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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算（ GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現

使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算（ GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現. 許慧玉 台灣師範大學數學系 博士後研究員. 台灣學生優秀的數學表現. 幾何證明（ GP ）. 幾何計算（ GC ）. 幾何計算（ GCN ）. 幾何計算（ GCN ）是如何的被台灣老師所使用？如果可以，學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力？. 50˚. ?. 75˚. 幾何計算 (GCN) 的定義. 要求學生在圖形（ mental or physical) 裡進行純數字運算的試題. 三角形內角和.

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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算（ GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現

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  1. 使用不同的研究方法來探究同一個研究問題:臺灣學生經驗幾何計算（GCN)和他們在幾何計算(GCN)與幾何證明(GP)上的表現使用不同的研究方法來探究同一個研究問題:臺灣學生經驗幾何計算（GCN)和他們在幾何計算(GCN)與幾何證明(GP)上的表現 許慧玉 台灣師範大學數學系 博士後研究員

  2. 台灣學生優秀的數學表現 幾何證明（GP） 幾何計算（GC） 幾何計算（GCN） 幾何計算（GCN）是如何的被台灣老師所使用？如果可以，學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力？

  3. 50˚ ? 75˚ 幾何計算 (GCN)的定義 • 要求學生在圖形（mental or physical) 裡進行純數字運算的試題 三角形內角和

  4. TASKS as enacted by classroom teacher and students TASKS as set up by classroom teacher TASKS as they appear in curricular/ instructional materials Student Learning Mathematical Task Framework (MTF) Excellent Mathematical Knowledge for Teaching 教師中心 考試導向 一位台灣國中數學教師─ 阿南老師 第一個研究 第二個研究 第三個研究 總結

  5. 研究問題 • 阿南老師使用的幾何計算試題（GCN）可以提供學生哪些學習機會（Opportunities to learn)呢？ • 阿南老師使用的教材（curricular/instructional sources)裡，幾何計算試題（GCN）有沒有什麼不同？如果有，會不會影響學生的學習機會呢？（Opportunities to learn) • 教科書 • 補充講義 • 測驗卷 • 阿南老師上課中發展的試題

  6. 幾何試題分析架構

  7. 參照圖形(reference diagram)的定義 • 教科書在定義一個幾何性質時，旁邊的附圖就稱為參照圖形 • 不同人對平行四邊形的心智圖形(mental images)

  8. 等腰三角形和正三角形的參照圖形

  9. 案例─分析圖形複雜性 幾何計算試題的附圖 內錯角的參照圖形

  10. 圖形複雜性

  11. 分析子項一、二

  12. 分析子項三、四

  13. 分析子項五

  14. 一個幾何試題圖形改變摘要表

  15. 認知複雜度 內錯角的參照圖形 參照圖形鑲嵌在幾何計算圖形內

  16. 其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  17. 解題複雜性(problem-solving complexity) • 輔助線 • 推理步驟的個數 • 使用幾何性質的次數 • 需要剛性轉換(transformation)的次數

  18. 案例─解題複雜性 • 一個四邊形ABCD，其AD//BC，AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.

  19. 輔助線 • 一個四邊形ABCD，其AD//BC，AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.

  20. 解題步驟和對應的幾何性質

  21. 剛性轉換(transformation)

  22. 分析資料 • 國二的一個幾何單元─平行線與四邊形 • 熟悉幾何性質 • 奠定國三學習幾何證明的基礎 • 追蹤一個國中教師（阿南老師）在教這個單元使用的教材內容 • 教科書 • 補充講義 • 測驗卷 • 課堂上創造出的試題 • 總共有1084個試題，其中529個試題是幾何計算（GCN）

  23. Findings-圖形複雜性 115 Tasks 125 tasks 189 tasks 7 tasks

  24. Findings-輔助線 115 Tasks 151 tasks 256 tasks 7 tasks

  25. Findings-推理步驟數

  26. Findings-使用幾何性質個數

  27. Findings-轉換(transformation)個數

  28. 結果討論─1 • 發展出的試題分析架構 • 創新性 • 系統性的分析試題 • 避開學生先備知識對試題難度度分析的影響

  29. 結果討論─2 • 非教科書的試題比教科書難 • 要求學生辨識出複雜的幾何圖形──鑲崁的參照圖形及對應的幾何性質 • 畫出輔助線 • 多步驟解題過程 • 使用多個幾何性質 • 需要學生作圖形的剛性轉換（transformations） 解題技巧、知識、和推理都是幾何證明需要的能力

  30. 結果討論─3 • 學生如何學習這些困難的幾何計算試題呢？ • 阿南教師的教學技巧 • 使用補充講義 • 只要多練習總有一天你就會作題目 • 弱勢的學生 • 對國際性教科書分析的反思

  31. 30 30 30 70 70 70 80 80 ? ? 50 ? 第二個研究阿南老師的教學分析 • 如何安排幾何計算試題 • 逐漸複雜幾何圖形─為維持認知困難度 第一個試題 第二個試題 第三個試題

  32. 30 70 ? 30 70 ? 學習機會(learning opportunities) • 作輔助線─視覺推論及操作圖形 • 瞭解澄清鑲崁在幾何圖形裡的幾何性質 • 發展出不同的解題策略

  33. 另一個分析重點 • 教師中心的教學法底下如何讓學生學習數學 • 使用手勢(gesture)

  34. 阿南的教學 • 使用手勢

  35. 第三個研究研究假設Hypothesis • 研究問題 • 當控制兩種試題的給定圖形以及解題所需的幾何性質，學生在幾何計算與幾何證明的表現會一樣嗎？ 幾何計算 幾何證明 圖形

  36. Why Geometric Diagram? • Place where problem solving happens (Larkin & Simon, 1987) • Schemes by which students remember the steps in solving a problem, the given statements, and the diagram labels (Lovett & Anderson, 1994) • Milieu where can be parsed into chucks to cue the geometric knowledge (Koedinger & Anderson, 1990) • Artifacts in scaffolding students in learning proofs (Cheng & Lin, 2006; 2007). • Both types of tasks also require to visualize the geometric properties embedded in the given diagram

  37. 設計幾何計算與幾何證明試題的準則 • 準則一：給定圖形一致性 • Pair 1

  38. 設計幾何計算與幾何證明試題的準則 • 準則二：解題使用的幾何性質相同 • Set 1: • 三角形內角和 • 互補性質 • 等腰三角形性質 • Set 2: • 外角定理 • 等腰三角形性質

  39. 設計幾何計算與幾何證明試題的準則 • 標準三：解題中使用幾何性質的次序是相同的 • 幾何計算 幾何證明

  40. 設計幾何計算與幾何證明試題的準則 • 準則四: • 設計其他不同圖形的幾何計算和幾何證明題目 • 問卷共有四對試題

  41. A D F B E C 第二對

  42. 第二對 • 幾何計算 幾何證明

  43. A D E C B 第三對

  44. 第三對 • GCN GP

  45. D E C B A 第四對

  46. 第四對 • 幾何計算GCN 幾何證明GP

  47. 學生答題的架構

  48. 解題經驗的考量 • 解題經驗的不確定性 • 幾何證明先，幾何計算後 • 幾何計算先，幾何證明後

  49. 時間的影響 • 解題時間點不同 • 對應的試題幾乎同時間解 • 對應的試題相差一天解題

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