Autor: Mario A. Jordán

1. Fundamentos de Control Realimentado Clases 7, 8 y 9 - Versión 1 - 2014 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

2. Estabilidad - Generalidades Contenido Diagramas en Bloques Función de Transferencia de Laplace de un Sistema de Control Criterio de Estabilidad de Routh Aplicación al Diseño de un Sistema de Control

3. Función de transferencia y respuestas temporales Salida de un sistema dinámico: Y(s) = G(s) U(s) Respuesta Impulsiva: G(s) = H(s) U(s)=1 Respuesta al escalón: L-1 G(s)/s = y(t) L-1 G(s) = h(t) U(s)=1/s Y(s) = G(s)/s Relación entre las respuestas impulsiva y al escalón: dy/dt = h(t)

4. 4 Operaciones con bloques Sean los siguientes sistemas dinámicos aislados en bloques: Bloques en serie (Lazo abierto) U2/U1=G1 U2=Y2 / G2 Y2/U2=G2 U2(s) Y2/U1=G1G2 Bloques en cascada Y1/U=G1 Y=Y1 + Y2 Y2/U=G2 Y1(s) Y/U=G1 + G2 Y2(s) Bloques en lazo cerrado U1=R - Y2 Y=G1 (R-Y2) Y/U1=G1 Y=G1R-G1G2Y Y2/Y=G2 Y/R=G1/(1 + G1G2)

5. 5 Operaciones con bloques Traslado de un bloque hacia atrás a través de un nodo Traslado de un bloque hacia adelante a través de un nodo

6. 6 Operaciones con bloques Traslado de bloques hacia delante a través de un sumador Traslado de un bloque hacia adelante a través de un sumador

7. 7 Operaciones con bloques Traslado de un bloque desde la realimentación hacia afuera y hacia adentro Traslado de un bloque desde afuera hacia adentro del lazo

8. 8 Operaciones con bloques Ejemplo 1

9. 9 Operaciones con bloques Ejemplo 2

10. 10 Regla de Mason para hallar FT-LC 3 Ejemplos distintos Diagrama en bloques Diagrama en flujo Nodos Trayecto de lazo Trayecto directo Ganancia de realimentación Ganancia de lazo: G1G2G4 Ganancia de trayecto directo: G1G2 • Entrada y salida • Unión de nodos

11. 11 Regla de Mason para hallar FT-LC Determinante del sistema = 1 – SUMA de todas las ganancias de lazos individuales + SUMA de los productos de ganancias de cada par de lazos que no se tocan – SUMA de los productos de ganancias de cada triplete de lazos que no se tocan + … Ganancia del Trayecto directo i-ésimo Determinante del sistema que resulta de anular en  todos los términos que se conectan con el trayecto directo i-ésimo, ya sea en algún sub-tramo o todo el tramo.

12. 12 Regla de Mason para hallar FT-LC Ejemplo Trayecto directo Ganancia del trayecto Trayecto de lazo Ganancia de lazo

13. 13 Regla de Mason para hallar FT-LC

14. 14 Regla de Mason para hallar FT-LC Trayecto directo Ganancia del trayecto Trayecto de lazo Ganancia de lazo

15. 1 15 Estabilidad de sistemas dinámicos Definición Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si todas las raíces del polinomio denominador de su Función de Transferencia de Laplace tienen parte real negativa. De otra manera el sistema es inestable. Criterios de Estabilidad Análisis Diseño ٢ (2do orden) Raíces de la Ecuación Característica ٢ Criterio de Routh (2do. orden) ٢ ٢ Diagramas de Bode (frecuencia de cruce) ٢ ٢ Lugar de las raíces ٢ ٢ Diagrama de Nyquist ٢ ٢ Función de Liapunov

16. 16 Estabilidad de sistemas dinámicos Criterio de las raíces de la Ecuación Característica. Sea: …+ +… … … …+ +… …+ C1 e-p1t+C2 te-p1t +C3 t2e-p1t+ … para todos los polos con:

17. 17 Estabilidad de sistemas dinámicos Definiciones Estabilidad Interna: Todos los polos del sistema dinámico están estrictamente en el semiplano izquierdo Estabilidad Neutra: Un sistema dinámico es neutralmente estable cuando además de sus polos estables posee un polo en el origen y/o un par de polos imaginarios conjugados. Inestabilidad: Un sistema dinámico es inestable cuando posee algún polo en el semiplano derecho y/o polos sobre el eje imaginario con multiplicidad (ejemplo un Integrador doble o un par de polos imaginarios conjugados múltiples). ESTABILIDAD INVERSA: Un sistema es inversamente estable cuando posee todos sus ceros en el semiplano derecho. ESTABILIDAD BIBO: Un sistema es BIBO si para cualquier entrada acotada y una condición inicial acotada, su salida es acotada.

