Pourcentages

1. Pourcentages Bruno Delacôte Si vous utilisez win95 il faut vous procurer l’utilitaire permettant d ’afficher le symbole de l’euro : €.

2. Il faut savoir calculer le pourcentage d'une quantité... • Pour calculer 5% de 84 il suffit de traduire • %……. diviser par 100 • de 84…. Multiplier par 84 • Tu obtiens alors

3. Pour calculer 5% de 84, Il n’y a pas de priorité entre la multiplication et la division donc : Tu peux calculer ou ou

4. Calcule mentalement • 5% de 120 • 15% de 600 • 25% de 400 • 18% de 200 • 7% de 35 • 3% de 900 • …….et vérifie tes réponses. 5% de 120 = 6 15% de 600 = 90 25% de 400 = 100 18% de 200 = 36 7% de 35 = 2,45 3% de 900 = 27

5. Calculer un pourcentage …. • 15847 électeurs sur 26458 ont voté pour Fil On cherche à savoir quel est le pourcentage des voix obtenu par Fil par rapport au nombre de suffrages exprimés Dans les mêmes proportions, si 100 personnes avaient voté combien auraient voté pour Fil ?

6. Tu peux retenir la formule ou la retrouver grâce au tableau : Si 100 personnes avaient voté? Sont allés voter 100 26458 Ont voté pour Fil x 15847 Il ne reste plus qu’à résoudre 26458 x = 15847 x 100 Pour trouver un pourcentage proche de 59,9%

7. Ou encore raisonner ainsi... • 15847 électeurs sur 26458 ont voté pour Fil On cherche à savoir quel est le pourcentage des voix obtenu par Fil par rapport au nombre de suffrages exprimés. Dans les mêmes proportions, si 100 personnes avaient voté combien auraient voté pour Fil ? Soit environ 59,9 centièmes c’est à dire 59,9%

8. Calcule mentalement • 5 représentent % de 50 • 15 représentent % de 30 • 20 représentent % de de 400 • 18 représentent % de 200 • 7 représentent % de 35 • 27 représentent % de 900 • …….et vérifie tes réponses. 10 50 5 9 20 3 Un problème

9. La construction d'une maison comporte plusieurs grandes étapes (rechercher le sens de chaque terme) TROUVER LE PRIX DE CETTE MAISON A la fin de chaque tranche le maître d'ouvrage paye une fraction du prix total au constructeur selon les conventions suivantes : La signature du contrat......................... la délivrance du permis de construire... l'ouverture du chantier.......................... l'achèvement des fondations................. l'achèvement des murs.......................... la mise hors d'eau................................. la mise hors d'air.................................. l'achèvement des travaux électriques... la réception des travaux ....................... 5% du prix total 5% du prix total 5% du prix total 10% du prix total 15% du prix total 15% du prix total 20% du prix total 20% du prix total le reste soit 7200€

10. Délivrance du permis de construire Mise hors d’eau Achèvement des travaux élctriques Achèvement des fondations Mise hors d’air Ouverture du chantier Achèvement des murs Signature du contrat solde 7200 euros 5% du prix 5% du prix 15% du prix 20% du prix 5% du prix 10% du prix 15% du prix 20% du prix 95% du prix 5% du prix

11. On constate que 7200 € représentent 5% du prix total Pourcentage du prix 100 5 5x = 720000 Montant en euros x 7200 La maison coûte 144000€

12. Problèmes de mélange... La boisson "riche en fruit" contient 80% de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20% de jus de fruits. On remplit 3 cruches de 2 litres de boisson en mélangeant : 1ère cruche : 1 litre de "riche en fruit" et 1 litre de "fait des bulles" 2èm cruche : 1,5 litre de "riche en fruit" et 0,5 litre de "fait des bulles" 3ème cruche : 0,5 litre de "riche en fruit" et 1,5 litre de "fait des bulles" Calculer le pourcentage de jus de fruits contenu dans chaque cruche.

