Wstęp do informatyki kwantowej

1. Witold Jacak Instytut Fizyki Politechnika Wrocławska Wstęp do informatyki kwantowej

2. Informacja klasyczna • Informacja klasyczna: • nośnik: makroskopowa wielkość fizyczna • dostępna jest poprzez klasyczne pomiary: • np. natężenia prądu elektrycznego, napięcia, pojemności kondensatora (typowe klasyczne nośniki informacji), ale też np. długości stołu itp. • Pomiar klasyczny jest • Nieniszczący • Powtarzalny • Nie wyróżnia obserwatora • Najmniejsza porcja informacji klasycznej jest klasyczny bit Informacja klasyczna może podlegać zaburzeniom otoczenia – ale w ramach klasycznej termodynamiki – stąd w odniesieniu do informacji klasycznej można wprowadzić pojęcie entropii Shannona. Własności entropii informatycznej ujmowane są w twierdzeniach Shannona (przepustowości kanału informacyjnego). Ewolucja informacji klasycznej (czy układu klasycznego) przebiega wg klasycznej dynamiki (klasycznej mechaniki, klasycznej elektrodynamiki, termodynamiki) Podstawową własnością klasycznej ewolucji jest determinizm (związany z trajektorią wynikającą z rozwiązania równania dynamiki Newtona) Ten determinizm stoi u podstaw klasycznej algorytmiki

3. Informacja kwantowa • Informacja kwantowa: • nośnik: mikroskopowa wielkość fizyczna • dostępna jest poprzez pomiar układu kwantowego, np. stanu pojedynczego elektronu, atomu czy fotonu • Pomiar kwantowy jest • Niszczący • Niepowtarzalny • Wyróżnia obserwatora • Najmniejsza porcja informacji kwantowej jest tzw. qubit (odpowiednik klasycznego bitu) Informacja kwantowa też podlega zaburzeniom otoczenia, ale wtedy ginie nieodwracalnie (jest to zjawisko dekoherencji – układ kwantowy „zapomina” informację – informacja wypływa do otoczenia i jest tracona) Informacja kwantowa zachowuje się w czasie wg mechaniki kwantowej, ma też inny charakter niż klasyczna - dopasowany do kwantowego opisu. Także można tutaj mówić o determinizm – trajektoria w przestrzeni Hilberta  algorytmika

4. Główne założenia opisu kwantowego 1. Funkcja falowa opisująca układ kwantowy należy do przestrzeni Hilberta Przestrzeń Hilberta – zupełna przestrzeń metryczna z metryką zadaną przez iloczyn skalarny H jest zupełna wg. normy

5. Główne założenia opisu kwantowego 2. Stan układu kwantowego podlega ewolucji zgodnie z równaniem Schrodingera 3. Żeby funkcja falowa należała do przestrzeni Hilberta to powinna być unormowana tylko operacje unitarne zachowują normę (w przestrzeni Hilberta zadaną przez iloczyn skalarny)

6. Główne założenia opisu kwantowego • 4. Pomiar kwantowy – rzutowanie von Neumanna • Obserwable muszą być operatorami hermitowskimi, bo tylko takie mają wartości własne rzeczywiste (możliwe do zinterpretowania) • równanie Schrodingera operator Hamiltona (z liniowości i z zachowania normy wynika, że jest hermitowski):

7. Główne założenia opisu kwantowego • Jeżeli hamiltonian H nie zależy jawnie od czasu jest unitarny gdy Dowolny operator Więc unitarny – czyli ewolucja unitarna • Jeżeli hamiltonian H zależy jawnie od czasu to też ewolucja unitarna z dokładnością do członów liniowych w dt rozpatruje się człony liniowe ponieważ chodzi o określenie różniczki jeżeli by całkować różniczki to postać operatora nie byłaby postaci eksponenty tylko T-eksponenty