18. 18 Estabilidad Neutra – Ejemplo 1 Respuesta al impulso unitario 4.5 4 G(s)=1/s 3.5 jw jw 3 Amplitud Neutralmente estable Inestable 2.5 2 G(s)=1/s2 s s 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Tiempo (seg)

19. 19 Estabilidad Neutra – Ejemplo 2 Respuesta al impulso unitario 8 G(s)=10/(s2+4) 6 Neutralmente estable 4 jw jw 2 Amplitud 0 -2 s s -4 T(s)=1/(s2+4)2 Inestable -6 -8 Tiempo (seg) 0 5 10 15 20 25 30 35 40

20. 20 Estabilidad Inversa – Ejemplo 3 Respuesta al impulso unitario 6 5 FT inversa s2 + 3 s + 1.61 s2 + 5 s + 6 s2 + 3 s - 1.61 s2 + 5 s + 6 s2 + 5 s + 6 s2 + 3 s - 1.61 s2 + 5 s + 6 s2 + 3 s + 1.61 4 3 I E jw jw Amplitud 2 jw jw I E 1 s FT inversa s s s 0 I E I I -1 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tiempo (seg)

21. 21 Criterio de Estabilidad de Routh De la Teoría de Polinomios se sabe que: Una condición necesaria para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que todos sus coeficientes sean del mismo signo. Esta condición no es suficiente. El criterio de Routh (E. Routh 1874) dice que: Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los signos de la primera columna del denominado “Arreglo de Routh” sean todos estrictamente positivos. El criterio de Hurwitz (A. Hurwitz 1895) dice que: Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los determinantes de las sub-matrices principales de una matriz construida con el arreglo de Routh, sean positivos. El criterio de Jury (E. Jury, 1923): Es un conocido criterio de estabilidad similar al de Routh pero para sistemas de tiempo discreto.

22. 22 Criterio de Routh Sea un sistema dinámico con FT G(s)= b(s)/a(s) con denominador mónico: a(s) = sn+ a1sn-1 + a2sn-2 +…+ an-1s + a0 Se construye un ARREGLO ordenando las dos primeras filas con coeficientes del polinomio: En donde el ARREGLO ordenando es: Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Cambios de signos? • ? Fila

23. 23 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes La tercera fila se construye a partir de determinantes Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila

24. 24 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes De igual manera, la cuarta fila se construye a partir de determinantes 0 Fila Fila Fila Fila Fila De manera similar con la quinta y sexta fila hasta que se llegue a la (n+1)-iésima fila, que lo general constará de un primer elemento no-nulo seguido de elementos ceros. Fila Fila Fila Fila El aspecto del arreglo de Routh es una matriz triangular superior.

25. 25 Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes El número de cambios de signo en la primera columna marca la cantidad de polos inestables Ejemplo: si la secuencia de signos es +++-++++, existen 2 polos inestables en el sistema dinámico Si el último elemento de la columna es cero, el sistema posee un polo en el origen Si una fila es cero y no existen cambios de signo, entonces el sistema posee un par de polos imaginarios conjugados Existen dos casos patológicos que nos impiden calcular el arreglo. Estos casos se salvan con modificaciones.

26. 26 Criterio de Routh – Caso: normal Ejemplo Existen dos raíces inestables !

27. 27 1er Caso Patológico: un elemento nulo Ejemplo: Fila s3 se reemplaza! Donde e es un número pequeño y positivo Se continúa con fila nueva (se divide por 3 a toda la fila) Coef. positivo Coef. negativo Coef. positivo Por lo tanto, existen dos polos en el semiplano derecho

28. 28 2do. Caso Patológico: una fila nula Ejemplo: Polinomio auxiliar Fila s1 es nula! No existen cambios de signo: Sistema Dinámico estable? ?

29. 29 2do. Caso Patológico: una fila nula El mismo ejemplo: Si e es positivo, no existe cambio de signo Por el contrario, si e es negativo, existen dos cambios de signo Para e=0, existe un par de polos conjugados en el eje imaginario. De la fila s2 se calcula: El sistema no es internamente estable, pero si neutralmente estable. Su respuesta temporal no se extingue y oscila en el tiempo.

