GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA

1. GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura diSimona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria “Caterina Cittadini” di Calolziocorte Gruppo di Ricerca sull’Uso del Gioco nella Didattica della Matematica (Università Statale di Milano)

2. indice introduzione  obiettivi metodologia documentazione  materiali bibliografia USCITA

3. INDICE INTRODUZIONE • Il kit multimediale che il lettore si accinge a consultare è rivolto principalmente agli insegnanti di matematica di scuola secondaria di primo grado e, indirettamente, ai loro alunni. Esso: • si inserisce in una delle aree tematiche indicate dal Progetto SeT; • si basa sulla convinzione che l’uso del gioco logico - matematico sia uno strumento efficace per fare un’esperienza significativa di matematica; • illustra e documenta l’attività didattica, svolta da insegnanti che utilizzano regolarmente il gioco matematico nella propria programmazione disciplinare, fornendo il materiale per riproporla in autonomia.

4. INDICE • Il Progetto Speciale per l'Educazione Scientifico - Tecnologica (Progetto SeT) si propone di favorire una crescita complessiva della cultura scientifico – tecnologica, migliorando la qualità dell'insegnamento, perseguendo alcuni obiettivi specifici. • Il Progetto SeT segnala alcune aree tematiche individuate come particolarmente importanti sia per la loro valenza concettuale sia per la loro rilevanza sociale. Il lavoro ipertestuale che state consultando si inserisce nelle aree denominate “Dimostrazione e modelli” e “Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie”. • In esso fare matematica diventa fare laboratorio di matematica, cioè fornire un contesto pratico in cui applicare il metodo scientifico alla matematica, mediante l'osservazione, la formulazione di ipotesi risolutive, la loro sperimentazione e valutazione, la formalizzazione e la generalizzazione.

5. OBIETTIVI del PROGETTO SeT • Gli obiettivi del Progetto SeT sono: • a) potenziare la cultura scientifico - tecnologica degli studenti; • b) accrescere la qualità dell'insegnamento scientifico – tecnologico; • c) migliorare l'organizzazione dell'insegnamento scientifico – tecnologico; • d) sviluppare la professionalità degli insegnanti. • In particolare le scuole che partecipano al progetto ricevono risorse per: • - migliorare le strutture e l'organizzazione didattica dell'insegnamento scientifico - tecnologico; • - creare servizi, azioni di sostegno e opportunità formative per gli insegnanti; • - coinvolgere le diverse organizzazioni interessate allo sviluppo della scienza e della tecnologia: istituti di ricerca, musei, enti e servizi destinati alla protezione dell'ambiente e della salute, imprese industriali.

6. AREE TEMATICHE del Progetto SeT • Processi di cambiamento e trasformazione; • Stabilità e instabilità dei sistemi; • I linguaggi della scienza e della tecnica; • Struttura: forma e funzione; • Misura, elaborazione e rappresentazione: strumenti e tecnologie per conoscere; • I materiali; • Energia: trasformazioni, impieghi, fonti primarie; • Informazione e comunicazione; • Microcosmo e macrocosmo; • Dimostrazione e modelli; • Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie; • La scienza del vivere quotidiano; • Tecnologie della vita; • Ambiente e tecnologia; • I grandi fenomeni naturali.

7. INDICE • Sono un’insegnante di matematica convinta che… fare matematica sia divertente! E penso che i miei alunni abbiano il diritto di essere resi partecipi di questo piacere. • Credo che, nella scuola dell’autonomia, un insegnante debba avere il coraggio di compiere scelte “scomode e innovative” per: • - confrontarsi con gli alunni sul terreno della scoperta, della discussione su problemi di cui non si conoscono in anticipo procedimenti e tecniche di soluzione; • - lasciare libero sfogo alle capacità logiche, all’intuizione, alla fantasia. • L’importanza dell’aspetto ludico della matematica è riconosciuta anche dalla commissione ministeriale incaricata di studiare e riformulare i programmi nazionali previsti dalla riforma Moratti (Legge 53, 28 marzo 2003).