13. Problèmes de mélange... La boisson "riche en fruit" contient 80% de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20% de jus de fruits. Dans la première cruche : 1 litre de "riche en fruit" contient et 1 litre de "fait des bulles" contient 80cl de jus de fruits 1litre = 100cl 20cl de jus de fruits La cruche de 2 litres contient 100cl soit 1 litre de jus de fruits soit 50% de jus de fruits.

14. Problèmes de mélange... La boisson "riche en fruit" contient 80% de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20% de jus de fruits. Dans la deuxième cruche : 1,5 litre de "riche en fruit" contient et 0,5 litre de "fait des bulles" contient 120cl de jus de fruits 10cl de jus de fruits La cruche de 2 litres contient 130cl de jus de fruits soit 65% de jus de fruits.

15. Problèmes de mélange... La boisson "riche en fruit" contient 80% de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20% de jus de fruits. Dans la troisième cruche : 0,5 litre de "riche en fruit" contient et 1,5 litre de "fait des bulles" contient 40cl de jus de fruits 30cl de jus de fruits La cruche de 2 litres contient 70cl de jus de fruits soit 35% de jus de fruits.

16. Un deuxième problème Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3% de sucre et une autre yaourt "fait grossir " contient 15% de sucre. Calcule la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20g de "reste fine". Calcule la masse de sucre contenue dans un pot de 60g de "fait grossir". On mélange ces deux quantités de yaourt. Quelle est la masse de yaourt obtenue ? Combien de sucre contient-elle ? Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ? 0,6g 9g 60 + 20 = 80g 9 + 0,6 = 9,6g 12%

17. Problème de prix Complète les deux tableaux suivants. Vérifie que ce sont des tableaux de proportionnalité et calcule les coefficients de proportionnalité . Prix avant augmentation 48 € 758 € 19453 € 9,89 € augmentation de 20,6% 156,15 € 4007,32 € Prix avant augmentation 48 € 758 € 19453 € Prix à payer 57,89 € 914,15 € 23460,32 €

18. On peut retenir T.V.A. = 0,206 x P.H.T. P.T.T.C. = 1,206 x P.H.T Remarque, en 2001 le taux de la T.V.A. était de 20,6%. Dans le premier tableau tu trouves un prix hors taxe (P.H.T.) et la taxe. Dans le deuxième tableau tu trouves un prix hors taxe et le prix toutes taxes comprises (P.T.T.C.) Prix avant augmentation 48 € 758 € 19 453 € x 0,206 9,89 € 156,15 € 4007,32 € augmentation de 20,6% Prix avant augmentation 48 € 758 € 19 453 € x 1,206 Prix à payer après augmentation de 20,6% 57,89 € 914,15 € 23460,32 €

19. Attention DANGER ! Un article coûtait 100 € On souhaite lui appliquer une hausse de 10% puis une baisse de 10%. Quel sera son prix ? On ne calcule pas 10% de la même somme! 100 + 10% de 100 =110 € 110 - 10% de 110 = 99 € L'article coûtera 99 € Un article coûte 100 € après avoir subit une hausse de 25%. Quel était le prix avant la hausse ? Le prix avant la hausse n'est pas de 75 € !!! car 75 + 25% de 75 = 93,75 € Vérifie que 80 + 25% de 80 = 100 L'article coûtait 80 €

20. Synthèse des savoir faire sur les pourcentages. (5ème) En 6ème : savoir calculer le pourcentage d’une quantité. 12% de 458 = En 5ème : savoir retrouver un pourcentage en calculant une quatrième proportionnelle ou en utilisant un quotient. 56 représente % de 254. Savoir utiliser les techniques précédentes dans différents problèmes. • Un article coûte 950€ son prix augmente de 2,5%. Calculer son nouveau prix. • Un article coûte 325€ son prix baisse de 5%. Calculer son nouveau prix. • Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3% de sucre et une autre yaourt "fait grossir contient 15% de sucre. • Calcule la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20g de "reste fine". • Calcule la masse de sucre contenue dans un pot de 60g de "fait grossir". • On mélange ces deux quantités de yaourt. • Quelle est la masse obtenue ? • Combien de sucre contient-elle ? • Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ?