8. Główne założenia opisu kwantowego • W ogólności każda rozpatrywana ewolucja zamkniętego układu kwantowego jest unitarna • zdeterminowana w przestrzeni Hilberta przez trajektorię • w przestrzeni fazowej dalej nie ma trajektorii • Na podstawie hamiltonianu można określić przeszłość i przyszłość układu – więc określić jego zachowanie, czyli zaprogramować • Taka ewolucja zaprogramowanego układu kwantowego jest realizacją pewnych założonych procedur czyli jest programem komputera kwantowego DETERMINIZM (kwantowo - trajektoria w przestrzeni Hilberta, klasycznie trajektoria wyznaczona przez równanie Newtona)

9. ewolucja unitarna dalsza ewolucja unitarna pomiar – redukcja f. falowej Główne założenia opisu kwantowego Rzutowanie von Neumana rozłożenie dowolnego stanu w danej chwili t w bazie wektorów własnych operatora A równanie własne operatora A

10. Główne założenia opisu kwantowego • Rzutowanie von Neumana • W wyniku pomiaru, przypadkowo ale z prawdopodobieństwem |ci|2 wychodzi wynik li a stan Y(r,t) zamieniany jest w odpowiednią funkcję własną Yi. Funkcja ta nie ma związku przyczynowego z mierzonym stanem. Od niej kontynuowana jest dalsza ewolucja. • Jest to: • proces nieodwracalny – ponieważ do któregokolwiek stanu końcowego można było być zrzutowanym z bardzo wielu stanów wejściowych i nie wiadomo do którego należałoby wrócić • proces niszczący – niszczona jest pełna informacja zawarta w mierzonym stanie • proces wyróżniający obserwatora

11. Główne założenia opisu kwantowego Dla operatorów hermitowskich spełnione jest tw. Spektralne • Operator Pn jest operatorem rzutu na podprzestrzeń własną odpowiadającej n-tej wartości własnej. Operator rzutowania posiada własność: • nilpotentności • hermitowskości W wyniku pomiaru następuje redukcja funkcji falowej do przestrzeni rzutowej -- tzw. kolaps von Neumanna operatora rzutu (podprzestrzeni, na którą następuje rzutowanie) jest zupełnie przypadkowy ale jest określone prawdopodobieństwo tego wyboru: a funkcja kolapsuje do W wyniku pomiaru uzyskuje się wartość

12. Główne założenia opisu kwantowego Macierze gęstości Jeśli układ A jest w stanie czystym , to można wprowadzić operator rzutowania na ten stan i nazwać go macierzą gęstości: Dla dowolnej obserwabli M w układzie A mamy wtedy: Dla Zapis stanu czystego w postaci operatora rzutu na ten stan, czyli w postaci macierzy gęstości, i w postaci funkcji falowej, są zatem w pełni ekwiwalentne (dają te same średnie dla dowolnych obserwabli).

13. Główne założenia opisu kwantowego Macierz gęstości można jednak wprowadzić ogólniej, tzn. nie tylko dla stanów czystych układu A, wtedy nie będzie ona operatorem rzutu na jakiś stan (bo układ A nie jest wtedy w określonym stanie czystym). Taką sytuację mamy gdy układ A oddziałuje z układem B i razem tworzą zamknięty układ A+B, który jako całość jest już w stanie czystym, Wspólna macierz gęstości układu A+B dla tego stanu jest równa: W przestrzeniach Hilberta układów A i B wybieramy bazy: Jeśli z macierzy gęstości dla pełnego układu A+B (będącego w stanie czystym) wziąć teraz ślad po układzie B, to otrzymamy macierz gęstości dla układu A oddziałującego z B (i przez to nie będącego w stanie czystym).

14. Główne założenia opisu kwantowego Mamy zatem dwie sytuacje odnośnie macierzy gęstości stanu A. Dla stanu czystego układu A i dla stanu układu A będącego częścią złożonego układu A+B (nie jest to stan czysty układu A) Różnica polega tu na dodatkowym indeksie r i sumowaniu po nim w przypadku stanu układu będącego częścią układu A+B. W pierwszym przypadku macierz gęstości jest operatorem rzutowania, w drugim nie. • W obu przypadkach macierz gęstości posiada jednak trzy własności: • jest operatorem hermitowskim, • jest operatorem dodatnio określonym, • ślad macierzy gęstości jest równy 1.

