1 / 29

KALKULUS I

KALKULUS I. FUNGSI TRIGONOMETRI. Cont….

dieter
Download Presentation

KALKULUS I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KALKULUS I FUNGSI TRIGONOMETRI

  2. Cont… • Keterangan gambar segitiga siku siku diatas ialah menjelaskan tentang hubungan Sin, Cos, dan Tan dengan sudut yang dibentuk oleh segitiga siku-siku. Adapun letak masing masing sisi hadap, miring dan dekatan tidaklah tetap seperti pada contoh gambar diatas, melainkan menyesuaikan dimana letak sudut ditentukan. Sisi miring Sisidepan Sisisamping

  3. Cont… • Dari contoh gambar diatas, bisa kita simpulkan bahwa sinus bisa kita peroleh dengan persamaan :

  4. Cont… • Dari contoh diatas, kita beralih ke fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan, jika dipahami dengan cara ini maka daerah asalnya akan berupa himpunan bilangan riil bukan berupa himpunan beberapa sudut.

  5. Cont… y P(x,y) t y x x A(1,0) Lingkaransatuan

  6. Andaikan C adalah lingkaran satuan yaitu, lingkaran x² + y² = 1 berpusat dititik asal dengan radius 1, Nyatakan titik ( 1,0 ) oleh A dan andaikan t sembarang bilangan positif. Maka terdapat tepat satu titik P(x, y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan adalah t. Keliling C adalah 2π; sehingga jika t > 2π, diperlukan lebih dari satu putaran lengkap dari lingkaran satuan untuk menelusuri busur AP . Jika t = 0, P = A. • Demikian juga jika t < 0, maka akan diperoleh persis satu titik P(x, y) pada lingkaran satuan itu, sehingga dengan demikian bila anda mengukurnya searah putaran jarum jam pada C, maka panjang busur AP adalah t. Jadi dengan sembarang bilangan ri’il t , kita dapat menyesuaikannya dengan sebuah titik unik P(x, y). Ini memungkinkan kita membuat definisi kunci dari sinus (sin) dan cosinus (cos). Andaikan t menentukantitik P(x,y) sepertiditunjukkandiatas. Maka sin t = y cos t = x

  7. SIFAT DASAR SINUS DAN COSINUS • Beberapa kenyataan segera jelas terlihat dari definisi yang baru saja diberikan . Pertama, x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga • Karena t dan t + 2π menentukantitik P(x, y) yang sama,

  8. Dikatakanbahwa sinus dancosinusbersifatperiodikdenganperioda 2π. Secaralebihumum, suatufungsifdikatakanperiodikjikaterdapatsuatubilanganpositifpsedemikiansehinggaf (t + p) = f ( t ) untuksemuatdalamdaerahasalf . Dan bilanganp terkecil yang memenuhidisebutperiodef. y (x,y) t x (1,0) -t (x,-y)

  9. Titik - titikP yang berpadanandengan t dan –t simetriterhadap (x, y) sumbu x. Sehinggadengan demikiankoordinatx-nyaakansama, sedangkankoordinaty-nyahanyaberbedatanda, sehingga : y (0,1) t (y,x) (x,y) t x (1,0) y=x

  10. Dengankata lain, sinus ialahfungsiganjilsedangkancosinusialahfungsigenap. Titik-titikP yang berpadanandengan t dan π/2 – t simetriterhadapgaris y = x Sehinggakoordinat-koordinatnyasalingbertukar. Iniberartibahwa : Akhirnyakitasebutkansebuahkesamaanpenting yang menghubungkanfungsi-fungsi sinus dancosinus

  11. Tabelringkastrigonometri

  12. GRAFIK SINUS DAN KOSINUS Untukmenggambarkangrafik y = sin tdan y = cost, denganprosedur yang telahbaku (buat table nilai), table nilaisudahtersedia. SalahsatutabelnyaialahTabel II dariApendiks; table ringkasuntukbilangankhusus, dari table diataskitadapatmenggambarkangrafik. 1 y = cos t y = sin t t -π π 2π -2π -1

  13. keterangan Bahkandenganpengamatansekilassaja, dapatdilihat 4 haltentanggrafikini : • Sin tdancostkeduanyaberkisardari -1 sampai 1. • Keduagrafikberulangdengansendirinyapadaselang yang berdampingansepanjang 2π. • Grafiky = sin tsimetriterhadaptitikasal, dany = costterhadapsumbuy. • Grafiky = sin tsamasepertiy = cost, tetapidigeser π/2 satuankekanan.