21. Pour être efficace... • Tu peux retenir les deux tableaux suivants... • Et apprendre à les utiliser...

22. Ce tableau peut t'aider à résoudre les problèmes concernant une augmentation de t% du prix. 100 t 100 + t

23. Ce tableau peut t'aider à résoudre les problèmes concernant une réduction de t% du prix. 100 t 100 - t

24. Un article coûtant 400 € subit une hausse de 31,5 €.Calculer le taux de l'augmentation. 31,5 431,5 400 t 100 100 + t Complète la première ligne à l'aide de l'énoncé.

25. Plusieurs proportions peuvent être utilisées... Pour trouver t = 7,875% 31,5 431,5 400 t 100 + t 100 400 t = 100 x 31,5 Trouve t à l'aide de la première équation et vérifie que cette valeur est aussi solution des deux autres équations. 400 (100 + t ) = 100 x 431,5 31,5 (100 + t) = 431,5t

26. Un article coûtant 786€ subit une baisse de 22,5€.Calculer le taux de la baisse. 22,5 763,5 786 t 100 100 - t Complète la première ligne à l'aide de l'énoncé.

27. Plusieurs proportions peuvent être utilisées... Pour trouver t proche de 2,86 % 22,5 763,5 786 t 100 - t 100 786 t = 100 x 22,5 Trouve t à l'aide de la première équation. (Retrouve cette valeur à l'aide des autres équations.) 786 (100 - t ) = 100 x 763,5 22,5 (100 - t) = 763,5t

28. Un article coûte 1066, 40€ T.T.C. Son prix hors taxe est de 800€. Quel est le taux de la taxe ? Attention ajouter une taxe c'est augmenter le P.H.T. de t % 800 266,40 1066,40 100 t 100 + t 800 x t = 266,40 x 100 Vérification : 33,3% de 800 = 266,40 t = 33,3 Le taux de la taxe est de 33,3 %

29. Un article coûte 979,9€ après une hausse de 2,5%. Retrouver le prix avant la hausse.. 979,9 x 100 t 100 + t 102,5 2,5 102,5x = 979,9 x 100 Vérification : 2,5 % de 956 = 23,9 956 + 23,9 = 979,9 Le prix avant la hausse était de 956€.

30. J'ai obtenu une remise de 25% sur un téléviseur que j’ai payé 3090€. Quel était le prix affiché ? x 3090 100 25 75 Vérification : 4120 - 3090 = 1030 25% de 4120 = 1030 x = 4120 €

31. Que signifie la phrase " les prix ont augmenté de 200%" 100 200 300 100 t 100 + t Les prix ont été multipliés par trois !!! Les prix ont triplés.

32. En 3ème, résumons et démontrons Si Pi désigne le prix initial, Pf le prix final (après augmentation ou baisse) et si t est le pourcentage de hausse ou de baisse on a : Pf = Pi + (la hausse) Examine le cas d ’une baisse Pf =Pi + Pi x t/100 Pf = Pi - (la baisse) Pf =Pi ( 1+ t/100) Pf =Pi - Pi x t/100 Pf = Pi ( 1- t/100) Remarque : il n'est pas nécessaire que Pi et Pf désignent des prix !

33. Pf = Pi ( 1+ t/100) Et appliquons Pf = Pi ( 1- t/100) Augmenter de t% c' est multiplier par 1+ t/100 Par exemple augmenter de 2,5% c'est multiplier par 1,025 Diminuer de t% , c'est multiplier par 1 - t/100 Par exemple diminuer de13%, c'est multiplier par 0,87 Cette méthode permet de gagner beaucoup de temps…...