15. Główne założenia opisu kwantowego 5.Iloczyn tensorowy – splątanie kwantowe dwa podukłady oddziałują: dwa podukłady nie oddziałują: stany separowalne stany nieseparowalne Iloczyn tensorowy to przestrzeń par i ich liniowych kombinacji Przestrzeń będąca iloczynem tensorowym dwóch podprzestrzeni ma określony następująco iloczyn skalarny:

16. Qubit Qubit – najmniejsza porcja informacji kwantowej Dowolny stan qubitu należy do dwu-wymiarowej przestrzeni Hilberta, i może być przedstawiony jako superpozycja dwóch stanów ortonormalnych Przestrzeń Hilberta qubitu może być rozpięta np. na tzw. bazie obliczeniowej: Wtedy dowolny stan qubitu ma postać Ale można przyjąć, że a jest rzeczywiste (pominąć fazę funkcji falowej)

17. Qubit – reprezentacja geometryczna Czyli można zapisać dowolny stan qubitu jako stan z dwoma parametrami będącymi kątami Wtedy wektor n odpowiada powyższemu opisowi qubitu z jest wektorem jednostkowym sfery (Blocha). Sfera Blocha – stan |0> jest opisany wektorem [0,0,1] a stan |1> wektorem [0,0,-1]. y x

18. Stany splątane dwóch qubitów Stany splątane dwóch qubitów to stany z przestrzeni Hilberta 4-wymiarowej, która jest iloczynem dwóch przestrzeni qubitów (2-wymiarowych), takie że nie można ich separować na prosty iloczyn tensorowy stanów obu qubitów. W 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta pary qubitów można wybrać bazę złożoną z samych stanów splątanych. Standardowa baza tej przestrzeni składa się ze stanów niesplątanych: Stany te tworzą bazę ON w Bazę tę można jednak zmienić na dowolną inną bazę (przy pomocy unitarnej transformacji), w szczególności na bazę złożoną z maksymalnie splątanych stanów (tj. odpowiadających maksymalnie zmieszanemu stanowi zarówno układu A jak i B – wszystkie stany splątane odpowiadają temu samemu stanowi zmieszanemu podukładu A i B )

19. Baza Bella Wektory te nazywane są stanami Bella, a baza – bazą Bella. Łatwo zauważyć, że baza Bella ma specjalną własność – stany qubitu A wchodzą do wszystkich wektorów Bella w taki sam sposób. Oznacza to, że można uzyskać wszystkie wektory Bella z jednego z nich (np. pierwszego) manipulując tylko stanami qubitu B, a więc przy pomocy tylko lokalnych operacji na układzie B. Ta własność jest ściśle kwantowa (wynika ze splątania kwantowego – czyli w zasadzie z prostych własności algebraicznych 4-wymiarowej przestrzeni liniowej) i nie ma swojego odpowiednika klasycznego. Ten fakt nosi nazwę supergęstego kodowania.

20. Protokół super gęstego kodowania Z postaci stanów Bella wynika, że następujące operacje lokalne na qubicie B pozwalają otrzymać wszystkie stany Bella z jednego, np. Oznacza to zdwojenie możliwości kodowania informacji w stosunku do klasycznej pary bitów: 00, 01, 10, 11. W tym klasycznym przypadku, aby otrzymać wszystkie cztery stany pary bitów, należy kodować obydwa bity. Zauważmy, że podobną własność ma także baza standardowa przestrzeni , tj. baza: (także należy kodować na obu qubitach).

21. Teleportacja kwantowa Innym przykładem prostego wykorzystania splątania kwantowego jest zjawisko teleportacji kwantowej. Jeśli mamy stan cząstki A (qubitu A) w postaci: i chcemy przesłać (teleportować) ten stan na cząstkę B (qubit B), odległą od cząstki A, to możemy posłużyć się cząstką pomocniczą C (qubitem C), w taki sposób, że przygotowujemy parę cząstek CB w stanie splątanym. Najlepiej w jednym z maksymalnie splątanych stanów Bella – np. w stanie

