,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil

1. ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. • Grigore Moisil • ,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’Denis Diderot ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.Grigore Moisil ,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’Denis Diderot

2. Relatii metrice in triunghiul dreptunghic Din Istoria Matematicii

3. 2.1. Proiecţii ortogonale pe o dreaptă 2.2. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic 2.3. Elemente de trigonometrie Cap. II RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 2.5. Aplicaţii teoretice 2.4. Câteva proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice 2.6. Aplicaţii practice

4. A privit figurile geometrice dezgolite de materie A descoperit relaţii între elementele triunghiului A stabilit adevăruri geometrice prin cerecetarea figurilor geometrice Thales GEOMETRIA A ridicat geometria la rang de disciplină independentă Figuri formate din: - linii (imagini ale razelor de lumină) - cercuri (drumul descris de astre pe bolta cerească) Prima încercare de ordonare a teoremelor astfel încât să se deducă logic unele din altele “marea teoremă” – record de demonstraţii (2000, din care 8 aparţin unor profesori români) Pitagora Şcoala pitagorică

5. Teorema lui Pitagora ,,În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’

6. 1. Demonstraţia folosind teorema catetei A Δ ABC, m(∢A)=90º, AD  BC conf. T.C => AB² = BC • BD C B D AC² = BC • CD , adunând membru cu membru obţinem: AB² + AC² = BC • ( BD + DC) = BC • BC = BC² Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

7. 2. Demonstraţia pe baza triunghiurilor asemenea A ΔABC ~ ΔDBA (conf. caz UU) => 1 b c x / c = c / a => c² = ax (1) a-x x 1 C B a D ΔABC ~ΔDAC (conf. caz UU) => TFP (a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2) Adunând membru cu mebru (1) + (2) obţinem: b²+c² = a²+ax – ax Deci, a² = b² + c² c.c.t.d

8. 3. Demonstraţia pe baza de arii ale pătratelor K J Aria pătratului ABFJ = c² = 3²u.a. = 9 u.a. c L A F Aria pătratului ACLK = b² = 4²u.a. = 16 u.a. c b b B a C Aria pătratului BCDE = a² = 5² u.a. = 25 u.a. a Observăm ca: 5²= 4² + 3², deci Aria BCDE = Aria ACLK + Aria ABFJ E D În concluzie: a² = b² + c² c.c.t.d.

9. Numai dreptunghic daca este Un biet triunghi, nu e poveste, Ci-n totdeauna este adevarat: Ipotenuza la patrat Egala este, neaparat, Cu o cateta la patrat Ce adunata trebuie-ndat Cu cealalta la patrat

10. Stiati ca: Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o funie, cele 12 noduri permiteau transformarea funiei cu ajutorul unor tarusi intr-un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4,5. Se utiliza astfel reciproca Teoremei lui Pitagora

11. TEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE COMPONENTĂ A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ TEOREMA CATETEIŞI TEOREMA ÎNĂLŢIMII ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE.ACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA. Pitagora(c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a fost originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului,care punea la baza întregii realităţi obiective şi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi atribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele.Din studiul numerelor, pitagorienii au conceput numerele figurative, numereleperfecte, numerele amiabile, au definit numere pare şi impare, au studiat media aritmetică, geometrică şi armonică, au descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă numele, cunoşteaucele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal. Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora. Teorema fac parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune peste 400). Pentru mai multe detalii despre Pitagora: http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

12. NUMERE PITAGORICE

13. Lampas Poesis (candela poeziei) Ne îndeamnă să simţim poezia matematicii pentru a putea profesa poezia=frumuseţe Lampas Utilitas Nu putem împărtăţi matematica decât oprindu-ne asupra utilităţii ei, imaginându-ne ce s-ar întâmpla omenirii fără ştiinţa matematică Lampas Misteri Nu de puţine ori - matematica este misterioasă şi provocatoare Lampas Decoris (lampa frumuseţii) Predarea matematicii este posibilă numai atunci cănd pe lângă utilitate, îi vedem frumuseţea Lampas Imaginationis Această candelă răspunde la întrebarea: “Ce ar fi matematica fără imaginaţia devotaţilor ei?”

14. “Nu ce spun zeii, regii e adevăr curat, Ci doar ceea ce poate să fie demonstrat, Când scoatem adevărul, ce nu-i un simplu joc, Demagogie, mituri, nu-şi au aicea loc. Cu-aceste-nvăţăminte, ce stau ca ideal Valabil peste secoli, rămâi universal, Sporit-ai patrimoniul întregii omeniri, Asigurându-ţi nimbul supremei Nemuriri” Ion Grigore

15. I 2 Maths