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2. Intervallschachtelung Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel

3. Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10 Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch „gezieltes Probieren“ die Quadratwurzel zu finden. Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss. Hmm, 4²=16, die 4 ist zu groß. Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist. Die 3 ist zu klein!

4. 3 < < 4 Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben! Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen: 3²=9 < 10 < 4²= 16 also Nächster Versuch:3,3 3,3²=10,89 Ganz gut, aber immer noch zu groß! Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3,3 liegen!

5. 3 < < 3,3 3²=9 < 10 < 3,3²= 10,89 Anstatt „zwischen 3 und 3,3“ sagt man auch: „im Intervall [3; 3,3]“ d.h. bei einem Intervall gibt man die Grenzen an! Zurück zur Wurzel aus 10! 3,15²=9,9225 zu klein! Neuer Versuch?

6. 3,15 < < 3,3 Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3,15 und 3,3 liegen: „Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ]“ 3,15²=9,9225 < 10 < 3,3²= 10,89 So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen. Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen?

7. Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur! Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 2 Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2 Stellen zu bestimmen!

8. Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen! 2 1 1,5 = (1+2):2 Kannst du erklären warum? Falls nein, geh noch mal zurück! Wir beginnen mit dem Intervall [1;2] und schauen uns das ganze auf dem Zahlenstrahl an: Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte. 1,5²= 2,25 d.h. 1,5 ist zu groß! Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1,5 liegen. bzw. im Intervall [1;1,5]

9. 1 1,5 2 1,25 Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1,5] vor: Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1,5) : 2=1,25 und überprüfen durch Quadrieren: 1,25²=1,5625 Zu klein! Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,25 und 1,5 bzw. im Intervall [1,25 ; 1,5]

10. 1 1,25 1,375 1,5 2 Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. Und nochmal: Intervall [1,25 ; 1,5 ] Intervallmitte: (1,25+1,5):2 = 1,375 Quadrieren: 1,375²=1,890625 zu klein! im Intervall [1,375 ; 1,5]

11. 1 2 1 1,5 1,25 1,5 Rückblick: 2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß) 1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2 (1,25+1,5):2=1,375 (1+2):2=1,5 (1+1,5):2=1,25 1,5²=2,25 1,375²=1,890625 1,25²=1,5625 zu klein! zu groß! zu klein! 1. Intervall: [1 ; 2] 1,5 2. Intervall: [1 ; 1,5] 1,25 3. Intervall: [ 1,25 ; 1,5 ] 1,375 4. Intervall [1,375 ; 1,5]

12. Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut: Bevor du weiterklickst, versuche selbst eine geeignete Tabelle zu erstellen! Ehrlich schon selbst probiert??