22. Teleportacja kwantowa Można to zrobić posługując się przyrządem pomiarowym realizującym pomiar na parze cząstek (w tym przypadku CB), tak zorganizowanym, że jego operator hermitowski ma przedstawienie spektralne w postaci operatorów rzutowania na cztery stany Bella qubitów C i B. Taki pomiar – ortogonalne rzutowanie na stany Bella – prowadzi do oddziaływania cząstek (qubitów) C i B, w wyniku którego powstaje jeden ze stanów Bella. Nie wiadomo który – może powstać każdy z jednakowym prawdopodobieństwem, ale z pewnością któryś powstanie. Taki pomiar na parze nieoddziaływujących cząstek prowadzi zatem do ich splątania, czyli jest ich oddziaływaniem. Zakładając zatem, że przygotowaliśmy parę qubitów C i B w stanie cały układ ABC jest w stanie czystym

23. Teleportacja kwantowa ta równość jest oczywistym tożsamościowym związkiem wynikającym z możliwości zapisu tego samego wektora w przestrzeni liniowej (w tym przypadku ośmiowymiarowej) w rozłożeniu na inne wektory (jest to zmiana bazy) może być przedstawiony w bazie:

24. Teleportacja kwantowa Oczywiście wtedy współczynniki c1 i c2 znajdą się przy qubicie (cząstce C), ale w wielu rożnych kombinacjach. Można powiedzieć, że w tym sensie (nadmiarowo) te współczynniki są od razu przy cząstce C (chociaż wprowadziliśmy je z cząstką A) – tak samo jak przy dowolnej innej cząstce – wynika to z możliwości zmiany bazy w przestrzeniach Hilberta wielo-cząstkowych (wielo-qubitowych) układów. Jeśli uważać, że nie ma żadnego oddziaływania między cząstkami A, B, i C, ani też oddziaływania otoczenia na te trzy cząstki, to można oddalić cząstkę B (nawet znacznie) od cząstki C, pozostawiając je jednak dalej w stanie splątanym, Następnie można zbliżyć do siebie cząstki A i C i dokonać na tej parze ortogonalnego pomiaru stanów Bella, tzn. wprowadzić ich oddziaływanie za pośrednictwem tego pomiaru. W wyniku tego pomiaru zostanie wybrany (z równym prawdopodobieństwem) któryś z czterech możliwych stanów Bella pary AC, ale równocześnie, wobec powyższego przedstawienia, zostanie wtedy wybrany stan czysty cząstki B.

25. Teleportacja kwantowa Na przykład gdy po rzutowaniu na stany Bella pary AC znajdzie się ona w stanie cząstka B będzie wtedy z pewnością w stanie wystarczy wtedy lokalnie na cząstce B (odległej) wykonać zamianę stanów by otrzymać ten sam stan, jaki na początku miała cząstka A. Z góry nie wiadomo było jednak, który z wyników rzutowania na stany Bella się zrealizuje (tu założyliśmy dla przykładu, że czwarty) i dopiero po jego zrealizowaniu wiadomo co zrobić lokalnie na qubicie B (odległym), żeby otrzymać pożądany stan, taki jak wyjściowy na qubicie A. Tę informację, który ze stanów Bella zrealizował się w pomiarze (zupełnie losowo – zgodnie z ansatzem von Neumanna), należy przesłać do obserwatora przy qubicie B (Bob), za pomocą klasycznych kanałów łączności (informacje te wyśle obserwator qubitu A, który dokonał pomiaru stanów Bella na parze AC - Alice).

26. Teleportacja kwantowa • Fakt konieczności przesłania dodatkowej informacji klasycznej powoduje • ograniczenie prędkości teleportacji kwantowej przez prędkość światła (w kanale klasycznym), chociaż kwantowa informacja znalazła się na cząstce B natychmiastowo, ale w nieczytelny dla Boba sposób, • układ z informacją klasyczną oznacza co innego, niż układ bez tej informacji klasycznej, • konieczność uczestnictwa obserwatora (Boba) i obserwatora (Alice) w całym procesie teleportacji. • Pomiar dokonany przez Alice na parze AC powoduje splątanie cząstek A i C, ale równocześnie rozplątanie cząstek C i B – po tym pomiarze cząstka B jest już w stanie czystym. Natomiast cząstka A jest wtedy w stanie splątanym z C (i para AC nie ma już żadnej informacji o współczynnikach i – ta informacja jest już w całości na B – jest to wynik rzutowania von Neumanna). Jest tu spełniona zasada no-cloning– stan czysty znika z cząstki A i pojawia się na cząstce C, nie ma wiec kopiowania stanu kwantowego, ale jego przesyłanie (teleportacja).