34. Calcule maintenant le prix à payer dans les cas suivants : - Article coûtant 458 € , avec remise de 7 % - Article coûtant 6985 € avec remise de 18 % - Article coûtant 153 € avec remise de 5 % - Article coûtant 26 € avec augmentation de 3 % - Article coûtant 45 569 € avec augmentation de 5,8 % - Article coûtant 23,5€ avec augmentation de16,9 % 458 x (1-0,07) = 425,94 € 6985 x (1 - 0,18) = 5727,70 € 153 x (1 - 0,05) = 145,35 € 26 x (1 + 0,03 ) = 26,78 € 45 569 x (1 + 0,058 ) = 48212 € 23,5 x (1 + 0,169 ) = 27,47 €

35. Calcule maintenant le prix initial x d'un article pour lequel on a payé : 558 € ,après remise de 7 % 685 €, après remise de 18 % 1353 € , après remise de 5 % 2666 € , après augmentation de 13 % 4559 € , après augmentation de 5,8 % 123,5 € , après augmentation de 1,9 % x (1-0,07) = 558 € x = 600 € x (1 - 0,18) = 685€ x = 835,36 € x (1 - 0,05) = 1353 € x = 1424,21 € x (1 + 0,13 ) = 2666 € x = 2359,29 € x (1 + 0,058 ) = 4559 € x = 4309,07 € x (1 + 0,019 ) = 123,5 € x = 121,20 €

36. Calcule le taux de l'augmentation ou de la baisse dans les cas suivants : Autre méthode - Article coûtant 450 € , payé 414 € - Article coûtant 6985 € payé 7000 € - Article coûtant 1523 € payé 1450 € - Article coûtant 26 € payé 15 € - Article coûtant 45 569 € payé 46 700 € - Article coûtant 23,5 € payé 20 € 450 € - 414 € = 36 € 3600/450 = 8baisse de 8% 7000 € - 6985 € = 15 € 1500/6985 ~ 0,2 hausse proche de 0,2% 1523 € - 1400 € = 123 € 12300/1523 ~ 4,8 baisse proche de 4,8% 26 F - 15€ = 11€ 1100/26 ~ 42,3 baisse proche de 42,3% 46700 - 45569 € = 1131€ 113100/45569 ~ 2,5 hausse proche de 2,5% 23,5 € - 20 € = 3,5 € 350/23,5 ~14,9baisse proche de 14,9%

37. Calcule le taux de l'augmentation ou de la baisse dans les cas suivants : Autre méthode : reconnaître l'augmentation en calculant le rapport prix final / prix initial.... - Article coûtant 450 € , payé 414 € - Article coûtant 45 569 €, payé 46 700 € On reconnaît une baisse de 8%. On reconnaît une hausse proche de 2,5%.

38. Synthèse des savoir faire sur les pourcentages. En 6ème : savoir calculer le pourcentage d’une quantité. 12% de 458 = En 5ème : savoir retrouver un pourcentage en calculant une quatrième proportionnelle. 56 représente % de 254. Savoir utiliser les techniques précédentes dans différents problèmes. Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3% de sucre et une autre yaourt "fait grossir " contient 15% de sucre. Calcule la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20g de "reste fine". Calcule la masse de sucre contenue dans un pot de 60g de "fait grossir". On mélange ces deux quantités de yaourt. Quelle est la masse obtenue ? Combien de sucre contient-elle ? Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ? Un article coûte 979,9 € après une hausse de 2,5%. Retrouver le prix avant la hausse. J’ai payé un article 548,80 € après avoir obtenu une remise de 2,5%. Combien ai-je économisé ? • En 3ème : connaître et savoir utiliser les propriétés suivantes : • augmenter un nombre de n% : • c’est le multiplier par 1 + n / 100 • diminuer un nombre de n% • c’est le multiplier par 1 - n / 100