UNIVERSITA’ DI MILANO-BICOCCA LAUREA MAGISTRALE IN BIOINFORMATICA

1. UNIVERSITA’ DI MILANO-BICOCCALAUREA MAGISTRALE IN BIOINFORMATICA Corso di BIOINFORMATICA: TECNICHE DI BASE Prof. Giancarlo Mauri Lezione 11 Distanza genomica

2. Introduzione • Brassica Oleracea (cavolo) e Brassica Campestris (rapa): geni mitocondriali per il 99% identici, ma in ordine molto diverso • Nel cromosoma X dei mammiferi sono molto conservati i geni, ma non il loro ordine • Il confronto tra grandi porzioni di genomi può dare indicazioni sull’evoluzione • Si cercano quali operazioni possono trasformare un genoma in un altro, spostando parti di genoma

3. Riarrangiamento genomico Il riarrangiamento genomico è quel fenomeno per cui alcune parti del genoma vengono duplicate e collocate in posizioni lontane dalla loro origine Operazioni possibili: • su un solo cromosoma • su due cromosomi

4. Riarrangiamento genomico Operazioni su un solo cromosoma • Cancellazione • abc  ac • Inserimento • ac  abc • Duplicazione (tandem o no) • abc  abbc, abcd  abcbd, abcd  acbcd • Inversione • abcdefgh  abfedcgh • Trasposizione • abcd  acbd • Transversione • una delle sottosequenze trasposte viene invertita

5. Riarrangiamento genomico Operazioni su due cromosomi • Traslocazione • scambio di “code”. Possibile solo se non si perde il centromero • Fusione • due cromosomi si fondono • Fissione • un cromosoma si divide in due

6. Riarrangiamento genomico con inversioni • Il problema studiato considera una sola tra le possibili operazioni: l’inversione • Dati due genomi si etichettano i geni che compongono il primo con numeri crescenti da 1 a n. Il secondo genoma sarà etichettato da una permutazione di {1,2,…,n} • Un’inversione equivale al rovesciamento di una sequenza di numeri

7. Riarrangiamento genomico con inversioni Esempio Genoma1:1 2 3 4 5 6 Genoma2:4 3 2 1 5 6 Genoma2 è stato ottenuto da Genoma1 tramite l’inversione del segmento 1 2 3 4

8. Dal cavolo alla rapa 1 -5 4 -3 2 1 -5 4 -3 -2 1 -5 -4 -3 -2 1 2 3 4 5

9. Dal verme all’uomo 12 31 34 28 26 17 29 4 9 36 18 35 19 1 16 14 32 33 22 15 11 27 5 20 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 20 5 27 11 15 22 33 32 14 16 1 19 35 18 36 9 4 29 17 26 28 34 31 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 16 14 32 33 22 15 11 27 5 20 19 35 18 36 9 4 29 17 26 28 34 31 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 16 15 22 33 32 14 11 27 5 20 19 35 18 36 9 4 29 17 26 28 34 31 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 16 15 36 18 35 19 20 5 27 11 14 32 33 22 9 4 29 17 26 28 34 31 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 16 15 14 11 27 5 20 19 35 18 36 32 33 22 9 4 29 17 26 28 34 31 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 16 15 14 31 34 28 26 17 29 4 9 22 33 32 36 18 35 19 20 5 27 11 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 28 34 31 14 15 16 17 29 4 9 22 33 32 36 18 35 19 20 5 27 11 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 28 18 36 32 33 22 9 4 29 17 16 15 14 31 34 35 19 20 5 27 11 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 28 29 4 9 22 33 32 36 18 17 16 15 14 31 34 35 19 20 5 27 11 12 13 30 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 28 29 30 13 12 11 27 5 20 19 35 34 31 14 15 16 17 18 36 32 33 22 9 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 11 12 13 30 29 28 27 5 20 19 35 34 31 14 15 16 17 18 36 32 33 22 9 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 13 12 11 5 20 19 35 34 31 14 15 16 17 18 36 32 33 22 9 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 34 35 19 20 5 11 12 13 14 15 16 17 18 36 32 33 22 9 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 34 35 19 20 9 22 33 32 36 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 22 9 20 19 35 34 33 32 36 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 19 20 9 22 36 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 22 9 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 22 9 24 3 6 10 23 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 22 9 8 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 8 9 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 23 10 6 3 24 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 8 9 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 3 6 10 23 24 25 2 7 1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 8 9 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 3 2 25 24 23 10 6 7 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 8 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 10 6 7 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 8 7 6 10 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

10. Distanza di inversione Distanza di inversione tra le sequenze S1 e S2: numero minimo di operazioni di inversione necessarie per trasformare S1 in S2 Esempio: S1 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 1 4 6 5 2 3 S2 6 4 1 5 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 1 4 6 5 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 6 1 4 6 5 2 3 d(S1,S2 ) = 3

11. Riarrangiamento genomico con inversioni INPUT: una permutazione p dell’insieme {1,2,…,n} OUTPUT: distanza tra p e la permutazione identica I NB: la permutazione identica è I=1,2,…,n • Il problema è NP-hard • Esiste però la possibilità di approssimarlo

12. Riarrangiamento genomico con inversioni • Si definisca un breakpoint tra le posizioni i e i+1 di p se e solo se |p(i) - p(i+1)| ≠ 1 dove p(i) e p(i+1) sono gli elementi di p alle posizioni i e i+1 • La permutazione identica I non ha breakpoints, quindi il riarrangiamento secondo I corrisponde all’eliminazione dei breakpoints da p • In generale ogni inversione toglie al più due breakpoint • Ne segue che d()≥b()/2, dove d() è la distanza di p da I e b() è il numero di breakpoints in 

13. L’euristica Definizione: una striscia in  è un sottointervallo massimale di  senza breakpoints • decrescente se formata da numeri in ordine decrescente Es: 7 9 6 5 4 3 8 1 2 • crescente se formata da numeri in ordine crescente Es: 7 9 6 5 4 3 8 1 2 NB: una striscia di lunghezza 1 è considerata decrescente

14. L’euristica while ci sono breakpoints in do begin if c’è una striscia decrescente then trovane una che riduca il numero di bp e invertila (Lemma 1) else trova e inverti una striscia crescente (diventa decrescente; non aumenta i bp: Lemma 2) Lemma 1- Se  contiene una striscia decrescente, allora esiste una inversione che riduce il numero di bp di almeno uno Lemma 2- ...

15. L’algoritmo • Trovo la striscia decrescente con estremo più piccolo, K • Trovo K-1 • Inverto tutta la sequenza tra K e K-1 • ...... 7654........23.....--> ...... 765432..… • ........23........... 7654..... --> ........234567........

16. Esempio 45321987  123549867  123459867   123459876 123456789

17. Riarrangiamento con permutazioni con segno • In questa versione del problema ogni numero è dotato di segno (+ oppure -) • Il segno cambia ogni volta che il numero è contenuto in un intervallo di inversione

18. Riarrangiamento con permutazioni con segno • Il problema a differenza della versione priva di segno non è NP-hard • Esistono algoritmi risolutivi esatti in tempo quadratico