VOLUMEN Y SUPERFICIE DE FIGURAS EN EL ESPACIO

1. VOLUMEN Y SUPERFICIE DE FIGURAS EN EL ESPACIO

2. Conceptos primitivos en el espacio geométrico • Ángulos diedros Se llama ángulo diedro a la abertura comprendida entre dos planos que se cortan. Los planos que forman los diedros se llaman caras. El ángulo diedro se designa por dos letras de la arista, o bien por cuatro letras: dos de la arista y una de cada cara (figura 1). Todo ángulo diedro se mide por medio de su ángulo rectilíneo, el cual está formado por las perpendiculares a la arista en un punto cualquiera de ella y situadas en cada plano del diedro (figura 2).

3. Posiciones relativas entre dos planos. • planos paralelos: Son aquellos que no tienen punto en común alguno • planos que se cortan: Son aquellos que tienen infinitos puntos comunes situados en línea recta, llamada ésta, intersección entre los planos

4. Planos perpendiculares: Son aquellos que forman un diedro recto. El ∡ BAC es el ángulo rectilíneo y, por lo tanto, PQ cuando ∡ BAC = 90 .

5. Coordenadas cartesianas en el espacio. • Para ubicar un punto en el espacio, se construye un sistema de coordenadas en tres dimensiones. Desde un origen O se trazan tres rectas perpendiculares entre sí, llamadas ejes X, YyZ. En cada uno de ellos fijamos una unidad de longitud y un sentido positivo indicado por una flecha. Para dibujar un punto P de coordenadas (a, b, c) en el espacio, ubicamos primero el punto (a, b) en el plano horizontal XY y a continuación colocamos sobre él el punto a una altura c según el eje Z

6. CLASIFICACION DE CUERPOS GEOMETRICOS

7. CLASIFICACION DE CUERPOS GEOMETRICOS

8. Hexaedro regular o cubo. • Es el poliedro que está limitado por seis cuadrados congruentes. • tiene 6 caras que son cuadrados congruentes; cualquiera de las caras sirve de base • tiene 12 aristas iguales entre sí • tiene 8 vértices • tiene 4 diagonales iguales entre sí que se cortan en un mismo punto • todos los ángulos diedros del cubo son iguales. • Diagonal del cubo: La medida de la diagonal del cubo se obtiene al multiplicar la arista por raíz de 3. • Superficie total del cubo: La superficie de cada cara del cubo es a2 por ser un cuadrado y, como el cubo consta de 6 caras, la superficie total es 6a2. • Volumen del cubo: El volumen de un cubo de arista a es igual al cubo de la arista, es decir, a3.

9. Paralelepípedo rectangular recto • Es aquel cuerpo cuya base es un cuadrado o un rectángulo y las aristas laterales son perpendiculares a la base. Diagonal: Superficie del paralelepípedo: Corresponde a la suma de las áreas de los 6 rectángulos que lo limitan. • Volumen del paralelepípedo: Es igual al producto de sus tres dimensiones

10. Prisma recto de base triangular • Es aquel cuyas bases son triángulos congruentes y sus caras laterales son paralelogramos. Superficie lateral: Es igual al producto del perímetro basal por la arista lateral. • Superficie total del prisma: La superficie total es igual a la suma del área lateral y el doble de la superficie basal. • Volumen del prisma: Es igual al producto de su área basal por la altura o arista lateral.

11. Pirámide • Es el cuerpo determinado al cortar por un plano todas las aristas de un ángulo poliédrico. • Tetraedro regular: Es la pirámide que está limitada por 4 triángulos congruentes entre sí. • Superficie total del tetraedro: Es igual al producto del cuadrado de su arista por la constante Volumen del tetraedro regular: Es igual a la doceava parte del cubo de su arista por la constante

12. Cilindro recto. • El cilindro recto es la figura engendrada por el giro de un rectángulo en torno de uno de sus lados • Superficie lateral: Se obtiene multiplicando la longitud de la base por su generatriz (altura del cilindro recto). Alat= 2r∙h • Superficie total del cilindro: Es igual a la suma del área lateral y el área de las bases. • Volumen del cilindro: Es igual al producto de su área basal por la altura.  V = r2 · h

13. Cono recto • Se puede considerar como engendrado por el giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. • Superficie del manto: Corresponde al producto del semiperímetro de la circunferencia basal por la generatriz. Alat = r · g • Superficie total: Es igual a la suma del área del manto cónico y el área basal. • Volumen: Es igual a un tercio del producto de su área basal por su altura

14. La esfera • La esfera es el sólido engendrado por la revolución completa de un círculo alrededor de su diámetro. • Superficie de la esfera: Es igual a 4 veces el área del círculo máximo. AT = 4r2 • Volumen de la esfera: Es igual a un tercio del producto del área de la esfera por el radio.

15. Ahora te toca a ti 1) El área lateral de un paralelepípedo rectangular es de 64 cm² y su área total es de 94 cm². Hallar las tres dimensiones del paralelepípedo, sabiendo que su volumen es de 60 cm³. 2) Calcular el área total y el volumen de un prisma recto de 20 cm de altura, cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm. 3)  Calcular la superficie y el volumen de una esfera de 9 cm de radio. 4) Representa en el espacio los siguientes puntos: A(3, 4, 0) B(3, 4, 1) C(3, 4, -1)

16. 6) Determinar el valor de la arista de un tetraedro regular para que su área y su volumen sean numéricamente iguales. 7) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide 3 cm y cuya generatriz mide 7 cm.  8) Calcular el área lateral y el volumen de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente. a) si se gira en torno al lado mayor. b) si se gira en torno al lado menor. 9) Calcular el área total y el volumen engendrado por la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de los catetos si éstos miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.