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Autres LOIS de PROBABILITES

Autres LOIS de PROBABILITES. Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@univ-lorraine.fr. I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1). Les autres LOIS de PROBABILITES. Grand nombre de lois de probabilités

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  1. Autres LOIS de PROBABILITES Professeur Pascale FRIANT-MICHEL>Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

  2. I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1) Les autres LOIS de PROBABILITES • Grand nombre de lois de probabilités • - Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiquesde formulation connue mais complexe • => seules leurs principales caractéristiques seront données II – LOI du c2(lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux) Permet, en particulier, de comparer des distributions 1. Définition Soient X1, X2, . . . Xn, n lois normales centrées réduites N (0, 1) indépendantes P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  3. II - LOI du c2 (2) • Définition (2) La loi de c2 à n degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire somme : c2n = + + . . . + Remarque : c2 à 1 degré de liberté est le carré d’une variable normale centrée réduite 2. Propriétés • a)c2 0, + ∞  • b) distribution de c2continue • c)représentation graphique de la loi de c2 . courbe en cloche unimodaleasymétrique avec étalement vers la droite (pour les faibles valeurs de n) . famille de courbes de c2 suivant le nombre n de degrés de liberté P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  4. II - LOI du c2 (3) 2. Propriétés (2) P(c2) n = 4 0,15 n = 1 0,10 n = 15 0,05 c2 0 10 20 30 • . La loi de c2 tend vers la loi normale centrée réduite • quand n ∞ • Les deux lois deviennent quasiment identiques quand n > 30 • d)En pratique : tables de la distribution de c2 • tables établies par PEARSON P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  5. II - LOI du c2 (4) 3. Table du c2 (la plus utilisée) . donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les valeurs limites c2a du c2 correspondant au coefficient de risque a P(c2) a c2 c2a 0 . table à double entrée (du fait de la dépendance en n) La valeur de a est lue en ligne, celle de n en colonne, la valeur recherchée c2a se situant à l’intersection P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  6. II - LOI du c2 (5) 3. Table du c2 (2) Exemple :pour n = 8 et a = 0,05 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : • a = 5 % soit pour n = 8 c25%= 15,51 • a = 1 % " c21% = 20,09 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  7. II - LOI du c2 (6) >III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1) 3. Table du c2 (3) Remarques : - pour toute la 1ère ligne, les valeurs sont celles ducarré de la variable normale centrée réduite t - la table s’arrête pour n = 30, au-delà on prend l’approximation de la loi normale et on utilise la table de t III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER Permet, en particulier, de comparer les moyennes d’échantillons 1. Définition La loi de STUDENT notée ts à n degrés de liberté est le quotient d’une loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée d’une loi du khi2 à n degrés de liberté divisée par n ; les deux lois étant indépendantes ts = P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  8. III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2) 2. Propriétés • a)ts  - ∞, + ∞ [ • b)représentation graphique de la loi de STUDENT • . courbe en cloche symétrique, plus aplatie que lacourbe de Gauss (courbe hyper-normale) P(t) courbe normale courbe hyper-normale t 0 . d’autant plus aplatie que n est plus petit P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  9. III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3) 2. Propriétés (2) . famille de distributions de ts suivant le nombre n de degrés de liberté P(ts) n = 40 n = 10 n = 3 ts 0 • . La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite • quand n ∞ • Les deux lois deviennent quasiment identiques quand n > 30 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  10. III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4) 2. Propriétés (3) • c)En pratique : tables de la variable ts 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée) . similaire à celle de l’écart-réduit (loi normale) a / 2 a / 2 - ts ts 0 . table à double entrée (du fait de la dépendance en n) La valeur de a est lue en ligne, celle de n en colonne, la valeur recherchée ts se situant à l’intersection P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  11. III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5) 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2) Exemple :pour n = 10 et a = 0,05 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : • a = 5 % soit ts = 2,228 (t = 1,96 pour loi normale) • a = 1 % ts = 3,169 (t = 2,58 " ) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  12. IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1) Permet, en particulier, de comparer les variances d’échantillons 1. Définition Soient c2n1et c2n2 deux lois indépendantes du c2 à n1 et n2 degrés de liberté respectivement La loi de SNEDECOR à n1 et n2 degrés de liberté notée Fn1,n2(en hommage à Fisher) est définie comme le quotient : Fn1,n2 = 2. Propriétés • a)F  0, + ∞  • b) attention : Fn1,n2 ≠ Fn2,n1 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  13. IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2) 2. Propriétés (2) Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on démontre que l’on transforme le calcul de la probabilité par le calcul de son complémentaire • c)représentation graphique de la loi de SNEDECOR . dépendance avec les deux degrés de liberté n1 et n2 => famille de courbes de SNEDECOR . courbes en cloche unimodaleasymétrique avec étalement vers la droite P(F) (n1,n2) = (2, 5) (n1,n2) = (10, 10) (n1,n2) = (5, 2) F 0 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  14. IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3) 2. Propriétés (3) • d)En pratique : tables de la distribution de F 3. Table de SNEDECOR . similaire à celle de c2 P(F) a . table à triple entrée (du fait de la double dépendance en degrés de liberté) => une table par valeur de a F Fa 0 . pour chaque a, table à double entrée (n1 et n2) La valeur de n1 est lue en ligne, celle de n2 en colonne, la valeur recherchée Fa se situant à l’intersection P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  15. IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4) 3. Table de SNEDECOR(2) Exemple :pour a = 0,05, n1 = 20 et n2 = 10 Reportons-nous à la table a = 5% Soit F20,10 = 2,77 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

  16. IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5) 3. Table de SNEDECOR(3) Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par interpolation P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

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