30. 30 Criterio de Routh – Aplicación Ejemplo: Diseño de un Sistema de Control Proporcional Proceso Controlador Salida controlada Comando Realimentación unitaria Objetivos del Diseño: Objetivo 1: Encontrar la ganancia crítica (simbolizada por K*) para este proceso, es definir a este sistema en el límite de estabilidad, es decir, definirlo como marginalmente estable Objetivo 2: Buscar un ganancia K que otorgue al sistema controlado estabilidad y una buena performance

31. 31 Criterio de Routh – Aplicación 24 x 10 Respuesta Impulsiva de la Planta o Proceso (s+1) G(s) = 9 s (s-1) (s+6) 8 7 6 5 Posee un polo inestable y un integrador 4 El proceso Sin Control, es Inestable ! 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0

32. 32 Criterio de Routh – Diseño de un SC Función de Transferencia de la Sistema de Control: Polinomio característico del Sistema de Control se calcula de: Al aplicar el Test de Routh de estabilidad para el Lazo de Control: Resultan estricciones para la estabilidad:

33. 33 Criterio de Routh – Diseño de un SC Restricción de estabilidad: La ganancia crítica K* es: Raíces para K*=7.5: p1=-5.0000 p2=-0.0000 + 1.2247i p3=-0.0000 - 1.2247i * jw Raíces para K=13: p1=-4.0647 p2=-0.4677 + 1.7261i p3=-0.4677 - 1.7261i s Raíces para K=25: p1=-1.9084 p2=-1.5458 + 3.2727i p3=-1.5458 - 3.2727i

34. 34 Criterio de Routh – Performance del SC Respuesta al escalón 3 K*=7.5 2.5 2 K=13 1.5 Amplitud 1 K=25 0.5 0 -0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 Tiempo (seg)

35. 35 Criterio de Routh – Diseño de un SC Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI Proceso Controlador Salida controlada Comando Realimentación unitaria

36. 36 Criterio de Routh – Diseño de un SC Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI Parámetros estabilizantes

37. 37 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros % PROGRAMA DE CÁLCULO DE LA FUNCIÓN z closeall; forKi=1:7; K1=round((Ki/3)-2); K=(Ki/3)-2; if K>K1; K1=K1+1; end for K=K1:7; T=tf([K Ki],[1 3 (2+K) Ki]); T1=tf([1],[1 0]); E=T1*(1-T); t=0:0.01:10; y=impulse(E,t); z=cumsum(abs(y)); z1=size(z); z1=z1(1); [K, Ki, z(z1)] figure (1); step(T,10); holdon (1) figure (2); impulse(E, 10); holdon (2) end end Función de costo para diseño: z = min |1(t)-y(t; K, Ki)| dt K, Ki   donde y(t) es la respuesta al escalón del sistema de control a la entrada 1(t). La integral es convergente en la zona de estabilidad de K y Ki. 0 En las siguientes transparencias se busca selectivamente un par K y Ki según el gradiente de z en el dominio paramétrico.

38. 38 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 6 5 4 3 2 1

39. 39 Step Response 1.6 1.4 1.2 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros Mínimo de z 4 3 Mínimo de z K Ki 2 1 0 3 4 3 3 7

40. 40 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 7 6 5 4 3 2 1

41. 41 Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 5 3 Mínimo de z K Ki 4 4 4 2 5 3 3 3

42. 42 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 7 6 5 4 3 2 1

43. 43 Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 5 4 Mínimo de z K Ki 5 2 6 3 5 4

44. 44 Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 6 5 4 3 2 1

45. 45 Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) Diseño de un PI optimizado Optimización en 2 parámetros 6 4 Mínimo de z K Ki 6 2 7 3 6 4 Respuesta Óptima

46. 46 Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) Diseño de un PI optimizado Comparación del SC PI y la Planta sin Control Respuesta óptima del sistema de control Respuesta del proceso

47. 47 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Planta con Control a Lazo Abierto Construyamos un control a lazo abierto y comparemos la performance de ambos sistemas de control. Para ello modifiquemos el proceso incorporando un amplificador de valor 2 2 (s+1) (s+2) Respuesta óptima del sistema de control de lazo cerrado Respuesta del sistema de control de lazo abierto U(s) Y(s)

48. 48 Controles a Lazo Cerrado y Abierto Pensemos en un desplazamiento del polo del proceso de s=-1 a s=-0.5 Si comparamos las respuestas al escalón notamos la diferencia 2 Respuestas óptimas del sistema de control de lazo cerrado tras la variación paramétrica 1.8 Respuesta del sistema de control de lazo abierto tras la variación paramétrica 1.6 1.4 1.2 1(t) escalón unitario 1 0.8 Conclusión: 0.6 * La variación de la Función de Transferencia del proceso, no afecta en demasía al SC a LC 0.4 * Pero sí significativamente al SC a LA 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10