1 / 46

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych. Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży. W - wartość portfela W = a P 1 + b P 2 P 1 - cena akcji typu A , P 2 – cena akcji typu B a- liczba akcji A, b - liczba akcji B a P 1 - wartość akcji A w portfelu

jeroen
Download Presentation

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

  2. Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela • W = a P1 + b P2 • P1 - cena akcji typu A , P2 – cena akcji typu B • a- liczba akcji A, b - liczba akcji B • a P1 - wartość akcji A w portfelu • b P2 - wartość akcji B w portfelu • a P1 / W – udział akcji A w portfelu, ozn. α • b P2 / W – udział akcji B w portfelu, ozn. β • α + β = 1, α, β – nieujemne

  3. Portfel dwóch akcjibez możliwości krótkiej sprzedaży • W dalszej części rozważań portfel dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży będziemy identyfikować z parą nieujemnych liczb (α, β) sumujących się do jedynki, oznaczających udziały poszczególnych akcji • Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb (α, β) sumujących się do jedynki

  4. Stopa zwrotu z portfela dwóch akcjiprzy braku krótkiej sprzedaży RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa RP = α RA + β RB Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P1(1+ RA), P2 (1+ RB) - ceny końcowe akcji A , B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P1(1+ RA)+ b P2 (1+ RB)] – (a P1+ b P2 )= a P1RA+b P2 RB stopa zwrotu RP = (a P1RA+b P2 RB) / W = (a P1/ W) RA+ (b P2 / W) RB = αRA + β RB

  5. Stopa zwrotu z portfela trzech akcji(Brak krótkiej sprzedaży) RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B RC – okresowa stopa zwrotu z akcji C Stwierdzenie. Jeżeli α, β, γ oznaczają udziały akcji odpowiednio A, B i C w portfelu (α+ β+ γ = 1, oraz α, β, γ są nieujemne), to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa RP = α RA + β RB + γ RC Dowód przebiega analogicznie do przypadku portfela dwóch akcji

  6. Krótka sprzedaż akcji Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać pożyczkodawcy. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

  7. Krótka sprzedaż akcji Przykład. Cena początkowa akcji – 100 zł. Wartość pożyczonych akcji - 10000 zł

  8. Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P1 + b P2 lub W = α W + β W Gdzie α + β = 1, oraz α , β > 0 Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A Wartość nowego portfela nie zmieniła się, jest równa W, można ją teraz zapisać jako W = α’ W + β’ W gdzie β’ < 0, α’ > 1, (α’ + β’ = 1)

  9. Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład. Inwestor dysponuje kwotą 20 000 zł, cena akcji firmy A wynosi 100 zł, firmy B - 50 zł. Inwestor kupuje za cała kwotę 200 akcji firmy A, dokonuje krótkiej sprzedaży 80 akcji firmy B, za uzyskane pieniądze (4000 zł) dokupuje 40 akcji firmy A. Wartość jego portfela wynosi W = 20 000 zł = 240 100 zł + (- 80)  50 zł lub inaczej W = [(240100 zł) / W]  W +{[(- 80)  50 zł] / W}  W = =1,2  W + (-0,2)  W

  10. Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży W – wartość portfela a- liczba akcji A w portfelu, b - liczba akcji B w krótkiej sprzedaży W = a P1 + ( - b) P2 = a P1 - b P2 P1( 1+ RA), P2 ( 1+ RB ), - ceny końcowe akcji A , B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [ a P1 ( 1+ RA ) - b P2 ( 1+ RB ) ] – ( a P1 - b P2 ) = = a P1 + aP1RA - b P2 - b P2 RB – a P1 + b P2 = = a P1RA –b P2 RB stopa zwrotu dla portfela RP =( aP1RA – b P2 RB ) / W = ( a P1 / W) RA + (- bP2 / W) RB = α RA + β RB β < 0, α + β = 1, gdzie α , β – udziały w portfelu

  11. Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży • Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb rzeczywistych (α, β) sumujących się do jedynki

