Dane INFORMACYJNE:

2. Dane INFORMACYJNE: • Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim • ID grupy: 97_29_mf_g2 • Opiekun: Jarosław Boboryko • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: „Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa” • Semestr/rok szkolny: IV/ 2011-2012

3. CEL realizacji I praca nad projektem… • To kolejny temat, który realizowaliśmy w ramach projektu „As – Kompetencji”. • Podjęliśmy się jego realizacji, ponieważ chcieliśmy się dobrze przygotować do zapowiadanych programem nauczania - podobno niełatwych - lekcji z rachunku prawdopodobieństwa. • Chcieliśmy, aby zdobyta tutaj wiedza i umiejętności pozwoliły na swobodne przebrnięcie przez ten dział matematyki i sprawiła, że staniemy się wśród rówieśnikiem ekspertami w tej tematyce.

4. … CEL realizacji I praca nad projektem … • Teraz, gdy kończymy pracę nad tym tematem, na lekcjach matematyki zaczynamy rachunek prawdopodobieństwa. Nie mamy żadnych obaw z nim związanych. • Duża liczba rozpatrzonych, a także wymyślanych samodzielnie przykładów użycia kombinatoryki na zajęciach „Asa”, daje nam komfort swobodnego uczestniczenia na tych lekcjach.

5. … CEL realizacji I praca nad projektem • Tworząc tą prezentację zaangażowaliśmy się bardzo w rozwiązywanie różnych zadań związanych z tematem i (po zdobyciu pewnego doświadczenia) opracowaniem nowych – naszych autorskich. • W związku z tym, prezentację ograniczyliśmy do pojęć najbardziej naszym zdaniem użytecznych dla ucznia szkoły ponadgimnazjalnej. • W układaniu zadań narzuciliśmy sobie ograniczenie, aby każde z nich w jakiś sposób dotyczyło Mistrzostw Europy w piłce nożnej. • Chcielibyśmy, aby prezentacja posłużyła naszym koleżankom i kolegom lepszemu zrozumieniu i nauczeniu się zasad kombinatoryki. • Mamy nadzieję, że kibice piłki nożnej znajdą w niej odpowiedź na niejedno pytanie, które być może będą sobie zadawali podczas oglądania turnieju EURO 2012.

6. „Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa”

7. rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka)… • To dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. • Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. • Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.

8. …rachunek prawdopodobieństwa • W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa spotykamy się najczęściej z takimi doświadczeniami losowymi, w których zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, a wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne; wówczas stosujemy klasyczna definicję prawdopodobieństwa • Do stosowania tego wzoru potrzebna jest umiejętność obliczania liczebności zbiorów. Tutaj w sukurs idzie dziedzina matematyki stworzona na te potrzeby – KOMBINATORYKA.

9. KOMBINATORYKA • To teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. • Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych. • Poza tym znajduje zastosowanie w teorii grafów, teorii informacji i innych działach matematyki stosowanej. • Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

10. Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka … • Zbiór {x1 , x2, ..., xn} oznacza zbiór o elementach x1 , x2, ..., xn. • Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. • Multizbiór - to zbiór, który może zawierać elementy identyczne, a więc każdy z różnych elementów multizbioru może występować więcej niż jeden raz. • Ciąg (a1 , a2, ..., an) oznacza ciąg o wyrazach a1 , a2, ..., an. Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

11. Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka • Silnia n! oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n! = 1 · 2 · 3 · ... · n 0! = 1 • Symbol Newtona • dla n, k∈N i 0 ≤ k ≤ n oznacza liczbę określoną wzorem • Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę jego elementów. • Oznaczamy

12. Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka • TRÓJKĄT PASCALA • Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala

13. Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka • TRÓJKĄT PASCALA • Ponieważ • Więc wszystkie wyrazy skrajne w trójkącie Pascala • są równe 1. Ponadto • Każdy z pozostałych wyrazów jest sumą najbliższych dwóch wyrazów znajdujących się nad nim. Dzięki temu trójkąt Pascala łatwo odtworzyć z pamięci.

14. Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka • TRÓJKĄT PASCALA • Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...............................

15. zasada mnożenia

16. ELEMENTY KOMBINATORYKIZASADA Mnożenia… • Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, to zbiór oznaczany AxB i określany następująco: • Można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. • Np.: dla czterech zbiorów A, B, C, D mamy:

17. ELEMENTY KOMBINATORYKI… ZASADA Mnożenia • Jeżeli zbiór A składa się z n różnych elementów, a zbiór B z k różnych elementów, to iloczyn kartezjański tych zbiorów liczy nk elementów.