8. INDICE Il gioco matematico è uno strumento che può risultare molto efficace nello studio della matematica sia per stimolare la ricerca e l’acquisizione di nuove conoscenze e strategie sia per modificare gli atteggiamenti verso questa disciplina, generalmente definita antipatica, noiosa, scomoda, difficile... Chiunque si cimenta nella risoluzione di un gioco matematico innesca una serie di atteggiamenti e comportamenti tipici del ricercatore e dello scienziato: - cerca strategie diverse e ne valuta l’efficacia; - trasforma il linguaggio comune in linguaggio matematico; - schematizza situazioni con grafi, tabelle, disegni; - inventa e usa simboli nuovi; - scopre analogie con altri problemi; - ne inventa di nuovi che sfruttano le stesse strategie; - costruisce modelli matematici … e molti altri ancora.

9. INDICE Inoltre, sfruttando una buona dose di sano agonismo e di spirito di collaborazione, si possono raggiungere risultati insperati in termini educativi. Fare matematica attraverso la cosiddetta MATEMATICA RICREATIVA aiuta ad accrescere la fiducia nelle proprie capacità e diminuisce l’avversione anche verso quella tradizionale. In effetti, sentirsi padroni di un gioco e della sua strategia risolutiva dà soddisfazione, stimola la creatività e consolida la conoscenza di un ragionamento che si potrà ripetere in situazioni analoghe. Un altro risultato per nulla scontato e banale è che il gioco fa parlare di matematica anche fuori dalle scuole e non solo per lamentarsi di quanto la lezione sia stata noiosa o l’argomento difficile o l’esito della verifica deludente, ma per sfidare, divertendosi, i propri genitori e gli amici su temi matematici.

10. IL GIOCO MATEMATICO Ma cosa si intende per gioco matematico? Cito il presidente della Federazione francese di giochi matematici, Michel Criton, il quale sostiene che “un buon gioco matematico deve godere di tre caratteristiche: - un gioco matematico deve essere accessibile al maggior numero di persone possibili (nel senso che non deve richiedere la conoscenza di nessuna teoria e di nessun linguaggio matematico particolarmente impegnativo); - il suo enunciato, formulato nel linguaggio corrente, deve intrigare, sorprendere, porre una sfida al lettore, suscitando curiosità e voglia di fermarsi a pensare; - la sua risoluzione deve divertire, piacere, dare soddisfazione a colui che la raggiunge, stupire per la sua semplicità ed eleganza.”

11. INDICE • In particolare nel kit troverete: • - nella sezioneMETODOLOGIA … • le indicazioni metodologiche relative all’esecuzione dei giochi matematici con i ragazzi; • - nella sezioneDOCUMENTAZIONE … • la documentazione relativa a giochi testati nelle classi; • - nella sezioneMATERIALI … • la possibilità di scaricare il materiale necessario per lo svolgimento e la documentazione di alcuni giochi.

12. INDICE obiettivi Con il gioco matematico è possibile perseguire obiettivi di tipo educativo, che, insiemi agli obiettivi strettamente didattici, fanno parte dell’azione educativa di qualsiasi insegnante. • OBIETTIVI EDUCATIVI • sviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e fiducia nelle proprie capacità • accrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso la cooperazione e la solidarietà con gli altri • potenziare la capacità organizzative e decisionali • stimolare interesse e motivazione verso lo studio della matematica • apprendere ad apprendere

13. INDICE • OBIETTIVI DIDATTICI • potenziare le abilità logico – matematiche degli alunni • imparare ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenze  • valutare l’utilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, competenze e capacità • sviluppare l’attitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in contesti diversi (transfert) • decidere in condizioni d’incertezza oltre che di certezza • sviluppare la capacità di dominare situazioni anche complesse • utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazione

14. INDICE metodologia La metodologia di lavoro presentata intende porre il processo di problem solving (letteralmente risolvere problemi) come punto di partenza per un percorso di didattica metacognitiva sul gioco matematico. Il problem solving può essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, comportamentale ed operativo, l'abilità di soluzione di problemi. Il gioco matematico, così come viene inteso in questo lavoro, è proprio una situazione problematica, magari complessa, di cui si vuole trovare, se esiste, una soluzione. Appare quindi lecito proporre il gioco logico ai ragazzi attraverso il processo del PROBLEM SOLVING METACOGNITIVO; in tal modo essi, in modo sempre più puntuale, saranno in grado di monitorare i loro processi cognitivi, valutare l’utilità e l’efficacia dei diversi procedimenti risolutivi, nonché di classificare le rappresentazioni personali di procedure, attivando transfer degli apprendimenti.

