1 / 38

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych. Portfel dwóch akcji. W - wartość portfela W = a P 1 + b P 2 P 1 - cena akcji A , P 2 – cena akcji B a- liczba akcji A, b - liczba akcji B a P 1 - wartość akcji A w portfelu b P 2 - wartość akcji B w portfelu

dacia
Download Presentation

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

  2. Portfel dwóch akcji W - wartość portfela • W = a P1 + b P2 • P1 - cena akcji A , P2 – cena akcji B • a- liczba akcji A, b - liczba akcji B • a P1 - wartość akcji A w portfelu • b P2 - wartość akcji B w portfelu • a P1 / W – udział akcji A w portfelu, ozn. α • b P2 / W – udział akcji B w portfelu, ozn. β • α + β = 1, α, β – nieujemne

  3. Stopa zwrotu z portfela dwóch akcjiprzy braku krótkiej sprzedaży RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie.Jeżeliα, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa RP = α RA + β RB Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P1(1+ RA), P2 (1+ RB) - ceny końcowe akcji A , B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P1(1+ RA)+ b P2 (1+ RB)] – (a P1+ b P2 )= a P1RA+b P2 RB stopa zwrotu RP = (a P1RA+b P2 RB) / W = (a P1/ W) RA+ (b P2 / W) RB = α RA + β RB

  4. Stopa zwrotu z portfela trzech akcjiBrak krótkiej sprzedaży RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B RC – okresowa stopa zwrotu z akcji C Stwierdzenie.Jeżeliα, β, γ oznaczają udziały akcji odpowiednio A, B i C w portfelu (α+ β+ γ = 1, oraz α, β, γ są nieujemne), to okresowa stopa zwrotu zportfela - RPjest równa RP = α RA + β RB + γ RC Dowód przebiega analogicznie do przypadku portfela dwóch akcji

  5. Krótka sprzedaż akcji Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać biuru maklerskiemu. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

  6. Krótka sprzedaż akcji Przykład. Cena początkowa akcji – 100 zł. Wartość pożyczonych akcji - 10000 zł

  7. Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P1 + b P2 lub W = α W + β W Gdzie α + β = 1, oraz α , β >0 Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A Wartość otrzymanego portfela można zapisać analogicznie, jako W = α W + β W ale teraz β < 0, (α + β = 1)

  8. Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład. Inwestor dysponuje kwotą 20 000 zł, cena akcji firmy A wynosi 100 zł, firmy B - 50 zł. Inwestor kupuje za cała kwotę 200 akcji firmy A, dokonuje krótkiej sprzedaży 80 akcji firmy B, za uzyskane pieniądze (4000 zł) dokupuje 40 akcji firmy A. Wartość jego portfela wynosi W = 20 000 zł = 240 100 zł + (- 80)  50 zł lub inaczej W = [(240100 zł) / W]  W +{[(- 80)  50 zł] / W}  W = =1,2  W + (-0,2)  W

  9. Zysk portfela z możliwością krótkiej sprzedaży W – wartość portfela a- liczba akcji A w portfelu, b - liczba akcji B w krótkiej sprzedaży W = a P1 + ( - b) P2 = a P1 - b P2 P1( 1+ RA), P2 ( 1+ RB ), - ceny końcowe akcji A , B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [ a P1 ( 1+ RA ) - b P2 ( 1+ RB ) ] – ( a P1 - b P2 ) = = a P1 + aP1RA - b P2 - b P2 RB – a P1 + b P2 = = a P1RA –b P2 RB stopa zwrotu dla portfela RP = ( aP1RA – b P2 RB ) / W = ( a P1 / W) RA + (- bP2 / W) RB = α RA + β RB β < 0, α + β = 1, gdzie α , β – udziały w portfelu

  10. Zysk portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 1. Niech RA= 30%, RB = 10%

  11. Zysk portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 2. NiechRA= 30%, RB = -10%

  12. Zysk portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 3. NiechRA= - 30%, RB = -10%

  13. Stopa zwrotu portfelaOczekiwana stopa zwrotu portfela • RA – stopa zwrotu z akcji A • RB – stopa zwrotu z akcji B • RP – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe • RP = α RA + β RB RP jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych RA, , RB • E(RA) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A • E(RB) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B • E(RP) – oczekiwana stopa zwrotu z Portfela • E(RP) = α E(RA) + β E(RB)

  14. Wariancja, odchylenie std. portfela 2 akcji Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β• • Cov( RA , RB) Var RP – wariancja portfela Cov( RA , RB ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σP = √ Var RP σP - odchylenie standardowe portfela

  15. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela(opportunity set) Zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych : oś OX – ryzyko σP, oś OY– oczekiw. zysk E(RP), które można uzyskać zmieniając udziały poszczególnych akcji w portfelu

