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Schaltnetze und Schaltwerke

Schaltnetze und Schaltwerke. Marcel Waldvogel http://marcel.wanda.ch/Rechnersysteme/. Transistoren, Chips TTL, CMOS. ECL Logikgatter Minimale Einheiten Logische Schalter mit geeigneter Wirkungsweise Kombination von Gattern Komplexe Komponenten. Schalten. Schaltnetze und Schaltwerke.

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Schaltnetze und Schaltwerke

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Presentation Transcript

  1. Schaltnetzeund Schaltwerke Marcel Waldvogelhttp://marcel.wanda.ch/Rechnersysteme/

  2. Transistoren, Chips TTL, CMOS. ECL Logikgatter Minimale Einheiten Logische Schalter mit geeigneter Wirkungsweise Kombination von Gattern Komplexe Komponenten Schalten

  3. Schaltnetze und Schaltwerke Schaltnetze Schaltungen ohne Speicherverhalten Schaltwerke Mit Speicherverhalten

  4. Schaltnetze Symbole und Wertetafeln Nicht (logische Negation, boole'sche Inversion) Oder (logisches Oder, boole'sche Addition) Und (logisches Und, boole'sche Multiplikation) Schaltungsbeispiel"Wenn die Sonne scheint UND es warm ist ODER wenn ich müde bin UND NICHT schlafen kann, dann gehe ich spazieren"

  5. Boole'sche Algebra B={0,1} (B; Ù, Ú, Ø) ist eine Algebra Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetze Neutrale Elemente Komplemente Beweis? Zusätzlich minimales und maximales Element Idempotenzgesetze Regeln von de Morgan

  6. Vollständigkeit Zeigen, dass alle sinnvollen Funktionen über {0, 1} mit unseren drei Gattern machbar ist Welche einstelligen Funktionen über {0, 1} gibt es? Welche zweistelligen Funktionen über {0, 1} gibt es? Wieviele dreistellige Funktionen über {0, 1} gibt es?

  7. Anzahl Funktionen Einstellig 22 = 4 verschiedene Funktionen Zweistellig 222 = 16 Funktionen n-stellig 22n Funktionen, denn: Es gibt zu jedem Argument einer boole'schen Funktion 2 verschiedene Funktionswerte Eine n-stellige boole'sche Funktion hat 2m verschiedene Argumente

  8. Schaltfunktionen n, m ³ 1; f : Bn® Bm Addition zweier binärer Zahlen der Länge 16 Sortieren von 30 16-stelligen Zahlen Primzahltest für Zahlen der Länge 240 f : Bn® B"n-stellige boole'sche Schaltfunktion" Zusammenhang zwischen Schaltfunktionen und boole'schen Schaltfunktionen? Schlussfolgerung?

  9. Dualsystem z=87 binär? Mit n Bits lassen sich die Zahlen von0 . . . 2n-1 darstellen Stelle i Î {0, n-1} hat Wertigkeit 2i(von rechts nummeriert) Analog zu Dezimalsystem Stelle i Î {0, n-1} hat Wertigkeit 10i

  10. Vollständigkeit (Forts.) Allgemeine Funktionsdarstellung n ³ 1, f : Bn® B Sortierte Wertetafel Vorüberlegungen: Eine n-stellige Zahl i, deren Ziffernfolge i1, . . ., in ist (von links nach rechts nummeriert), heisst einschlägiger Index von f, falls f(i1, . . ., in) = 1 Beispiel: 3, 5, 7 einschlägige Indizes

  11. Minterme Sei i n-stellige Binärzahl. Zu f : Bn® Bheisst die Funktion mi : Bn® B definiert durch mi(x1, . . ., xn) := x1i1Ù . . .Ù xnin seii-ter Minterm von f. Dabei gilt: Beispiel: m3 und m4 Vereinfachung: Weglassen der Argumente Wann hat ein Minterm den Wert 1? Aussage über xj und ij?

  12. Disjunktive Normalform Jede boole'sche Funktion f : Bn® B ist eindeutig darstellbar als Disjunktion der Minterme ihrer einschlägigen Indizes Beweis? Existenz Eindeutigkeit Beispiel

  13. Konjunktive Normalform Sei i n-stellige Binärzahl und sei mi deri-te Minterm von f : Bn® B. Dann heisst die Funktion Mi : Bn® B definiert durch Mi(x1, . . ., xn) := Ø mi(x1, . . ., xn) der i-te Maxterm von f. Jede boole'sche Funktion ist eindeutigdarstellbar als UND-Verbindung(Konjunktion) der Maxterme ihrernicht einschlägigen Indizes. "Konjunktive Normalform" Beispiel

  14. Universalgatter Mittels der Gatter UND, ODER und NICHT können alle boole'schen Funktionensynthetisiert werden Beispiel Nicht notwendigerweise optimal (Schaltzeit, Gatterzahl); komplexes Problem Vereinfachungen, Verallgemeinerungen Negation der Ein-/Ausgänge XOR (exclusive-or, entweder-oder, "ungleich") Mehr als zwei Eingänge Gibt es ein Gatter, aus dem sich UND, ODER und NICHT erzeugen lassen?

  15. Rechnen mit Dualzahlen Addition zweier Zahlen, dual und dezimal 183 + 197 Bitweise Operation Eingänge: Bits der Ausgänge: Ergebnis, Übertrag Wahrheitstabelle? Boole'sche Funktionen? Resultat: Halbaddierer

  16. Volladdierer Zwei Halbaddierer (logisch, oder?) Eingänge: A, B, Carryin Ausgänge: Summe, Carryout Mehr Bits Lange Schaltzeiten Carry-Look-Ahead-Logik Carry Generate Carry Propagate Carry Bypass

  17. Karnaugh Vereinfachung von Schaltungen Boole'sche Umformungen Karnaugh-Diagramme Zwei benachbarte Zellen: ein Bit Differenz Zusammenfassung von Resultategruppen (mit Wrap-Around)

  18. Schaltwerke Speicherverhalten Output = f(Input, Zustand) Speicherarten Beispiel: Getränkeautomat "Physikalischer Speicher" Kondensator DRAM Magnetspeicher Rückkoppelung Astabiler Multivibrator Bistabiler Multivibrator, (ungetaktetes) Flipflop Zwei NOR in Serie Alternativ: zwei NAND mit invertierten Eingängen SRAM

  19. Synchronität Abfrage bei gleichzeitiger Änderung Undefinierter Zustand, "Hazard" "Getaktetes Flipflop": Zweites Flipflop Verkleinert nur den "gefährlichen" Zeitraum, Elimination unmöglich Typischer Schaltungsbau Getaktete Operationen Resultate einer Operation werden zwischengespeichert, um gleichzeitig zu wirken Herausforderung: Asynchrone Schaltung

  20. Anwendungen Universelle Regeln zur Kombination von universellen Komponenten Elektronisch Elektromechanisch (Relais) Mechanisch (Zuse, mit Fliesskomma!) In ähnlicher Form auch anwendbar auf Optik Biologie Quantenmechanik

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