15. Il PROBLEM SOLVING • Nell’ambito delle ricerche cognitive si sostiene che il problem solving è una capacità che, in realtà, ne comprende altre essenziali per una piena espressione del potenziale dell’individuo. Tali capacità sono: • il PROBLEM FINDING, da intendersi come capacità di riconoscere una situazione come problematica; • il PROBLEM POSING, da intendersi come capacità di impostare e dare corretta configurazione cognitiva al problema riconosciuto; • il PROBLEM TALKING, da intendersi come capacità di descrivere, spiegare e comunicare il problema. • Nonostante il problem solving venga solitamente associato all’area didattica logico – matematica esso è applicabile in ambito più interdisciplinare; fare problem solving, infatti, vuol dire usare correttamente l'abilità di classificazione di situazioni problematiche e la capacità di risolvere problemi analoghi.

16. INDICE • La procedura del problem solving prevede diverse FASI, durante le quali possono essere sviluppati processi di controllo propri delle abilità metacognitive. Se ne possono individuare quattro: • fase di COMPRENSIONE: è finalizzata alla comprensione della situazione problematica e al riconoscimento delle conoscenze naturali possedute dagli allievi sull’argomento del gioco da risolvere; • fase di ATTACCO: è il momento della formulazione di ipotesi di strategie risolutive ai fini dell’individuazione della soluzione ritenuta esatta; • fase di CONTROLLO: i ragazzi sono invitati a riferire e a giustificare ciò che hanno fatto e a confrontarsi in una discussione finalizzata alla scoperta della soluzione migliore; • fase di ESTENSIONE: permette di verificare se i ragazzi sanno trasferire in contesti diversi le competenze acquisite e generalizzarle, ricostruendo regole o formule.

17. FASE di COMPRENSIONE

18. FASE di ATTACCO

19. FASE di CONTROLLO

20. FASE di ESTENSIONE

21. INDICE Ma concretamente come, cioè, secondo quali MODALITÀ un insegnante può svolgere i giochi con le proprie classi? Il mio primo consiglio è quello di non escludere nessuno; in queste situazioni anche chi è in grave DIFFICOLTÀ DI APPRENDIMENTO ci potrà sorprendere e, se così non fosse per quanto riguarda l’aspetto strettamente didattico, perché privare proprio questi ragazzi della possibilità di trarre un po’ di divertimento dalla matematica? Un secondo consiglio è quello di far lavorare i ragazzi in GRUPPI preferibilmente di tre o quattro persone ed eterogenei per abilità disciplinare e per capacità collaborative. Questa strategia da una parte stimolerà il più bravo a confrontarsi e a mettere le sue attitudini al servizio del gruppo; dall’altra, permetterà al meno bravo innanzitutto di non cadere nell’angoscia del non sapere da che parte iniziare e, in secondo luogo, di sentirsi libero di avanzare ipotesi senza magari il timore del giudizio dell’insegnante.

22. INDICE Voglio sottolineare in particolare l’importanza del momento della DISCUSSIONE tra i ragazzi per la ricerca delle strategie risolutive: essa ha il valore essenziale di permettere di strutturare le conoscenze, imparando ad esporre le proprie idee e ad ascoltare quelle degli altri. Il DOCENTE, più che dare indicazioni, ha il compito di coordinare, sollecitare le osservazioni, valorizzare le opinioni di ciascun ragazzo. Nella discussione si attiva un processo che porta l’alunno dal livello di intuizione ad un grado sempre maggiore di consapevolezza, attraverso il confronto con altri procedimenti risolutivi e l’eventuale riconoscimento di errori e il loro superamento. Inoltre il momento della VERBALIZZAZIONE permette di migliorare l’uso di un linguaggio corretto e di acquisire spontaneamente il necessario rigore nel ragionamento matematico (i ragazzi si impegnano molto di più nel tentativo di farsi comprendere dai loro compagni rispetto a quanto succeda verso gli insegnanti).