  16. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji

  17. Pełna korelacja dodatnia Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β•Cov( RA , RB) = = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB) Jeżeli Cor ( RA , RB) = 1, to Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Var RP = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 + 2 α β σAσB = (α σA+ β σB )2 czyli (σP)2 = (α σA+ β σB )2 , stąd σP= α σA+ β σB , o ile α, β – nieujemne Ponieważ RP = α RA + β RB, zatem portfele stanowią punkty odcinka o końcach (σA, RA) , (σB , RB)

  18. Portfel dwóch akcji, pełna korelacja dodatnia

  19. Pełna korelacja ujemna Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB) Jeżeli Cor ( RA , RB) = - 1, to Var RP = α2Var RA + β2 Var RB - 2 α β σAσB = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 - 2 α β σAσB = (α σA - β σB )2 . (σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd σP = α σA - β σB , o ile α σA≥ β σB σP = β σB - α σA , o ile α σA< β σB Jeżeli α σA= β σB to σP = 0. Można pokazać, ze portfele stanowią punkty łamanej [σA, RA] ,[0, RA σB/(σA+ σB ) + RB σA/(σA+ σB )], [σB , RB]

  20. Portfel dwóch akcji, pełna korelacja ujemna

  21. Pełna korelacja ujemnaPortfel zerowego ryzyka Jeżeli Cor ( RA , RB) = - 1, to Var RP = (σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd σP = 0, gdy α σA = β σB , czyli α σA = (1- α) σB α = σB /(σA+ σB ) zaś β = σA /(σA+ σB ) Portfel o powyższych udziałach jest portfelem zerowego ryzyka. Ma on stopę zwrotu równą E(RP) = E(RA) σB /(σA+ σB)+ E(RB) σA /(σA+ σB )

  22. Cor ( RA , RB) = 0.Portfel minimalnego ryzyka Var RP = (σP)2 = α2Var RA + β2 Var RB = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 = (1- β)2 (σA)2+ β2 (σB )2 Pochodna otrzymanego wyrażenia względem β wynosi -2 (1-β ) (σA)2 + 2 β (σB )2 zeruje się, gdy -(1-β ) (σA)2 + β (σB )2 = 0 (β - 1 ) (σA)2 + β (σB )2 = 0 Czyli dla β0 = (σA)2 /[(σA)2 + (σB )2] Jako funkcja liniowa zmiennej β zmienia znak z „–” na „+”, zatem dla β0 wariancja ma wartość minimalną.

  23. Cor ( RA , RB) = 0.Portfel minimalnego ryzyka Minimalna wariancja wynosi (1- β0)2 (σA)2+ (β0)2 (σB )2 czyli [σB2/(σA2+ σB2)]2σA2 + [σA2/(σA2+ σB2)]2σB2 = σB4σA2/(σA2+ σB2)2 + σA4σB2/(σA2+ σB2)2 = (σB4σA2 +σA4σB2 )/(σA2+ σB2)2 = σA2σB2 (σB2+σA2)/(σA2+ σB2)2 Odchyl. Std. σAσB /[(σA)2 + (σB )2]0,5 zaś stopa zwrotu odpow. temu odchyleniu to E(RP)=E(RA)σB2/(σA2+ σB2)+E(RB)σA2/(σA2+σB2)

  24. Portfel dwóch akcji, zerowa korelacja

  25. Portfel dwóch akcji, przy różnych współczynnikach korelacji

  26. Portfele dwóch akcji, różne współcz. korelacji

  27. Krótka sprzedaż akcjiStopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

  28. Portfel minimalnego ryzyka Portfel minimalnego ryzyka to portfel charakteryzujący się najmniejszą wartością ryzyka – czyli odchylenia standardowego

  29. Dwu-akcyjny portfel minimalnego ryzyka(prostokąt)

  30. Portfel 3 akcji, stopa zwrotu RA, RB , RC – stopy zwrotu z akcji A, B, C RP – stopa zwrotu z portfela • RP = α RA + β RB + γ RC gdzie α, β, γ – udziały akcji A, B, C w portfelu E(RA), E(RB), E(RC), oczekiwane stopy zwrotu z akcji oczekiwana stopa zwrotu z portfela E(RP) • E(RP) = α E(RA) + β E(RB) + γ E(RC)

  31. Portfel 3 akcji, wariancja Var RP = α2Var RA +β2 Var RB + γ 2 Var RC + 2αβ Cov(RA,RB)+ 2α γ Cov(RA,RC)+ + 2β γ Cov(RC,RB) Var RP – wariancja portfela σP = √ Var RP σP - odchylenie standardowe portfela

  32. Portfeledwóch akcji, tworzone z akcji 3 spółek

  33. Portfele dwuakcyjne (linie ciągłe) portfele 3 akcji (kol. błękitny)

  34. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji

  35. Statystyki 3 akcjiWspółczynniki korelacji

  36. Portfel 3 akcjiudziały a zbiór możliwości inwest.

  37. Portfel 3 akcji zbiór możliwości inwestycyjnych

  38. Portfel 3 akcji. Możliwość krótkiej sprzedaży(kolor różowy)

More Related