  14. EMPAT FUNGSI TRIGONOMETRI LAINNYA

  15. Contoh 1. Buktikanbahwatangenadalahfungsiganjil. Penyelesaian Contoh 2. Periksakebenaranidentitas - identitasberikut

  16. y Perhatikanbahwaterdapatasimtot-asimtottegakpada -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2, danseterusnya. Karenapadanilai-nilaitinicost = 0, yang berartibahwa ( sin t )/(cost) menyangkutsuatupembagianoleh nol. 1 π -2π -π - 2π 0 -1 y = tan x

  17. HubunganDenganTrigonometriSudut • Sudutbiasanyadiukurdalamderajatataudalam radian. Sudut yang berpadananterhadapsatuputaranpenuhberukuran 360˚, tetapihanya 2π radian. Demikian pula, sudutlurusberukuran 180˚ atau π radian, kenyataan yang bermanfaatuntukdiingat • 180˚ = π radian ≈ 3,1415927 radian • Inimenujupadakonversibiasa yang diperlihatkanpada Gambar.8 danpadafakta-faktaberikut, • 1 radian ≈ 57,29578˚ 1˚ ≈ 0,0174533 radian

  18. Pembagiansuatuputaranmenjadi 360 bagiandilakukandemikiansaja (menurutbangsa Babylon kuno, yang menyenangikelipatan 60). Pembagiankedalam 2π bagianadalahlebihmendasardanberlatarbelakangpadapemakaianukuran radian yang umumdalamkalkulus. Khususnya, perhatikanbahwapanjangbusur “s” daripotonganbusursebuahlingkaran radius “r” dengansudutpusat “t” radian memenuhi Yaitu, s = r t • Bilamana r = 1, inimemberikan s = t. Dengankalimat, panjangbusurpadapotonganlingkaransatuandengansudutpusat” t” radian adalah “ t”.Inibenarwalaupunjikatnegatif, asalkankitamenafsirkanpanjangadalahnegatifbilamanadiukurdalamarahputaranjarum jam.

  19. s t rad r s = rt

  20. Contoh: Carijarak yang ditempuholehsebuahsepedadenganroda yang mempunyai radius 30 cm, bilarodaituberputarsampai 100 putaran. Penyelesaian. Denganmengenalibahwa 100 putaranberpadanandengan 100.(2π) radian. s = ( 30 ) ( 100 ) ( 2π ) = 6000π ≈ 18849,6 cm Jika θ adalahsudut yang berukurant radian, maka:

  21. Dalamkalkulus, jikakitatemuisebuahsudut yang diukurdalamderajat, kitabiasanyamengubahnyakedalam radian sebelummelakukanperhitungan. Misalkan, sin 31,6˚ = sin ﴾ 31,6. radian ﴿ ≈ sin ( 0,552 )

  22. Daftaridentitas • Kesamaanganjil-genap sin (-x) = -sin x cos﴾-x﴿ = cos x tan ﴾-x) = - tan x • Kesamaanfungsiko sin ﴾π/2 - x﴿ = cos x cos﴾ π/2 – x﴿ = sin x tan ﴾ π/2 – x ﴿= cot x

  23. Cont… • Kesamaan Pythagoras sin² x + cos² x = 1 1 + tan² x = sec² x 1 + cot² x = csc² x • Kesamaanpenambahan sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y tan (x + y) =

  24. Cont… • Kesamaansudut – ganda sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos² x - sin² x = 2 cos² x – 1 = 1 – 2 sin²x • Kesamaansetengahsudut

  25. Kesamaanjumlah • Kesamaanhasil kali sin x sin y = - ½ [cos (x + y) – cos(x – y)] cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos(x – y)] sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin(x – y)]

  26. Contoh: Cari cos 51,8˚ Penyelesaian. Prosedur yang paling sederhana ialah menekan tombol yang tepat pada kalkulator. Tetapi jika ingin memakai tabel.II dari Apendiks, pertama kita ubah 51,8˚ ke radian. Jadi, 51,8˚ = 51,8˚﴾π/180 ﴿ ≈ 0.904 radian Cos (51,8˚) ≈ cos (0,904) ≈ 0.6184

  27. TUGAS 1. Konversikanukuranderajatberikutmenjadi radian (gunakanπdalamjawaban): a. 300 b. -600 c. 450 d. 2400 2. Konversikanukuran radian berikutmenjadiderajat a. 7π/6 c. 9π/8 b. 4π/3 d. -35π/18

  28. 3. Buktikanbahwakesamaanberikutiniadalahbenar: a. (1+ sin z)(1- sin z) = b. (sec t – 1)(sec t + 1) = tan2 t c. sin t (csc t – sin t) = cos2 t d.

More Related