27. A (Alice) informacja klasyczna 1 stany Bella B (Bob) 2 3 źródło EPR splątane stany operacje lokalne Teleportacja kwantowa Schematyczne przedstawienie procesu teleportacji kwantowej: do cząstki 2, splątanej kwantowo z cząstką 3, doplątuje się, przez pomiar na parze 1-2, cząstkę 1, wtedy cząstka 3 odplątuje się, a stan z cząstki 1 może być przeniesiony na cząstkę 3, pod warunkiem wykonania odpowiedniego pomiaru na tej cząstce (skorelowanego z wcześniej nie znanym wynikiem pomiaru na parze 1-2).

28. Twierdzenia No- • Twierdzenia No-cloning • Nieznany stan kwantowy nie może zostać skopiowany • Twierdzenie No-broadcasting • Nieznany stan kwantowy nie może zostać rozgłoszony (konsekwencja tw. No-cloning) • Twierdzenie No-deleting • Nieznany stan kwantowy nie może zostać usunięty (względem swojej kopii – odwrócone tw. No-cloning)

29. Twierdzenie No-cloning Nieznany stan kwantowy nie może być skopiowany [Wootters W. K., Żurek W. H., Nature 299 802-803 (1982)]. Należy tutaj wyjaśnić, co oznacza „nieznany stan kwantowy”. Rozważmy pojedynczy qubit. Jest to stan rozpięty na bazie dwu-wektorowej. W ogólnym przypadku baza ta jest dowolna, ale jej wektory uważane są za stany „znane”, natomiast qubit z dowolnymi współczynnikami występującymi w kombinacji liniowej wektorów bazowych wybranej bazy nazywany jest stanem „nieznanym”. Nieznany stan odpowiada nieznanym wartościom współczynników definiujących qubit – w przypadku gdy wartości te wynoszą (0,1) lub (1,0) to stan qubitu odpowiada stanom bazy i uważany jest za „znany”. To twierdzenie można łatwo udowodnić. Wystarczy zauważyć, że gdyby twierdzenie No-cloning nie było prawdziwe to istniałaby możliwość pomiaru niekomutujących wielkości na kopiach stanu, a to przeczyłoby schematowi von Neumanna kwantowego kolapsu na skutek pomiaru.

30. Twierdzenie No-cloning – dowód 1 Załóżmy nie wprost, że istnieje operator kopiowania A, zdefiniowany następująco Okazuje się, że ten operator jest nieliniowy i tym samym narusza warunek liniowości nakładany przez zasadę superpozycji. W konsekwencji taki operator nie może istnieć w ramach liniowej mechaniki kwantowej. Jeżeli jednak założyć jego liniowość, to co stoi w sprzeczności z poprzednim równaniem. Oba równania można ze sobą uzgodnić tylko w przypadku gdy b = 0, a = 1, lub a = 0, b = 1, co oznacza, że kopiowany jest stan znany (wektor z bazy). To kończy dowód.

31. Twierdzenie No-cloning – dowód 2 Załóżmy nie wprost, że kopiowanie jest możliwe. Jako wejście można rozważyć nieznany stan |y>, jako wyjście ten sam stan, który zastąpi wcześniejszy stan czysty aparatury kopiującej. Więc początkowy stan aparatury kopiującej oraz kopiowanego stanu można zapisać w następującej formie: Załóżmy dodatkowo, że proces kopiowania jest pewną operacją unitarną aparatury kopiującej, czyli Można rozważyć kopiowanie dwóch stanów czystych

32. Twierdzenie No-cloning – dowód 2 Można rozważyć iloczyn skalarny obu wcześniejszych równań Stąd stany albo są identyczne albo prostopadłe. Zatem operacja U nie dopuszcza kopiowania dowolnych nieznanych stanów. To kończy dowód.