18. ELEMENTY KOMBINATORYKI… ZASADA Mnożenia • PRZYKŁAD: • W jadłodajni są do wyboru 3 rodzaje zup, 4 rodzaje drugich dań i 2 rodzaje deserów. Ile różnych 3-daniowych zestawów obiadowych można wybrać w tej jadłodajni? Rozwiązanie: A – zupy B – drugie dania C – desery Odp.: Można utworzyć 24 takie zestawy obiadowe.

19. Permutacje

20. ELEMENTY KOMBINATORYKIPermutacje … • Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. • Inaczej mówiąc, permutacja, to ustawienie zbioru n-elementowego w ciąg, czyli przestawienie elementów tego zbioru. • Stąd nazwa: „permutatio” to po łacinie: „przemieszczenie”, „przestawienie”.

21. ELEMENTY KOMBINATORYKI…Permutacje … • Twierdzenie • Liczba permutacji w dowolnym zbiorze n-elementowym wynosi: • Pn=n! • dla dowolnej liczby naturalnej n.

22. ELEMENTY KOMBINATORYKI…Permutacje … • PRZYKŁAD: • Do biegu przystąpiło 6 zawodników o numerach 1,2,3,4,5,6. Za wynik biegu uważamy kolejność przybycia zawodników na metę. Ile może być różnych wyników tego biegu? Rozwiązanie: X – zbór zawodników pojedynczy wynik biegu, to 6 – elementowy ciąg o niepowtarzających się wyrazach pochodzących ze zbioru X, czyli permutacja zbioru 6 – elementowego.

23. Wariacje bez powtórzeń

24. ELEMENTY KOMBINATORYKIWariacje bez powtórzeń … • k-wyrazową wariacją bez powtórzeńn-elementowego zbioru A (gdzie 0  k  n ) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów, zbioru A.

25. ELEMENTY KOMBINATORYKI… Wariacje bez powtórzeń … • Twierdzenie: • Jeśli 0  k  n, to wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest:

26. ELEMENTY KOMBINATORYKI… Wariacje bez powtórzeń… • PRZYKŁAD: • Na ile sposobów można wylosować kolejno 5 kart bez zwracania z talii 52 kart? Rozwiązanie: 52 możliw. 51 możliw. 50 możliw. 49 możliw. 48 możliw. liczba wszystkich możliwych losowań kart, to 52 51 50  49  48 =

27. Wariacje z powtórzeniami

28. ELEMENTY KOMBINATORYKIWariacje z powtórzeniami … • k-wyrazową wariacją z powtórzeniamin-elementowego zbioru A nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru.

29. ELEMENTY KOMBINATORYKI… Wariacje z powtórzeniami … •  Twierdzenie: • Wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest

30. ELEMENTY KOMBINATORYKI… Wariacje z powtórzeniami… • PRZYKŁAD: • Ile liczb 5-cyfrowych można utworzyć • z cyfr 4, 5, 6? Rozwiązanie: 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. liczba wszystkich możliwych liczb, to 3 333 3 =

31. Kombinacje

32. ELEMENTY KOMBINATORYKIkombinacje… • k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A (gdzie 0  k  n ) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A.

33. ELEMENTY KOMBINATORYKI… kombinacje… • Twierdzenie: • Wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest

34. ELEMENTY KOMBINATORYKI… kombinacjE • PRZYKŁAD: • Ile istnieje możliwych wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób? Rozwiązanie: - zbiór osób, n=20 • jedna z możliwych delegacji – 3-elem. podzbiór zbioru X liczba wszystkich możliwych takich podzbiorów (delegacji), to

35. algorytm postępowania przy Rozwiązywaniu zadań z kombinatoryki • Poniższe drzewko pokazuje jak można rozumować przy podejmowaniu decyzji o wyborze odpowiedniego elementu kombinatoryki podczas rozwiązywania zadań. Czy ważna jest kolejność występowania elementów? TAK NIE Czy elementy mogą się powtarzać? Kombinacje bez powtórzeń TAK NIE Czy wszystkie elementy są wykorzystane? Wariacje z powtórzeniami TAK NIE Permutacje Wariacje bez powtórzeń