23. INDICE documentazione A titolo esemplificativo della metodologia proposta è possibile a questo punto visionare una simulazione della conduzione di tre giochi testati in classe con i ragazzi. FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALL’OPERA LA BANCARELLA DI MIRELLA GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO

24. LA BANCARELLA DI MIRELLA A Mirella piace molto allestire ogni giorno in modo diverso la sua bancarella del mercato. In questo periodo espone in bella mostra tre coppie abbinate formate da una sciarpa e da una berretta, rispettivamente di colore verde, rosso e giallo. Se nessuna coppia può essere divisa, in quanti modi diversi gli indumenti possono essere allineati sulla bancarella di Mirella? FASE INIZIALE FASE DI ATTACCO FASE DI CONTROLLO FASE DI ESTENSIONE

25. Sciarpa e berretta devono essere dello stesso colore? Cosa si intende per coppia abbinata? Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? FASE INIZIALE

26. QUESTI DUE CHIARIMENTI SONO STATI RICHIESTI NELLA FASE SUCCESSIVA DI ATTACCO DEL GIOCO. Ma gli indumenti possono essere disposti come si vuole o devono essere per forza allineati? Cosa significa che nessuna coppia può essere divisa? FASE INIZIALE

27. No, non ci sembra… Avete mai incontrato problemi simili? FASE INIZIALE

28. POCHI RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO DEL GIOCO. Le coppie abbinate di berretta e sciarpa sono 3. Quali sono i dati? Nessuna coppia può essere divisa. FASE INIZIALE

29. L’USO DEI TERMINI RELATIVO AL CALCOLO COMBINATORIO È MOLTO IMPRECISO E DIFFICOLTOSO. Dobbiamo trovare le combinazioni possibili dei sei indumenti a disposizione. Cioè… i modi possibili… gli allineamenti… Qual è la richiesta? FASE INIZIALE

30. È FREQUENTE NEI RAGAZZI LA PERCEZIONE CHE IN QUALCHE MODO IL CALCOLO COMBINATORIO ABBIA A CHE FARE CON IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ … Sicuramente la moltiplicazione. Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? E se usassimo il calcolo delle probabilità? FASE DI ATTACCO

31. La prof ha detto di valutare se ci possono essere utili degli strumenti… Beh, prendiamo degli oggetti e riproduciamo la situazione! FASE DI ATTACCO

32. L’APPROCCIO E’ STATO LO STESSO PER TUTTI. SONO STATI PREMIATI GLI SFORZI DI CHI HA LAVORATO CON ORDINE E METODO. Proviamo a scrivere tutti gli allineamenti possibili. Io tento con le lettere R, V e B! Come procediamo? FASE DI ATTACCO Ok, io allora uso dei grafi ad albero o magari delle tabelle…

33. Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? FASE DI CONTROLLO

34. I colori R, G, V possono essere combinati in 6 modi diversi: R G V R V G G R V G V R V R G V G R. Ciascuno di queste combinazioni di colori da luogo però a 8 diversi allineamenti se si considerano le diverse posizioni di sciarpe (indicate con le maiuscole) e berrette (indicate con le minuscole): R r G g V v R r G g v V R r g G V v R r g G v V r R G g V v r R G g v V r R g G V v r R g G v V In totale quindi si avranno 6  8 = 48 allineamenti. FASE DI CONTROLLO SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, L’OPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE.

35. Ma noi abbiamo risposto 6! FASE DI CONTROLLO

36. L’ERRORE È STATO QUELLO DI CONSIDERARE LE COPPIE ABBINATE COME UN UNICO OGGETTO: NON È STATO CONSIDERATO IL FATTO CHE BERRETTA E SCIARPA POSSONO ESSERE INVERTITE DI POSTO SENZA CHE LA COPPIA SIA SPOSTATA.