  12. Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 1. Niech RA= 30%, RB = 10% Portfel może mieć ujemną stopę zwrotu (!!! ), może mieć stopę większą od większej ze stóp RA, RB

  13. Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 2. NiechRA= 30%, RB = -10%

  14. Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 3. Niech RA= - 30%, RB = -10% Stopa portfela może być dodatnia

  15. Stopa zwrotu jako zmienna losowa Oczekiwana wartość stopy zwrotu • RA – stopa zwrotu z akcji A • RB – stopa zwrotu z akcji B • RP – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe • RP = α RA + β RB RPjest zmienną losową, będącą kombinacją liniowązmiennych losowych RA, , RB • E(RA) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A • E(RB) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B • E(RP) – oczekiwana stopa zwrotu z portfela • E(RP) = α E(RA) + β E(RB)

  16. Wariancja, odchylenie std. stopy zwrotu portfela dwóch akcji Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β• • Cov( RA , RB) Var RP – wariancja stopy zwrotu portfela Cov( RA , RB ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σP = √ Var RP σP - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

  17. Zbiór możliwości inwestycyjnych (opportunity set) DEF. Zbiorem możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży, nazywamyzbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych : oś OX – ryzyko, oś OY– oczekiwana stopa zwrotu, które można uzyskać dla wszystkich nieujemnych par {(α, β): α + β = 1, 0 α, β } (będących portfelami bez krótkiej sprzedaży)

  18. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji o zadanych parametrach bez krótkiej sprzedaży

  19. Pełna korelacja dodatnia  = 1 Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β•Cov( RA , RB) = = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB) Jeżeli Cor ( RA , RB) = 1, to Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Var RP = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 + 2 α β σAσB = (α σA+ β σB )2 czyli (σP)2 = (α σA+ β σB )2 , stąd σP= α σA+ β σB , o ile α, β – nieujemne Ponieważ RP = α RA + β RB, zatem portfele stanowią punkty odcinka o końcach (σA, RA) , (σB , RB)

  20. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji dodatniej

  21. Pełna korelacja ujemna  = - 1 Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB) Jeżeli Cor ( RA , RB) = - 1, to Var RP = α2Var RA + β2 Var RB - 2 α β σAσB = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 - 2 α β σAσB = (α σA - β σB )2 . (σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd σP = α σA - β σB , o ile α σA≥ β σB σP = β σB - α σA , o ile α σA< β σB Jeżeli α σA= β σB to σP = 0. Można pokazać, ze portfele stanowią punkty łamanej [σA, RA] ,[0, RA σB/(σA+ σB ) + RB σA/(σA+ σB )], [σB , RB]

  22. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji ujemnej

  23. Przypadki =-1, =1 z możliwością krótkiej sprzedaży

  24. Pełna korelacja ujemnaPortfel zerowego ryzyka Jeżeli  ( RA , RB) = - 1, to Var RP = (σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd σP = 0, gdy α σA = β σB , czyli α σA = (1- α) σB α = σB /(σA+ σB ) zaś β = σA /(σA+ σB ) Portfel o powyższych udziałach jest portfelem zerowego ryzyka. Ma on stopę zwrotu równą E(RP) = E(RA) σB /(σA+ σB)+ E(RB) σA /(σA+ σB )

  25. ( RA , RB) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Var RP = (σP)2 = α2Var RA + β2 Var RB = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 = (1- β)2 (σA)2+ β2 (σB )2 Pochodna otrzymanego wyrażenia względem β wynosi -2 (1-β ) (σA)2 + 2 β (σB )2 zeruje się, gdy -(1-β ) (σA)2 + β (σB )2 = 0 (β - 1 ) (σA)2 + β (σB )2 = 0 Czyli dla β0 = (σA)2 /[(σA)2 + (σB )2] Jako rosnąca funkcja liniowa zmiennej β zmienia znak z „–” na „+”, zatem dla β0 wariancja ma wartość minimalną.