36. Zestaw zadań na zastosowanie poszczególnych elementów kombinatoryki

37. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaI. permutacje • Zadanie I.1 • Klub kibica „Polska do boju” otrzymał od organizatorów EURO 2012 6 biletów w jednym rzędzie na mecz finałowy w Kijowie. Na ile sposobów 6 działaczy klubu kibica może usiąść na trybunach? Rozwiązanie

38. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaI. permutacje Zadanie I.2 • Drużyna narodowa składająca się z bramkarza, czterech obrońców, czterech pomocników i dwóch napastników podczas półfinału EURO 2012 w Warszawie wchodzi na boisko kolejno jeden po drugim. Ile jest takich możliwości wejścia na stadion, w których:   • bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem; • bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników; • pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą • pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą, ale do grupy dołączył trener? Rozwiązanie Rozwiązanie Rozw. Rozw.

39. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaII. wariacje bez powtórzeń • Zadanie II.1 • W finałach Mistrzostw Europy w piłce nożnej po rozgrywkach grupowych, do dalszej części przechodzą dwa najlepsze zespoły z grupy. • Na ile sposobów można wytypować drużyny awansujące z polskiej grupy (Polska, Rosja, Grecja, Czechy), biorąc pod uwagę fakt, że bardzo duże znaczenie ma, czy się wyjdzie z grupy na I, czy na II miejscu? Rozwiązanie

40. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaII. wariacje bez powtórzeń • Zadanie II.2 • W finałach EURO 2012 bierze udział 16 państw europejskich. Przed rozpoczęciem turnieju typujemy: mistrza, wicemistrza i brązowego medalistę. Ile jest możliwych wariantów ustalenia tej zwycięskiej trójki? Rozwiązanie

41. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaII. wariacje bez powtórzeń • Zadanie II.3 • Do plebiscytu na 10-ciu najlepszych piłkarzy EURO 2012 dziennikarze z grupą trenerów zgłosili 20 piłkarzy. Oblicz, ile istnieje sposobów wyłonienia z tej grupy, poprzez głosowanie kibiców, pierwszej dziesiątki? Rozwiązanie

42. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIII. wariacje z powtórzeniami • Zadanie III.1 • Ile dwuliterowych kodów można utworzyć z liter U,E,F,A, jeżeli litery mogą się powtarzać? Rozwiązanie

43. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIII. wariacje z powtórzeniami • Zadanie III.2 • Autobus z 22 kibicami powracającymi z meczu zatrzymuje się na 8 przystankach. Na ile sposobów kibice mogą wysiąść z tego autobusu? Rozwiązanie

44. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIII. wariacje z powtórzeniami • Zadanie III.3 • Między hotelem, a stadionem prowadzą 3 trasy. Na ile sposobów można przejechać z hotelu na stadion i z powrotem? Rozwiązanie

45. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIV. kombinacje • Zadanie IV.1 • Trener piłkarzy ma do dyspozycji na treningu szesnastoosobową grupę zawodników. • Na ile sposobów może wybrać z nich jedenastoosobową drużynę? Rozwiązanie

46. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIV. kombinacje • Zadanie IV.2 • Trener w 16 osobowej grupie zawodników dysponuje 2 bramkarzami, 6 pomocnikami, 2 napastnikami i 6 obrońcami . Na ile sposobów można wybrać drużynę jeżeli trener zdecydował się zagrać w systemie • 4 42; • 4 5 1? Rozwiązanie Rozwiązanie

47. ZESTAW Zadań Do rozwiązaniaIV. kombinacje • Zadanie IV.3 • W finałach Euro 2012 I etap rozgrywek prowadzony jest w czterech, cztero drużynowych grupach. Do II etapu rozgrywek przechodzą 2 najlepsze zespoły z każdej grupy. Zatem w II etapie meczy będzie rozgrywało osiem zespołów. • Ile jest możliwych składów tej 8 drużynowej grupy? Rozwiązanie

48. Rozwiązania ZadańI. permutacje Rozwiązanie zadanie I.1 X={ d1, d2, d3 , d4 , d5 , d6 } – zbiór działaczy n=6 Przykładowe usadowienia działaczy: - permutacje zbioru X P=6!=720 Powrót do zadania

49. Rozwiązania ZadańI. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 a)bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem X={ b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące „typy” wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia): 10 „typów” ... P=10∙ 9! ∙ 2!=7257600 Powrót do zadania

50. Rozwiązania ZadańI. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 b)bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników X={ b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące „typy” wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia): - 1 „typ” 10 „typów” P=10!+10∙6∙9!=10!+6∙10!=7∙10! P=25401600 Powrót do zadania