37. E noi cosa abbiamo sbagliato?!? Abbiamo risposto 36… FASE DI CONTROLLO

38. IL RAGIONAMENTO DI FONDO E’ ESATTO, MA È STATO SVOLTO UN ERRORE NEL CALCOLO.

39. Noi non avevamo compreso bene il significato di COPPIA ABBINATA: è per questo che abbiamo sbagliato! Avete capito gli errori avete fatto? C’è ancora qualche problema insuperabile? FASE DI CONTROLLO

40. PER ARRIVARE A QUESTA RISPOSTA L’INSEGNANTE HA DOVUTO INTERVENIRE PESANTEMENTE PER FAR OSSERVARE LE REGOLARITÀ TRA I NUMERI PRECEDENTI. Io li ho scritti tutti: sono 8! Hmm… è più difficile, ma se abbiamo capito bene il ragionamento… 24 combinazioni di 4 colori e per ciascuna di esse 16 diverse disposizioni… per un totale di 384 possibilità! E se le coppie fossero state 2? Quanti allineamenti possibili avremmo avuto? Brava! E se le coppie fossero state 4? FASE DI ESTENSIONE

41. LA QUASI TOTALITA’ DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE. DUE ALUNNI, PERO’, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI… Bene! Usando uno strumento che non conoscete (il fattoriale) si può scrivere: 2n · n ! Adesso proviamo a trovare una regola, una formula che generalizzi il discorso nel caso di n coppie… Vediamo… una formula potrebbe essere questa: 2n · n · (n – 1) · … · 2 · 1! FASE DI ESTENSIONE

42. LA MANCANZA DI TEMPO NON PERMETTE LA RIELABORAZIONE, DI QUESTA IPOTESI, MA DIFFICILMENTE I RAGAZZI AVREBBERO COMPRESO IL SIGNIFICATO DI UNA FORMULA RICORSIVA. Se osserviamo bene c’è una certa regolarità tra il caso di n coppie e n + 1 coppie… Altre ipotesi? FASE DI ESTENSIONE

43. Èvero! Riformulo il testo: Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci: due grossi, due medi e due piccoli. In quanti modi possibili può disporli senza mai dividere i pesci della stessa taglia? Unpescivendolo ha sul banco 6 pesci. In quanti modi possibili può disporli? Provate ora ad inventare un nuovo gioco simile a questo. No, no, no! Attento: così stai sbagliando… FASE DI ESTENSIONE

44. INDICE Non c’è stato il tempo di riflettere su una variante interessante del gioco e cioè il caso in cui al posto di una coppia abbinata di berretta e sciarpa ci sia un paio di guanti. In questo caso i ragazzi sarebbero stati obbligati a considerare la disposizione di indumenti non invertibile (il guanto destro a destra, il guanto sinistro a sinistra): cosa sarebbe cambiato nel calcolo? Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi, anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi: “Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula!” “Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non ha capito nulla!” “Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui non conosceva la formula che abbiamo scoperto!”

45. GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO A Emi è stato regalato un caleidoscopio a sezione quadrata. L’immagine che sta guardando in questo momento è quella riportata a destra … Emi, in particolare, è incuriosita dal quadratino centrale, del quale vorrebbe riuscire a calcolarne l’area. Fosse facile! Riesce solo a misurare il lato del quadrato più esterno che è di 4 cm. La nostra Emi pensa di essere imbattibile in matematica, ma forse ancora non vi conosce. Riuscite anche voi a trovare l’area del quadratino? FASE INIZIALE FASE DI ATTACCO FASE DI CONTROLLO FASE DI ESTENSIONE

46. È PIÙ UNA RICHIESTA DI CONFERMA CHE UNA VERA E PROPRIA DOMANDA. Cosa si intende per QUADRATO PIÙ ESTERNO? Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? FASE INIZIALE

47. Sembra un po’ qualche problema del libro di geometria, ma… no, direi di no! Avete mai incontrato problemi simili? FASE INIZIALE

48. TUTTI I RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO FONDAMENTALE. La misura del lato del quadrato più grande è 4 cm. Quali sono i dati? FASE INIZIALE

49. QUASI NESSUNO SI RENDE CONTO DELL’IMPORTANZA DI QUESTI DUE DATI, SENZA I QUALI NON SI POTREBBE RISOVERE IL GIOCO. Dobbiamo contare il numero di quadrati costruiti a partire da quello più esterno… Certo che se non abbiamo la figura o almeno la sua costruzione come si fa?!? FASE INIZIALE

50. LA RICHIESTA E’ CHIARA PER TUTTI. Calcolare l’area del quadratino più interno. Qual è la richiesta? FASE INIZIALE