Ecuaciones Diferenciales

1. Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos

2. Alumno: Javier Sánchez Sánchez • Registro: 9310362 • Grupo: B207 • Fecha: 12/02/10

3. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? • En todas las realidades cambiantes a través del tiempo, tales como la velocidad, el crecimiento de la población, el descenso de la temperatura, etc., necesitamos un lenguaje para representar la realidad en movimiento.

4. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales? • Recuerde que si y=f(x) es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto de x. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dichos procesos. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es, con frecuencia, una Ecuación Diferencial.

5. Concepto de Ecuación Diferencial • De acuerdo a lo dicho anteriormente podemos ahora considerar e, incluso, deducir una definición más exacta de este concepto. • Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes , se dice que es una ecuación diferencial (ED). Si la función desconocida depende de una sola variable, se dice que la ecuación diferencial es de tipo ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se dice que es de tipo parcial.

6. ¿A qué se le llama orden? • El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la mayor derivada contenida en ella.

7. Clasificación de orden • Para clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden se tiene que tener en cuenta si solo hay primeras derivadas o derivadas de orden superior. • De manera simbólica podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una variable dependiente por la forma general donde F es una función con valores reales de n+2 variables: .

8. ¿A qué se le llama grado? • Se llama grado de una ecuación diferencial al exponente, si es un número natural, al que está elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella. Si esta derivada está elevada a un exponente no natural no es posible definir el grado de la ecuación.

9. Clasificación por linealidad • Una ecuación diferencial de n-ésimo orden se dice que es lineal si F es lineal en . • Esto significa que una EDO es lineal cuando: • Las dos propiedades características de una EDO son: • La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada término que contiene y es igual a 1 • Los coeficientes de a dependen a lo mas de la variable independiente x.

10. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal. Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas no se pueden presentar en una ecuación lineal. Por tanto: es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden ya que contiene una función no lineal de y (sen y).

11. Solución de una ED • Cualquier función ɸ, definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. para toda x en I

12. No podemos pensar en la solución de una ecuación diferencial ordinaria sin simultáneamente pensar en un intervalo. El intervalo I en la definición de la solución también se conoce con otros nombres como son intervalos de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a,b), un intervalo cerrado [a,b], un intervalo infinito, etc.

13. Soluciones explícitas e implícitas • Una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solución explícita. • Se dice que una relación G(x,y)=0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función ɸ que satisface la relación así como la ecuación diferencial en I.

14. Familias de soluciones • Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x,y,c)=0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica. • Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n, , Buscamos una familia de soluciones n-paramétrica

15. Esto significa que una sola ecuación diferencial puede tener un número infinito de soluciones correspondiendo a un número ilimitado de elecciones de los parámetros. • Una solución que está libre de la elección de parámetros se llama solución particular. • Si toda solución de una EDO de n-ésimo orden en un intervalo I se puede obtener a partir de una familia n-parámetros eligiendo apropiadamente los parámetros entonces diremos que la familia es la solución general de la ED. A nivel práctico, la designación de solución general se aplica sólo a las EDO lineales.

16. Interpretación geométrica • Para entender lo que es una ecuación diferencial, debemos fijarnos en la ecuación misma, no en sus soluciones. Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede decirnos concretamente cómo se comportan sus soluciones haciendo una interpretación geométrica.

17. Comenzaremos con un simple concepto de cálculo: Una derivada dy/dx de una función derivable y=y(x) da las pendientes de las rectas tangentes en puntos de su grafica. • Pendiente: Debido a que una solución y=y(x) de una ecuación diferencial de primer orden es necesariamente una función derivable en su intervalo I de definición, debe también ser continua en I. Por tanto la curva solución correspondiente en I no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto. La función f en la forma normal se llama función pendiente

18. El valor f(x,y) que la función f le asigna al punto representa la pendiente de una recta o que la visualizaremos como un segmento de recta llamado elemento lineal. En el ejemplo de la derecha el grafico rojo es el elemento lineal tangente en un punto a la curva solución (gráfico azul).

19. Campo direccional • Si evaluamos sistemáticamente a f en una malla rectangular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto de la malla con pendiente f(x,y), entonces el conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional.

20. Visualmente la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada, y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano en las que una solución presenta un comportamiento poco común. Una sola curva solución que pasa por un campo direccional debe seguir el patrón de flujo del campo.

21. Crecimiento/Decrecimiento: Si dy/dx > 0 (o dy/dx < 0) para toda x en un intervalo I, entonces una función derivable y=y(x) es creciente (o decreciente) en I. • Trayectorias ortogonales: Cuando todas las curvas de una familia G(x,y,c1)=0 intersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia H(x,y,c2)=0, se dice que las familias son trayectorias ortogonales entre sí.

22. Bibliografía • Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, novena edición, Dennis G. Zill, Cengagelearning. • ¿Qué es una ecuación diferencial?. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap1-geo/node3.html • Ecuaciones Diferenciales, cuarta edición, Isabel Carmona Jover, Pearson • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Otto Plaat, Editorial RevertéS.A.