33. Twierdzenie No-cloning – konsekwencje • Konsekwencje dla QIP (kwantowego przetwarzania informacji) • brak możliwości tworzenia kopii kwantowych rejestrów • bezużyteczność klasycznych metod korekcji błędów (bazujących na zwielokrotnieniu kopii informacji) • umożliwienie całkowicie bezpiecznej komunikacji kwantowej (bezpieczeństwo przed atakami hakerów) • umożliwienie natychmiastowej identyfikacji dowolnej formy ataków hakerskich • potwierdzenie zasady nieoznaczoności • potwierdzenie destruktywnego charakteru pomiaru kwantowego • w przypadku gdyby możliwe było kopiowanie wtedy dopuszczalna byłaby natychmiastowa komunikacja (co naruszałoby ograniczenia relatywistyczne) zgodnie z poniższym schematem: • przygotowanie pary splątanych fotonów – para EPR (związek nazwy ze znanym paradoksem Einsteina-Podolskiego-Rosena) • na jednej z cząstek dokonywany jest pomiar w wybranej bazie - załóżmy, że jest to pomiar polaryzacji • druga cząstka posiadać będzie identyczną polaryzację, na skutek splątania – zgodnie z argumentacją paradoksu EPR • następnie kopiowany jest drugi foton i dokonywany jest pomiar kopii • w ten sposób można określić, w której bazie został zmierzony pierwszy foton • czyli natychmiastowa komunikacja byłaby możliwa

34. Twierdzenie No-broadcasting • W informatyce kwantowej można także wprowadzić twierdzenie o braku możliwości rozprzestrzeniania (No-Broadcasting) informacji kwantowej, które wynika z twierdzenia Żurka No-Cloning. • Wykluczenie możliwości kopiowania informacji skutkuje silnym ograniczeniem narzuconym na kantową komunikację. • Kwantowa komunikacja musi przebiegać w trybie jeden-do-jednego, w odróżnieniu od klasycznych systemów np. trasminisji telewizyjnej, druku książek, czy kopiowania lub transmitowania dokumentów elektronicznych.

35. Twierdzenie No-deleting • Zagadnienia dotyczące usuwania (kasowania) informacji są silnie związane z bezpieczeństwem informacji. W przypadku klasycznego przetwarzania informacji mamy do czynienia z dwoma możliwymi schematami kasowania informacji. Proces kasowania odbywający się przy zachowaniu kopii (ten proces jest odwracalny). Drugi schemat to proces nieodwracalnego wymazania informacji. Taki nieodwracalny proces musi odbywać się zgodnie z prawami fizyki statystycznej – potrzebuje energii – związane z tym rozważania doprowadziły do sformułowania zasady Landauera. • W przypadku kwantowego przetwarzania informacji nieodwracalne wymazanie stanu pojedynczego qubitu może zostać wykonane np. poprzez dekoherencję spowodowaną otoczeniem. • Proces kasowania przy zachowaniu kopii – odwracalne wymazywanie jest procesem odwrotnym do procesu kopiowania nieznanego stanu – więc także nie jest możliwe. • Załóżmy, że dysponujemy pewną liczbą kopii nieznanej informacji. W przypadku klasycznym możliwe jest skasowanie jednej kopii przy zachowaniu drugiej, po czym odtworzenie informacji następuje przy wykorzystaniu pozostałej kopii. W przypadku kwantowym sytuacja jest zupełnie inna. • Są tu dwie możliwe sytuacje: • Wymazanie informacji – posiadana jest tylko jedno kopia stanu i ten stan może być zniszczony (przez pomiar, dekoherencje) w sposób nieodwracalny (informacje zostaje całkowicie utracona) • Skasowanie z zachowaniem kopii – w przypadku posiadania przynajmniej dwóch kopii tego samego stanu. Ta sytuacja nie jest jednak możliwa w kwantowym przypadku, ponieważ jest to odwrotny proces do procesu kopiowania.

