7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 1

1. 7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 1 7.1 Introdução 7.2 Fórmulas de Newton-Cotes 7.2.1 Regra dos Trapézios 7.2.2 Regra dos Trapézios Repetida 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson Repetida 7.2.4 Regra 3/8 de Simpson (Selma Arenales) 7.2.5 Teorema Geral do Erro

2. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.1 INTRODUÇÃO • Se é uma função contínua em , então existe a função primitiva , tal que • Problema 1: Na maioria das vezes pode não ser fácil expressar através das funções ditas elementares. • Problema 2: Em alguns casos temos apenas uma tabela de . Como calcular ? Nestes casos calculamos numericamente!!!

3. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.1 INTRODUÇÃO • Idéia básica. Para calcular numericamente vamos expressar como um polinômio no inter-valo . Deduziremos expressões que têm a forma onde Quando escrevemos uma integral na forma (1), estamos implementando o formalismo de Newton-Cotes.

4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES • No procedimento de Newton-Cotes o polinômio aproxima em pontos de , igualmente espaçados. Se os subintervalos têm comprimento , então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes para integração têm a forma

5. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES Comentário 1: Os coeficientes das formas fechadas de Newton-Cotes são determinados de acordo como grau do polinômio aproximador de . Comentário 2: As formas abertas de Newton-Cotes, construídas de forma análoga às fechadas, diferem pelo fato que

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Utilizando a Forma de Lagrange para expressar , que interpola em obtemos:

7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Note que é a área do trapézio de altura e de base .

8. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Ao substituir a área sob a curva pela área do trapézio estamos realizando uma aproxima- ção e cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado por

9. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Quando o intervalo é grande, devemos fazer várias subdivisões e aplicar a regra do trapézio repetidas vezes. Sendo

10. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA O erro cometido em aplicar vezes a regra do trapézio é Graficamente

11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Exemplo1: Considere a integral • Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra do trapézio repetida. Estime o erro cometido. • Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a .

12. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra do trapézio repetida, Estimativa do erro:

13. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. b) Para obter erro de temos que Como subintervalos.

14. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expres- sar , que interpola nos pontos , segue que

15. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON ou ainda Regra 1/3 de Simpson

16. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON De modo análogo à Regra do Trapézio, na Re- gra 1/3 de Simpson estamos realizando uma aproximação e cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado por Note o ganho no erro ao passar da aproximação linear para a quadrática

17. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Novamente, quando o intervalo é grande, a solução é fazer várias subdivisões e aplicar a regra 1/3 de Simpson repetidas vezes. Sendo aplicando Simpson 1/3 em um subintervalo:

18. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos onde Agora temos m/2 subintervalos

19. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Exemplo1: Considere a integral • Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra 1/3 de Simpson repetida. Estime o erro cometido. • Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro .

20. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra do trapézio repetida, Estimativa do erro:

21. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. b) Para obter um erro inferior a Como subintervalos. Note a convergência rápida da regra 1/3 de Simpson

22. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO • A convergência da regra 1/3 de Simpson é mais rápida do que a convergência da regra do Trapézio. • As demais fórmulas fechadas de integração de Newton-Cotes trabalham com polinômios de graus n=3, n=4,... • Para um n qualquer, a fórmula de Newton –Cotes é apresentada no próximo slide.

23. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO Fórmula de Newton-Cotes para n qualquer

24. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expressar , que interpola nos pontos: segue que

25. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Integrando Regra 3/8 de Simpson

26. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos Enfim, o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é Neste caso temos m/3 subintervalos

27. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.2.5. TEOREMA GERAL DO ERRO “O erro na integração numérica, utilizando fórmu- las de Newton-Cotes, é caso 1: Caso 2: