad olema samas T-järgus?

18. Def. Hulk A on hüperhüperimmuunne, kui • A on lõpmatu, • Ei leidu rekursiivset funktsiooni f, mille korral u [Wf(u) on lõplik & Wf(u)A] & uv [uv => Wf(u) Wf(v) = ] Def. Hulk A on hüperhüperlihtne, kui A on rekursiivselt loenduv ja selle täiend hüperhüperimmuunne.

19. 18.Rekursiooniteoreem. • Oleme mitmel korral tegelenud selliste rekursiivselt invariantsete struktuuridega, mis ei kuulu meie poolt juba defineeritud mõistete alla (nt. hulgad, mis on rekursiivselt loenduvad, kuid pole rekursiivsed jne.) Paljude seesuguste struktuuride genereerimiseks on olemas üldine lihtne meetod.

20. Meie sõnastame selle meetodi teoreemi vormis. Seda nimetatakse tavaliselt rekursiooniteoreemiks või rekursiooniteooria püsipunktiteoreemiks. Teoreem 1. Olgu f suvaline rekursiivne funktsioon. Siis leidub selline n, et n= f(n). Järeldus. Olgu f suvaline rekursiivne funktsioon. Siis leidub selline n, et Wn= Wf(n). Teoreem 2. Kui A on kreatiivne, siis on A m-täielik.

21. Näide 1. Leidub selline erinevatest naturaalarvudest koosnev jada m0, m1, ..., et iga i korral Wmi= (mi+1). Näide 2. Leidub masin, mis suudab teha enda koopia. Näide 3. Iga kahe rekursiivse funktsiooni f ja g korral leiduvad sellised m ja n, et m= g(m,n) ja n= h(m,n).

22. 19.Aritmeetiline hierarhia. Def. Seos R kuulub aritmeetilisse hierarhiasse, kui R on rekursiivne või leidub selline rekursiivne seos S, et R on saadav seosest S, rakendades lõplik arv kordi täiendit ja projektsiooni.

23. Teoreem 1.n-muutuja seos R kuulub aritmeetilisse hierarhiasse R on rekursiivne või saab seost R mingi m jaoks väljendada nii: { (x1,…, xn)(Q1y1)… (Qmym) S(x1,…, xn, y1,…, ym)} kus Q1, …, Qm on kvantorid  või  ja S on (n+m)-muutuja rekursiivne seos.

24. Def. Olgu antud avaldis, mille moodustavad seosesümbolile erinevatel koordinaatidel rakendatud null või rohkem kvantorit, ja konkreetne rekursiivne seos, mis vastab sellele seosesümbolile. Siis ütleme, et avaldis ja seos koos moodustavad predikaatvormi. Def. Olgu antud hulk A. Kui asendame predikaatvormi definitsioonis rekursiivse seose A-rekursiivse seosega, siis nimetame tulemust A-vormiks.

25. Def.m kvantoriga predikaatvorm rakendatuna n-muutuja rekursiivsele seosele (m < n) defineerib (n-m)-muutuja seose. Ütleme, et antud vorm väljendab seda seost. Järeldus. • Seos R kuulub aritmeetilisse hierarhiasse  leidub predikaatvorm, mis väljendab seost R. • Seos R kuulub aritmeetilisse hierarhiasse hulgas A leidub A-vorm, mis seost R väljendab. Def. Kvantorite jada (mis võib olla tühi) predikaatvormis või A-vormis nimetatakse prefiksiks.

26. Def. Prefiksi vahetuste arv on kõrvutiasetsevate erinevate kvantoripaaride arv. Def.n-prefiksiks (n > 0) nimetatakse prefiksit, mis algab olemasolu kvantoriga  ja milles on n – 1 vahetust. Def.n-prefiksiks (n > 0) nimetatakse prefiksit, mis algab üldisuse kvantoriga  ja milles on n – 1 vahetust. 0-prefiks ja 0-prefiks on tühjad prefiksid ja langevad kokku.

27. Def. Predikaatvorm on n-vorm, kui sel on n-prefiks. Predikaatvorm on n-vorm, kui sel on n-prefiks. Def.n = kõikide seoste klass, mis on väljendatavad n-vormidega. n = kõikide seoste klass, mis on väljendatavad n-vormidega. Teoreem 2. • nnn+1n+1 • R korral R kuulub klassi nR täiend kuulub klassi n.

28. Def. Tähistame ( n > 0 korral) Tn = { z, x0, x1, … , xn  x0, x1, … , xn-1 ilmub hulga Wz loendamise xn-ndal sammul} Def. Kui R = {x0, x1, … , xm-1 (xm) Tm(z, x0, x1, … , xm)}, siis z nimetatakse seose R1-indeksiks. Def.Kui R = {x0, x1, … , xm-1 (xm) Tm(z, x0, x1, … , xm)}, siis z nimetatakse seose R1-indeksiks.

29. Def. Kui B = { x0  (x1)(x2)… Tm(z, x0, x1, … , xm)}, siis z nimetatakse seose Bn-indeksiks. ( “(x1)(x2)…” tähistab siin kas vahetuvate kvantorite järjendit või siis vahetuvate kvantorite järjendit, millele järgneb eitus, sõltuvalt sellest, kas n on paaris või paaritu.) Kui B = { x0  (x1)(x2)… Tm(z, x0, x1, … , xm)}, siis z nimetatakse seose Bn-indeksiks (kus Tn-le eelneb eitus, kui n on paaritu).