36. Twierdzenie No-deleting – dowód 1 Rozważmy dwu-qubitowy układ oraz pewne otoczenie. Stany dwóch qubitów należą odpowiednio do przestrzeni H1, H2 natomiast stan otoczenia do przestrzeni H3. Czyli stan całego układu należy do przestrzeni będącej iloczynem tensorowym przestrzeni poszczególnych podukładów. Załóżmy, że oba qubity znajdują się w tym samym nieznanym stanie kwantowym |y> natomiast otoczenie znajduje się w pewnym stanie |A>. Załóżmy, że transformacja usuwająca informację względem jej kopii jest transformacją liniową L, gdzie |S> jest stanem „pustym” (dowolnie wybranym), stan |Ay> jest pomocniczym stanem otoczenia, zależnym od stanu |y>. Ogólnie, rozpatrywana transformacja zdefiniowana jest na układzie trzech niesplątanych stanów i zamienia stan |y> wobec jego kopii w stan |S>.

37. Twierdzenie No-deleting – dowód 1 Dla ortogonalnych stanów bazy qubitu mamy Należy zwrócić uwagę na to, że jawna postać transformacji dotyczy wyłącznie dwóch identycznych kopii. W przypadku, gdy stany poszczególnych qubitów są różne, transformacja pozostaje niezdefiniowana (dla dwóch różnych stanów nie możemy mówić o odwróceniu w czasie transformacji kopiowania).

38. Twierdzenie No-deleting – dowód 1 Czyli, przyjmując Jak wspomniane zostało wcześniej, rozpatrywana transformacja L nie posiada jawnej postaci dla różnych stanów, dlatego można założyć dla stanu mieszanego, że,

39. Twierdzenie No-deleting – dowód 1 Wiadomo, z postaci |y>, że nie występuje tam zależność od współczynników a i b. Aby wcześniejsze było spełnione dla dowolnych a i b stan |Ay> musi od nich liniowo zależeć. Stąd to równanie ma rozwiązanie jedynie gdy Z warunku normalizacji uzyskuje się: Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego,

40. Twierdzenie No-deleting – dowód 1 Z powyższego wynika, że aby ostatnia równość była spełniona dla dowolnych a i b, to stany A0 i A1 muszą być ortogonalne. Ortogonalność i unormowanie stanów i oznacza, że stan |Ay> = a |A0> + b|A1> zawiera tyle samo informacji co stan . Czyli informacja nie została usunięta a jedynie przesunięta, co kończy dowód.

41. Twierdzenie No-deleting – dowód 2 Rozważmy liniowy operator A, zdefiniowany następująco Dla dowolnego stanu

42. Twierdzenie No-deleting – dowód 2 Uzyskujemy równość Jeśli |f> jest niezależne od a i b, to dla dowolnych a i b, to stan |ey> musi być liniową funkcją tych parametrów. Rozwiązanie tego równania przyjmuje zatem postać:

43. Twierdzenie No-deleting – dowód 2 To prowadzi do warunku Więc jest tym samym co koniec dowodu • Konsekwencje • Bezpieczeństwo kwantowej informacji • Informacja kwantowa jest odporna na różne metody jej usuwania przy zachowaniu kopii

44. Macierze Pauliego Macierze Pauliego Własności macierzy Pauliego:

45. Bramka Pauliego X Działanie dla stanów z bazy obliczeniowej Działanie dla dowolnego stanu Bramka samoodwracalna

46. Bramka Pauliego Y Działanie dla stanów z bazy obliczeniowej Działanie dla dowolnego stanu Bramka samoodwracalna

47. Bramka Pauliego Z Działanie dla stanów z bazy obliczeniowej Działanie dla dowolnego stanu Bramka samoodwracalna

48. Macierze Pauliego Macierze Pauliego są hermitowskie Macierze Pauliego są unitarne

49. Bramka Hadamarda H Działanie dla stanów z bazy obliczeniowej Działanie dla dowolnego stanu Bramka Hadamarda jest hermitowska i unitarna

50. Bramka fazy S Działanie dla stanów z bazy obliczeniowej Działanie dla dowolnego stanu Bramka hermitowska i unitarna