Wykład 24

1. Wykład 24 • Fale elektromagnetyczne • 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny 20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach Reinhard Kulessa

2. y  x • Fale elektromagnetyczne • 20.1 Równanie falowe Z kursu mechaniki powinni Państwo pamiętać równanie fali w ośrodku sprężystym. W równaniu tym v2 = / - określało prędkość rozchodzenia się zaburzenia w kierunku x. Równanie to możemy zapisać jako: Reinhard Kulessa

3. Równanie to poza tym, że jest jednorodne, posiada lewą stronę równą tej w równaniu (19.16) dla potencjałów  i A. Widzimy więc, że dla obszaru w którym nie ma ładunków i prądów równanie (19.16) jest równaniem falowym. Wyprowadźmy sobie więc równanie falowe dla fal elektromagnetycznych wprost z równania Maxwella korzystając z równań materiałowych. Załóżmy, że mamy ośrodek homogeniczny i izotropowy, oraz ze nie zawiera on ładunków. Oznacza to że , ,  =const. i  = 0. Znane nam cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać: Reinhard Kulessa

4. Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I’ i II’ operacje. Otrzymamy wtedy następujące równania. = 0 Reinhard Kulessa

5. Eleminując z tych równań wyrażenie oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/0 , otrzymujemy: (20.1) Dla drugiego przypadku eleminując wyrażenie otrzymujemy: (20.2) Przez kombinację równań Maxwella uzyskaliśmy dwa identycznej postaci równania, które możemy zapisać jako: , (20.3) Reinhard Kulessa

6. Gdzie  może przyjmować wartości H lub E. Równanie to nie jest proste, gdyż występują w nim zarówno pierwsza, jaki i druga pochodna cząstkowa po czasie. Załóżmy, że: . Po podstawieniu otrzymujemy: (20.4) . Jeśli zajdzie nierówność (/0) >> , w równaniu dominuje człon z /t i wtedy mamy równanie dyfuzyjne, a gdy (/0) << , wtedy dominuje człon z 2/t2, i otrzymujemy równanie falowe. Dla izolatorów automatycznie jest spełniony warunek dla równania falowego . Widać więc z powyższego, że równania Maxwella zawierają w sobie opis rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Reinhard Kulessa

7. L C  20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny Z równań Maxwella wiemy, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w przestrzeni ze skończoną prędkością (patrz r. (20.3) ). Po raz pierwszy praktycznie wytworzył fale elektromagnetyczne Heinrich Herz w Karlsruhe w 1888 r. Dokonał On tego przy pomocy oscylującego dipola elektrycznego. Układ drgający Herza wyglądał bardzo prosto. Był to obwód drgający z przerwą iskrową. Rezonator Herza Obwód drgający Reinhard Kulessa

8. H H H E E E Obwód taki możemy przedstawić następująco: W lewym rysunku L,C, H i E są dobrze zlokalizowane. Dobroć obwodu Q  100. W prawej części wymienione wielkości są rozmyte, a Q  1, ze względu na wypromieniowanie energii. Do drgającego dipola zawsze musi być doprowadzona energia aby podtrzymać drgania. Reinhard Kulessa

9. HF  Taki drgający pręt jest dipolem elektrycznym , (20.5) przy czym . Wzdłuż tego pręta periodycznie oscyluje ładunek elektryczny wytwarzając periodyczne pole E. Z kolei płynący prąd , (20.6) wytwarza periodyczne pole indukcji magnetycznej B. Szukamy więc pola E i B w punkcie P odległym o r od dipola. Reinhard Kulessa

10. z P  p r y  x W rozdziale piątym rozważaliśmy problem dipola stacjonarnego i podaliśmy wartość natężenia pola w układzie biegunowym. Obecnie problem należy rozważać w układzie sferycznym. Nie będziemy tutaj przeprowadzać pełnych obliczeń, gdyż nie poznaliśmy zagadnienia potencjałów opóźnionych. Podamy wyniki uzyskane przez Herza przy następujących założeniach. • l(długość dipola) << r • Zgodnie z równaniem falowym • prędkość rozchodzenia się wektorów E i B jest c. Należy więc uwzględnić, że kształty pól w punkcie P w czasie t zostały wywołane przez stan dipola w chwili (t-r/c). W układzie sferycznym wynik jest następujący: Reinhard Kulessa

11. (20.7) Musimy tu rozważyć dwa przypadki: A). Obszar bliski dipola r << =2c/. Zarówno prędkość jak i opóźnienia nie grają tu roli. Dla pola E wystąpią te człony, które poznaliśmy w rozdziale 5.7.4, czyli podkreślone na powyżej na czerwono. Reinhard Kulessa

12. Dla pola B otrzymamy zgodnie z prawem Biotta-Savarta, Ponieważ wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły zarówno do wektora r jak i l, będzie miał tylko składową B. Przypadek ten nie jest związany z rozchodząca się falą elektromagnetyczną. Przejdźmy więc do przypadku drugiego: B) r >> . Zgodnie ze wzorem (20.5) trzy człony powtarzające się we wzorze (20.7) można napisać następująco: Reinhard Kulessa

13. . W prawej części równania zastosowaliśmy związek: Ze względu na to, że /r << 1, człony w wyższej potędze będą zaniedbywalne. Dominującą rolę będzie odgrywało więc trzecie równanie. Przybliżone rozwiązanie będzie miało postać: Reinhard Kulessa

14. (20.8) (20.9) Wrócimy jeszcze do krótkiego omówienia mocy wypromieniowanej przez dipol później. Reinhard Kulessa

15. 2b x 2a B(r) V(x0+x) r I I V(x0) 20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach Rozważmy koaksialny przewód z dwóch rur, w których płyną prądy I w przeciwnych kierunkach. Skorzystajmy w tym celu ze znanego nam już rysunku Jeśli pomiędzy przewodami zakreślimy pętlę o promieniu r, to zgodnie z prawem Ampera : Reinhard Kulessa

16. Wobec tego Dla a < r < b. Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowana powierzchnię wynosi: . Wobec tego współczynnik indukcji własnej na jednostkę długości kabla wynosi: . (20.10) Równocześnie pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi: Reinhard Kulessa

17. (20.11) Mamy więc, że; (20.12) Równanie to jest słuszne dla wszystkich rodzajów podwójnych kabli. Widzimy więc, ze rozchodzą się po nich fale elektromagnetyczne . Reinhard Kulessa