30. Def. Olgu antud selline kvantorloogika avaldis F a1…an , mis koosneb kvantoritest, muutujatest, =, lauselõpusümbolitest ja seosesümbolitest nii, et a1…an on selle vabad muutujad. Olgu seosesümbolid tõlgendatud kui teatud fikseeritud seosed S1, S2, … . Siis öeldakse, et seos R = {x1, … , xnF a1…an on tõene, kui a1…an on interpreteeritud vastavalt kui x1, … , xn} on defineeritav kvantorloogikas seoste S1, S2, … abil; ja F a1…an nimetatakse seose Rdefinitsiooniks seoste S1, S2, … abil.

31. Kui seose defineerib rekursiivsetest seostest koosnev lause, siis on see rekursiivne. Näiteks, kui R ja S on rekursiivsed binaarsed seosed, siis {x, y, zR(x,y) S(y, z) on rekursiivne 3-muutuja seos. (2) Kui F ja G on sellised avaldised, et muutuja a ei sisaldu ilma kvantorita avaldises G, siis on järgmised avaldistepaarid ekvivalentsed:

32. (a) F G , (a) [F G]; (a) F G , (a [F G]; (a) F G , (a) [F G]; (a) F & G , (a) [F & G]; (a) F => G , (a) [F => G]; (a) F => G , (a) [F => G]; G => (a) F , (a) [G => F]; G => (a) F , (a) [G => F].

33. (3) Kui F(a) on avaldis (mis võib sisaldada ka muid muutujaid) ja b on muutuja, mis selles ei esine, siis olgu F(b) tulemus, mis saadakse avaldisest kõigi muutuja a ilma kvantorita esinemiste asendamisel muutujaga b. Siis on ekvivalentsed: (a) F(a) , (b) F(b); (a) F(a) , (b) F(b).

34. (4) Kui F ja G on avaldised, siis järgmised paarid on ekvivalentsed: (a) F, (a) F ; (a) F, (a) F ; F , F ; FG , [F => G] & [G => F].

35. Järeldus. Olgu antud hulk A. Kui seos R on defineeritav kvantorloogikas A-rekursiivsete seoste abil, siis kuulub R aritmeetilisse hierarhiasse hulgas A. Näide. B = {xWx on rekursiivne}. Lühend. Olgu a ja b erinevad muutujad. (ab) F tähistab (a) [ab => F] (ab) F tähistab (a) [ab & F]

36. Def. Lühendeid (ab) F ja (ab) F nimetatakse piiratud kvantoriteks. • Piiratud kvantori saab viia vasakule üle tavalise kvantori, kui rekursiivsetes seostes, millele need kvantorid mõjuvad, tehakse sobivad muutused. • Piiratud kvantori rakendamisel rekursiivsele seosele saadakse rekursiivne seos. • Kui kvantori saab muuta piiratud kvantoriks, siis võib selle Tarski-Kuratowski arvutusest välja jätta. Näide.R = {u, zDuWz } Näide.B = { zWz on lihtne}

37. Def.n-muutuja seos R on defineeritav elementaararitmeetikas, kui leidub selline valem Fa1…an vabade muutujatega a1 … an , et R = {x1, …, xnFx1… xn on tõene }, kus Fx1… xn on saadud, asendades a1 … an arvuliste väärtustega x1, …, xn. Def.n-muutuja seost P nimetatakse polünoomseoseks, kui leidub selline naturaalarvuliste kordajatega n-muutuja polünoom p(a1, …, an), et P = {x1, …, xnp(x1, …, xn) = 0 }.

38. Teoreem 4. Iga n-muutuja rekursiivse seose R korral leiduvad polünoomseos P ja prefiks Q1 … Qm, et R(x1, …, xn)  (Q1y1) … (Qm ym) P(x1, …, xn, y1, …, ym). Teoreem 5. (Esitusteoreem) Iga seose R korral, R kuulub aritmeetilisse hierarhiasse parajasti siis, kui R on defineeritav elementaararitmeetikas.

39. Polünomiaalne hierarhia Def. TM M poolt tuvastatav keel L(M) on sisendite hulk, mille korral masin lõpetab töö. Def. Olgu MA TM oraakliga A. Siis MC on keelte hulk, mis saadakse masinast M, kui oraakel kuulub klassi C. • Näiteks: MNP = {L(MA) : A  NP}

40. Def. Keel A on polünomiaalselt Turingi mõttes taanduv keelele B, kui leidub polünomiaalse ajaga töötav oraakliga B TM, mis tuvastab keele A. • Teame: kui AP, siis iga B korral APT B • Kui K on keelteklass, siis kõiki keeli, mis Turingi mõttes on polünomiaalselt taanduvad mõnele klassi K kuuluvale keelele, tähistame PK. • Näiteks klass PNP.

41. Def. Keel A on Turingi mõttes mittepolünomiaalselt taanduv keelele B, kui leidub selline mittedeterministlik polünomiaalse ajaga töötav oraakliga TM, et A = L(MB). Tähistame seda ANPTB. • Kui K on keelteklass, siis kõiki keeli, mis on Turingi mõttes mittedeterministlikult polünomiaalselt taanduvad mõnele klassi K kuuluvale keelele, tähistame NPK.

42. Teoreem. Suvaliste keelte A ja B korral kehtivad: • PA NPA. • A PA ja seega ANPA. • PA = PA ja NPA = NPA. • PA = coPA. • PA = PB A PT B ja B PT A. • PA ja NPA on kinnised polünomiaalse m-taanduvuse suhtes. • NPA PSPACEA. • Kui AP, siis PA = P.

43. Teoreem. Iga keelteklassi K korral NPPK=NPK. Def.  Pn,  Pn,  Pn  P0=  P0=  P0  Pk+1= NP  Pn  Pk+1 = co  Pk+1  Pk+1 =P  Pn