  26. ( RA , RB) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Minimalna wariancja wynosi (1- β0)2 (σA)2+ (β0)2 (σB )2 czyli [σB2/(σA2+ σB2)]2σA2 + [σA2/(σA2+ σB2)]2σB2 = σB4σA2/(σA2+ σB2)2 + σA4σB2/(σA2+ σB2)2 = (σB4σA2 +σA4σB2 )/(σA2+ σB2)2 = σA2σB2 (σB2+σA2)/(σA2+ σB2)2 Odchyl. Std. σAσB /[(σA)2 + (σB )2]0,5 zaś stopa zwrotu odpow. temu odchyleniu to E(RP)=E(RA)σB2/(σA2+ σB2)+E(RB)σA2/(σA2+σB2)

  27. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji (zerowa korelacja)

  28. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy możliwości krótkiej sprzedaży akcjiStopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

  29. Przypadek -1<  <1. • TW. Niech -1<  <1. Portfel minimalnego ryzyka (przy możliwości krótkiej sprzedaży) jest osiągany dla udziału spółki B wynoszącym β0= (σA2 - σAσB )/(σA2 + σB2- 2σAσB ) • Uwaga. Jeśli krótka sprzedaż nie jest możliwa to udział spółki B w portfelu minimalnego ryzyka wynosi0, gdy β0 < 0 • β0 , gdy 0β0  1 • 1 , gdy 1 <β0

  30. Ilustracja twierdzenia. Wykresy zależności wariancji od parametru s (czyli β z poprzednich rozważań). Minimum uzyskiwane jest dla s0 (β0)Pogrubiona linia oznacza portfele bez krótkiej sprzedaży

  31. Przypadek 0β0  1(lewa strona)Przypadek β0 < 0(prawa strona)

  32. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy różnych współczynnikach korelacji, bez możliwości krótkiej sprzedaży

  33. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży, przy różnych współczynnikach korelacji

  34. Korelacja graniczna  =σA /σB • TW. Niech σA σB . Wówczas możliwe są trzy przypadki: • Jeśli -1  < σA /σB , to istnieje portfel bez krótkiej sprzedaży taki, że σP < σA (linie 4 i 5 na poprz. slajdzie) • Jeśli  = σA /σB , to dla każdego portfela P mamy σA  σP (linia 3 ) • Jeśli σA /σB<   1, to istnieje portfel z krótką sprzedażą taki, że σP < σA , ale dla każdego portfela bez krótkiej sprzedaży σA σP (linia 1 i 2)

  35. Portfel 3 akcji, stopa zwrotu RA, RB , RC – stopy zwrotu z akcji A, B, C RP – stopa zwrotu z portfela • RP= α RA + β RB + γ RC gdzie α, β, γ – udziały akcjiA, B, C w portfelu E(RA), E(RB), E(RC), oczekiwane stopy zwrotu z akcji oczekiwana stopa zwrotu z portfela E(RP) • E(RP) = α E(RA) + β E(RB) + γ E(RC)

  36. Portfel 3 akcji, wariancja Var RP = α2Var RA +β2 Var RB + γ 2 Var RC + +2αβ Cov(RA,RB)+ 2α γ Cov(RA,RC)+ + 2β γ Cov(RC,RB) Var RP – wariancja portfela σP = √ Var RP σP - odchylenie standardowe portfela

  37. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfelidwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

  38. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (losowa konstrukcja)

  39. Statystyki 3 akcjiWspółczynniki korelacji

  40. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (konstrukcja losowa i udziałowa)

  41. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji

  42. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

  43. Udziały akcji nr 2 w portfelu – oś XUdziały akcji nr 3 w portfelu – oś YTrójkąt - portfel bez krótkiej sprzedaży

  44. Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

  45. Portfele i możliwości inwestycyjneŁamanej z lewego układu odpowiada krzywa w prawym układzieTrójkątowi odpowiada zacieniona część obszaru

More Related