P ROBLEME DE ALGEBRA REZOLVATE

1. b 1 x x b a = = = b a a 1 a b m m a = g g m m a a n(n+1) 1 + 2 + 3 a+b + + n = a b c ... 2 1 a = = = p m n 2 • PROBLEME DE ALGEBRA • REZOLVATE GEOMETRIC

2. Ce fel de probleme ? • Calculul unor sume de numere • Calculul produsului, câtului a două numere • Puterile unui număr • Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un • număr real pozitiv • Calculul mediei geometrice a două • numere reale şi pozitive • Inegalitatea mediilor • Împărţirea unui număr în părţi direct • proporţionale cu numere date • Rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

3. 1 Desenul următor vă sugerează un mod de a construi un segment de lungime ab. C b b a a N a b A B M a b 1

4. EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a produsului dintre 4,3 şi 2,7. Verificaţi rezultatul găsit.

5. 2 Iată un mod de a efectua o împărţire printr- un desen. a C b N b b a a A B M a b 1

6. EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a câtului dintre 11,2 şi 3,8. Verificaţi rezultatul găsit.

7. 3 Un procedeu pentru a construi pătratul unui număr pozitiv n. n C D A B 2 2 n n n 1

8. EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a lui 2,82. Verificaţi rezultatul găsit.

9. 4 Iată cum putem „măsura” puterile unui număr h folosind un reper ortogonal. B A C E D y Demonstraţi că: - OC este h2 - OD este h3 - OE este h4 Şi puteţi continua ... Verificaţi pentru h=1,2. h 1 x O

10. 5 Aşa „construia” Descartes rădăcina pătrată dintr- un număr real şi pozitiv a N a a B M A 1 a = 1 a O

11. a. Justificaţi metoda lui Descartes. b. Utilizaţi construcţia lui Descartes pentru a găsi o valoare aproximativă a lui , , ... şi apoi comparaţi cu numerele dintr-un tabel de radicali. 3 5 EXERCIŢII

12. 6 Un mod de a calcula media geometrică a două numere reale, pozitive a şi b N m m g g b a B A M b a O

13. b m a = g EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a mediei geometrice dintre numerele 3 şi 5. Verificaţi rezultatul găsit astfel într-un tabel de radicali.

14. 7 O demonstraţie geometrică pentru inegalitatea mediilor AO = = AD = b m m a = g g m m a a a+b 2 A b a C B O D

15. b a m g m a EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru numerele 2 şi 4. Verificaţi rezultatele găsite.

16. 8 Să împărţim un segment AB de lungime s în părţi proporţionale cu numerele m, n, p. s a+b+c s = b c a = p = n m A a b c B m n p

17. a b c = = p m n EXERCIŢII • a. Justificaţi metoda anterioară. • b. Împărţiţi un segment cu lungimea de 6 cm • în părţi proporţionale cu numerele 3, 4, 5. • Procedaţi în două moduri: • - efectuând o construcţie geometrică; • - prin calcul.

18. 9 Găsiţi trei numere, primele două cu suma 50, altele două cu suma 70 şi ultimele două cu suma 60. x+y = 50 y+z = 70 z+x = 60 Soluţiealgebrică Soluţie geometrică

19. x+y = 50 y+z = 70 z+x = 60 x = 90 – 70 = 20 y = 90 – 60 = 30 z = 90 – 50 = 40 Soluţiealgebrică 2(x+y+z) = 50+70+60 x+y+z = 90

20. x x F D z y y z E Soluţie geometrică A AB = 50 BC = 70 CA = 60 O B C

21. Soluţie inedită dată în secolul al XVI-leade către un matematician italian • a construit un triunghi ABC, cu laturile AB=50, BC=70, CA=60; • a trasat două bisectoare ale triunghiului şi a aflat punctul O=centrul cercului inscris; • a desenat cercul înscris în triunghi şi a notat punctele de tangenţă cu D, E şi F; • a măsurat AD=20, BD=30, BE=40; Numerele căutate sunt: 20, 30, 40.

22. 10 Ce inegalitate remarcabilă se poate deduce din figura de mai jos? a+b a+b b a b a Soluţie

23. 2 (a+b) 4ab a+b a+b b a b a Aria pătratului mare suma ariilor celor patru dreptunghiuri

24. 2 (a+b) 2 ( ) ab ab m g 4 m a 2 media aritmetică media geometrică a+b ( ) 2

25. Calculaţi • media aritmetică şi media geometrică • pentru următoarele perechi de numere: • 4 şi 9; • 3 şi 27; • 5 şi ; • 7 - 3 şi 7 + 3 . 2 2 5 5 EXERCIŢII

26. 11 O demonstraţie geometrică pentru inegalitatea celor trei medii AO = = AD = 2ab b m m a = h g a+b m a AM = = a+b 2 A M b a C B D O

27. DC BD AM AD AO 2ab b m m b a h g a a+b m a a+b 2 Inegalitatea mediilor

28. Folosiţi inegalitatea mediilor pentru a demonstra inegalităţile: a. b. 30 56 5,50 7,50 5,45 7,46 EXERCIŢII

29. 12 Să calculăm numărul dreptunghiurilor verzi folosind aria dreptunghiului mare 1 3 2 2 3 3(3+1) 1 + 2 + 3 1 = = 2 6

30. 13 Acelaşi calcul pentru figura de mai jos 4 1 3 2 2 3 1 4 4(4+1) 1 + 2 + 3 = = 10 + 4 2

31. 14 Ce egalitate remarcabilă se poate deduce din figura următoare? n 1 3 2 2 3 1 n Soluţie

32. n(n+1) 1 + 2 + 3 + + n = ... 2 Suma primelor n numere naturale nenule

33. 1 2 3 + + + 9 9 9 n(n+1) 1 + 2 + 3 + + n = ... 2 1 + = ... EXERCIŢII • Calculaţi următoarele sume: • 1+2+3+...+100= • 1+2+3+...+2004= • 5+10+15+...+185= • 0,3+0,6+0,9+...+21= • 2+ 8+ 18+...+ 162=

34. 15 Verificaţi calculele pentru figurile: 2 2 2 2 3 4 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 =

35. EXERCIŢII • Calculaţi, după modelul anterior, • următoarele sume: • 1+3+5+7+9 = • 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = • 1+3+5+7+ ... + 101 =

36. Ai ajuns la sfârşit. ALEGE ! ÎNAPOI IEŞIRE