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Realimentação de estados Estimadores de estados (C. T. Chen, Capítulo 8). Sistemas Lineares. Introdução.
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Realimentação de estadosEstimadores de estados(C. T. Chen, Capítulo 8) Sistemas Lineares
Introdução • Controlabilidade e observabilidade foram usadas nos dois capítulos precedentes para estudar a estrutura interna dos sistemas (descrição no espaço de estados) e estabelecer as relações entre as descrições interna e externa (função de transferência). • Agora discutem-se suas implicações no projeto de sistemas de controle realimentados (feedback control systems). • Os sistemas de controle podem ser formulados como na Figura a seguir, onde: • Planta e sinal de referência r(t) são dados • A entrada da planta u(t) é chamada sinal de atuação ou sinal de controle • O sinal y(t) é chamado saída da planta ou sinal controlado
Introdução Planta r u y
Introdução • Objetivo: projetar um sistema completo tal que a saída da planta siga o sinal de referência r(t) com o menor erro possível • Há dois tipos de controle: • Malha aberta – o sinal de atuação u(t) depende somente da referência r(t), sendo independente da saída da planta • Malha fechada ou controle por realimentação – o sinal de atuação depende do sinal de referência e da saída da planta • Na prática, usa-se quase que exclusivamente o controle a malha fechada ou controle realimentado • Este capítulo estuda projetos usando equações de estados. Projetos usando frações coprimas serão abordados no próximo capítulo • São estudados sistemas lineares invariantes no tempo
Realimentação de Estados Considere-se a equação de estados mono variável -dimensional Onde assumiu-se para simplificar a discussão. Em realimentação de estados, a entrada é dada por como mostrado na Figura 8.2. Cada ganho de realimentação é uma constante real. Esta realimentação é chamada realimentação de estados negativa com ganho constante. Substituindo (8.2) em (8.1) chega-se a
Teorema 8.1 O par , para qualquer vetor real constante , é controlável se, e somente se, é controlável. Prova: Nós mostramos o teorema para . Defina-se e , que são as matrizes de controlabilidade de (8.1) e (8.3).
O que pode ser obtido via realimentação de estados? Vejamos um exemplo:
O exemplo mostrou que realimentação de estados pode ser usada para colocar os autovalores em qualquer posição. Mais ainda, os ganhos de realimentação são diretamente obtidos. (8.6) (8.7) (8.8)
Regulação e seguimento Regulação: Considere a Figura 8.2, com o sinal de referência igual a zero, e com uma condição inicial não nula. Deseja-se encontrar um ganho para a realimentação de estados tal que a resposta retorne a zero a uma taxa dada. Tal problema é chamado o problema do regulador. Seguimento: Um problema relacionado a este é o problema de seguimento (ou rastreamento). Suponha a referência constante, ou seja, para todo . O problema aqui é projetar um sistema completo como o da Figura 8.2 tal que o erro tende a zero quando , ou seja quando . Este é o que se chama seguimento assintótico de uma referência em degrau. Detalhe: normalmente, a referência em degrau é ajustada através de um potenciômetro. Daí, o problema de seguimento é frequentemente chamado problema de set-point. Note-se que o problema de seguimento se reduz ao problema do regulador quando . Seguir uma entrada de referência r(t) não constante é denominado problema de servomecanismo.
O problema do regulador é facilmente resolvido via realimentação de estados: a realimentação de estados é usada para fazer estável, com todos os autovalores dentro do setor representado na Figura 8.3. A resposta, para a condição inicial , será, com realimentação de estados com ganho ,
Para seguimento de referência em degrau, é preciso um ganho feedforwardp, tal que . Daí:
Em resumo: Dada a realização : • se é controlável, pode-se introduzir realimentação de estados e alocar os autovalores de em qualquer posição desejada, e o sistema resultante cumprirá a regulação; • se é controlável e não tem nenhum zero na origem (em ), após realimentação de estados é possível introduzir um ganho feedforward, e o sistema resultante é capaz de seguir qualquer referência em degrau, resolvendo-se assim o problema de seguimento de referência em degrau.
Seguimento robusto e rejeição de perturbação (Problema: seguir e rejeitar )
Sistema aumentado Seja , a saída do integrador, uma variável de estado a mais. Então o sistema tem o vetor de estados aumentado . Da figura no slide anterior, tem-se que
A existência de um zero na origem cancelaria o polo na origem correspondente ao integrador, resultando em um sistema não controlável.
Estimação de Estados • Nas seções precedentes assumiu-se que todos os estados estavam disponíveis para fazermos a realimentação de estados. Entretanto, isto pode não ocorrer na prática, ou porque os estados não são acessíveis ou porque não há sensores para medi-los. • Nesse caso, para poder usar realimentação de estados nós temos que projetar um dispositivo chamado estimador de estados ou observador de estados. A saída de tal dispositivo constitui uma estimativa dos estados.Nessa seção nós introduzimos estimadores de estados de dimensão completa, ou seja, que têm a mesma dimensão do vetor de estados.A notação usada será para representar uma estimativa de, e para representar uma estimativa de . Seja e (8.38)onde , e são dados e a entrada e a saída estão disponíveis. O problema é estimar a partir de e , conhecendo-se , e .Seja, então, (8.39)conforme mostrado na Figura 8.5. Acesso aos estados
Estimadores de estados Figura 8.5: Estimador em malha aberta. Se (8.38) e (8.39) têm o mesmo estado inicial, então para todo . Problemas em usar (8.39) • O estado inicial tem que ser estimado e setado cada vez que se usar o estimador, o que é inconveniente. Se (8.38) for observável, o estado inicial pode ser estimado, e o estimador de malha aberta pode ser usado. • Se tem autovalores com parte real positiva, qualquer erro entre o estado real e o estimado crescerá com o tempo.
Estimador (ou Observador) em malha fechada (ou Assintótico) Figura 8.6: Estimador de estados em malha fechada ou assintótico. O vetor é um vetor de ganho usado para corrigir a diferença entre e . Ao contrário do estimador em malha aberta, que só usa a entrada para estimar os estados, agora a saída também é utilizada.
Figura 8.7: Estimador de estados em malha fechada, reproduzindo a equação (8.40). Esta equação governa o comportamento do erro. Se todos os autovalores de podem ser alocados arbitrariamente, então nós podemos controlar a taxa com que tende a zero, ou seja, a taxa em que o estado estimado converge para o estado real. Ou seja, com autovalores de devidamente alocados, o estimador em malha fechada é muito melhor que o de malha aberta, pois não há necessidade de conhecer o estado inicial.
