Liczby pierwsze → Algorytmy szyfrujące → Elektroniczny podpis…

1. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Instytut Matematyki i Informatyki Liczby pierwsze → Algorytmy szyfrujące → Elektroniczny podpis… dr Robert Kowalczyk, dr Cezary Obczyński Płock, 28 marca 2012 r. INSTYTUT MATEMATYKI I INFORMATYKI PWSZ

2. Liczby pierwsze Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne (jedynkę i siebie samą): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,… Liczba złożona – liczba naturalna większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą: 9 – ma trzy dzielniki naturalne 1, 3, 9 15 – ma cztery dzielniki naturalne 1, 3, 5, 15 Liczba 1– nie jest ani liczbą pierwszą ani złożoną.

3. Liczby pierwsze – fakty • Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (Euklides, IV w. p.n.e.). • Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych: Liczby pierwsze – atomy, z których przy pomocy mnożenia otrzymujemy inne liczby naturalne. • Nie ma ogólnego wzoru, za pomocą którego można wyznaczyć kolejne bądź dowolnie duże liczby pierwsze: n Fermat: Fn= 22 + 1 F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 641·6700417 Euler: En = n2-n+41 E1 = 41, E2 = 43, E3 = 47,…,E40 = 1601, E41 = 41·41

4. 187 – liczba pierwsza czy złożona? Sposób 1 Szukamy dzielników liczby 187 wśród liczb: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 186 Sposób 2 Szukamy dzielników liczby 187 wśród liczb nieparzystych: 3, 5, 7, 9, 11, …, 185 Sposób 3 Szukamy dzielników liczby 187 wśród liczb nieparzystych nie większych niż 187  13.67 3, 5, 7,…,13 187 : 3 62,33 187 : 5 =37,4 187 : 7 26,71 187 : 9 20,77 187 : 11 = 17 • 187 = 11 · 17

5. Sito Eratostenesa

6. Czy warto badać liczby pierwsze? • Badanie ich własności ułatwia zrozumienie arytmetyki liczb naturalnych. • Mają zastosowanie w działaniu komputerów (chińskie twierdzenie o resztach). • Są niezwykle przydatne w kryptografii.

7. Czym jest kryptografia? Kryptologia – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem.  Kryptologia dzieli się na: • kryptografię – wiedzę o układaniu systemów szyfrujących, • kryptoanalizę – wiedzę o ich łamaniu.

8. Szyfr podstawieniowy Cezara Do zaszyfrowania: Po zaszyfrowaniu: L D D W B N P Q I R U

9. Algorytm RSA W 1977 Ronald L. Rivest, AdiShamir i Leonard Adleman, opublikowali nowy rodzaj szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich nazwisk systemem szyfrującym RSA. Główna idea polega na asymetrycznym algorytmie szyfrującym, którego zasadniczą cechą są dwa klucze: kluczpubliczny (do szyfrowania, udostępniony każdemu) i kluczprywatny (do deszyfrowania, chroniony przez właściciela). Klucze PUBLICZNY i PRYWATNY pasują wyłącznie do siebie!!! Działanie i bezpieczeństwo algorytmu RSA opiera się na trudności rozkładu dużych liczb na czynniki pierwsze.

10. Algorytm RSA – jak wyznaczyć klucze? • Znajdź dwie duże liczby pierwsze p i q. • Wyznacz wartości funkcji Eulera phi i modułu m liczb p i q: phi = phi(p·q) = (p-1)·(q-1) oraz m = p·q, (liczby p i q możesz usunąć). • Korzystając z algorytmu Euklidesa znajdź liczbę nieparzystą e zwaną wykładnikiem publicznym spełniającą warunek 1<e<m i taką, że NWD(e, phi) = 1. • Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa znajdź liczbę d zwaną wykładnikiem prywatnym spełniającą równanie d·emod phi = 1. • Klucz publiczny to para liczb (e,m). • Klucz prywatny to para liczb (d,m).

11. Algorytm RSA – szyfrowanie wiadomości • Wiadomość do zaszyfrowania, np. wyraz: I N F O R M A T Y K A zamień na liczby: t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 spełniające warunek 0<ti<m. • Nadawca szyfruje liczbę ti= t otrzymując liczbę s za pomocą reguły: s = temod m. • Odbiorca deszyfruje liczbę s i otrzymuje liczbę t za pomocą reguły: t = sdmod m.

12. Algorytm RSA – przykład • Bierzemy dwie liczby pierwsze: p = 7 i q = 11. • Obliczamy wartość funkcji Eulera phi liczb 7 i 11: phi = (7-1)·(11-1) = 60. • Obliczamy moduł m liczb 7 i 11: m = 7·11 = 77. • Wyznaczamy wykładnik publiczny e, który ma być liczbą nieparzystą spełniającą warunek 1<e<77 i względnie pierwszą z liczbą phi = 60. Bierzemy, np. e = 13. • Wyznaczamy wykładnik prywatny d, który ma spełniać równanie: d·13 mod 60 = 1. Równanie to spełnia, np. liczba d = 37. Klucz publiczny to para liczb (13,77) Klucz prywatny to para liczb (37,77)

13. Algorytm RSA – przykład I N F O R M A T Y K A -> 28 33 25 34 37 32 20 39 44 30 20 t = 28, e = 13, m = 77 2813mod 77 = 6502111422497947648 mod 77 = 7 s = 7, d = 37, m = 77 737mod 77 = 18562115921017574302453163671207 mod 77 = 28 I N F O R M A T Y K A -> 28 33 25 34 37 32 20 39 44 30 20 -> 7 33 60 34 9 32 69 18 44 72 69

14. Szyfrowanie wiadomości w praktyce NADAWCA ODBIORCA

15. Podpis cyfrowy (elektroniczny) Podpis cyfrowy (elektroniczny) – sposób potwierdzania autentyczności cyfrowego dokumentu (pliku) z wykorzystaniem klucza publicznego i prywatnego. Główną ideą jest tutaj odwrócenie roli kluczy: szyfrujemy kluczem prywatnym a deszyfrujemy kluczem publicznym. ODBIORCA (BANK) NADAWCA (JA)

16. Bezpieczeństwo algorytmu RSA Pierwsza udana próba złamania algorytmu RSA miała miejsce 2 grudnia 1999 roku w ramach konkursu The RSA Factoring Challenge. Dotychczas największym kluczem RSA, jaki rozłożono na czynniki pierwsze, jest klucz 768-bitowy (liczba o 232 cyfrach w systemie dziesiętnym). Liczby pierwsze zostały znalezione 12 grudnia 2009, a informację o przeprowadzonej faktoryzacji opublikowano 7 stycznia 2010 roku.

17. Liczby pierwsze a 1 000 000 $ Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych (hipoteza Goldbacha, 1742): W marcu 2000 roku firmy wydawnicze Faber and Faber oraz BloomsburyPublishing ogłosiły, że wypłacą milion dolarów nagrody temu, kto udowodni (lub obali) do 15 marca 2002 hipotezę Goldbacha (nagrody nikt do nie odebrał ). Dzięki wykorzystaniu możliwości obliczeniowych komputera hipotezę Goldbacha potwierdzono dla wszystkich liczb parzystych mniejszych od 4·1014.

18. Dziękuję za uwagę 