190 likes | 639 Views
DISTRIBUSI TEORITIS. Dosen : Lies Rosaria., ST., MSi. VARIABEL RANDOM. Dalam banyak eksperimen , kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut . Untuk tujuan ini , diperkenalkan variabel acak .
E N D
DISTRIBUSI TEORITIS Dosen : Lies Rosaria., ST., MSi
VARIABEL RANDOM Dalambanyakeksperimen, kitainginmemadankannilainumerikpadasetiapkeluaran yang mungkinuntukmemungkinkananalisamatematisdarieksperimentersebut. Untuktujuanini, diperkenalkanvariabelacak. Definisi. Suatuvariabelacakadalahfungsidariruangsampeldarisuatueksperimenkehimpunanbilangan real. Yaitu, variabelacakmemadankansuatubilangan real tertentupadasetiapkeluaran yang mungkin. Catatan. • Variabelacakadalahfungsi, bukanvariabel. • Variabelacaktidakdilakukansecaraacak, tetapimemetakanhasileksperimen yang acakkebilangan real secaraterdefinisidenganbaik. Variabelacakdikelompokkanmenjadidua, yaitu : • Variabelacakdiskrit, adalahv.a. yang nilainumeriknyaberupahasilhitungan. • Variabelacakkontinu, adalahv.a. yang nilainumeriknyaberupahasilpengukuran.
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK KONTINU Distribusiprobabilitasvariabelacakkontinudinyatakandenganfungsi f(x) yang disebutsebagaifungsikepadatan (density). Syarat yang harusdipenuhi : • ≥ 0 • = 1 FUNGSI PROBABILITAS BERSAMA FungsiProbabilitasBersamaadalahfungsidistribusiprobabilitas yang melibatkanlebihdarisatuvariabelacak. Misalnyauntukvariabelacakdiskrit X dan Y makafungsiprobabilitasbersamanyaadalah : P(X=x,Y=y) = p(x,y)
Contoh 01: Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3 X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul. X = 1, berarti sisi G muncul satu kali. X = 2, berarti sisi G muncul dua kali. X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali. X disebut variabel acak (random) Distribusi Probabilitas Teoritis Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
Contoh 02 : Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4
Dari contoh 02 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
DistribusiVariabel Random Diskrit • Proses Bernoulli • DistribusiBinomial • DistribusiGeometrik • DistribusiHipergeometrik • Proses & Distribusi Poisson • PendekatanuntukDistribusi Binomial
Proses Bernoulli Beberapadistribusi yang dilandasioleh proses Bernoulli adalah : • Distribusi binomial, • Distribusigeometrik, dan • Distribusihipergeometrik. (termasukkategoritersebutadalahdistribusi multinomial dannegatif binomial).
Distribusi Binomial Sebuahvariabel random, X, menyatakanjumlahsuksesdarinpercobaan Bernoulli denganpadalahprobabilitassuksesuntuksetiappercobaan, dikatakanmengikutidistribusi (diskrit) probabilitas binomialdengan parameter n (jumlahsukses) danp (probabilitassukses). Selanjutnya, variabel random X disebutvariabel random binomial. • Rumus binomial suatu peristiwa: Dimana: x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal • Rumus binomial kumulatif: = P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)+ ... + P(X = n)
Contoh 03: Seorang siswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda. Setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam setiap pernyataan mahasiswa menjawab dengan berspekulasi, maka: P(B) = 1/5 dan P(S) = 1 – P(B) = 4/5 Apabila ia menjawab 1 soal yang salah, misalkan susunan jawabannya seperti berikut: B B S B B B P(B B S B B B) = . .. . . = Untuk kasus diatas, dengan n = 6 dan x = 5 maka: = = = = 6 susunan, yakni: BBBBBS, BBBSB, BBBSBB, BBSBBB, BSBBBB, SBBBBB Sehingga probabilitas pertanyaan benar (P(5)) dapat dihitung dengan kombinasi susunan dikalikan dengan probabilitas salah satu susunannya: P(5) = = 0,00154
DistribusiHipergeometrik • Distribusi teoritis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial • Perbedaannya dengan distribusi binomial adalah dari cara pengambilan sampel. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik tidak dengan pengembalian. Rumus umum: P(X=x) = h(x;N,n,k) = Dimana: N = ukuran populasi n = ukuran sampel K banyaknya unsur yang sama dalam populasi X = banyaknya peristiwa yang sukses
Contoh 04: Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah? Penyelesaian: N = 50; n = 4; k = 5; x = 2 = = 10 ; = = 990 ; = = 230300 Maka: P(X=2) = = = 0,4289270 Distribusi hipergeometrik dapat diperluas, seperti berikut ini. Jika dari populasi berukuran N terdapat unsur-unsur yang sama, yaitu k1, k2, k3, ... Dan sampel berukuran n terdapat unsur-unsur yang sama pula x1, x2, x3,... Dengan k1 + k2 + k3 + ... =N dan x1 + x2 + x3 + ... = n, maka distribusi hipergeometrik dapat dirumuskan: P(X=x1, x2, ...) =
Contoh 05: Dari penelitiangolongandarahmahasiswapadasuatuuniversitas, diketahui 10 mahasiswa: 2 bergolongandarah A, 5 bergolongandarah B dan 3 bergolongandarah O. apabiladiambilsampel 6 mahasiswa, probabilitasterambil 2 A, 2 B, dan 2 O? Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada dala, diketahui dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 bergolongan darah B dan 3 bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapakah yang memiliki golongan darah O? Penyelesaian: N = 10; k1 = 2; k2 = 5 k3 = 3; n = 5 terdiri dari x1 = 2; x2 = 2; x3= 2 Maka: P(X=1,2,2) = = = = 0,24 0.285 C106 210
DistribusiProbabilitas Poisson Distribusiprobabilitas Poisson bermanfaatdalampenentuanprobabilitasdarisejumlahkemunculanpadarentangwaktuatauluas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitungkemunculanpada interval waktuyang kontinyu. Fungsidistribusiprobabilitas Poisson : P(x) = ; untuk x = 1, 2, 3, ... dimanaadalah rata-rata distribusi (yang jugamerupakanvariansi) dan eadalahbilanganlogaritmik natural (e=2,71828). Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson dirumuskan: P(x) = ; untuk x = 1, 2, 3, ... dimanaadalahtingkat kedatanga per satuan waktu, t adalah banyaknya satuan waktudanx banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu
Contoh 06: Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 w setiap hari adalah 5 buah jika permintaan lampu mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan 3 lampu TL dan 1 lampu TL? Penyelesaian: • = 5; e-5 = 0,00674 P(X = 3) = = = 0,1348 P(X = 1) = = = 0,8088 125 5
Contoh 07: Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halama pada majalah tersebut. Seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka, maka berapakah probabilitas tidak terjadi salah cetak dan 4 kata yang salah cetak? Penyelesaian: N =80; p = = n . P = 80 . = 0,67 P(X = 0) = = = 0,512 P(X = 4) = = 0,004