170 likes | 458 Views
Regelmaat in getallen. 1 4 7 10 …. 8 16 32 64 …. 18 14 10 6 …. 10 -20 40 -80. Een speciale :. De rij van Fibonacci. 1 1 2 3 5 8 13 21. Leonardo van Pisa 1180 - 1250. Rijen. Rekenkundige en meetkundige rijen. Continue en discreet. Voorkennis en meer. Met de GR.
E N D
Regelmaat in getallen. • 1 4 7 10 … 8 16 32 64 …. 18 14 10 6 … 10 -20 40 -80 .... Een speciale : De rij van Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 ....
Rijen • Rekenkundige en meetkundige rijen. Continue en discreet Voorkennis en meer. Met de GR
De recursieve formule van een getallenrij • Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term • uit één of meer voorafgaande termen volgt. • Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. • vb.un= un – 1 + 160 met u0 = 25 9.1
opgave 9 • un = 1,06 · un – 1 – 50 met u0 = 1750 • Bij 1 januari 2019 hoort u12 • Tik in 1750 en 1,06ANS – 50. • Je krijgt u12 ≈ 2677,85. • Er staat dus €2677,85 op haar rekening. • Je krijgt u14 ≈ 2905,83 en u15 ≈ 3030,18. • Bij u15 hoort 1 januari 2022. • Dus in het jaar 2022. • Dit bedrag is 6% van €1750, • dus € 105,-. 9.1
opgave 15 • a) u0 = 1 • u1 = 1 + 1 + 1 = 3 • u2 = 3 + 2 + 1 = 6 • u3 = 6 + 3 + 1 = 10 • u4 = 10 + 4 + 1 = 15 • u5 = 15 + 5 + 1 = 21 • Totaal = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 • 10e laag is u9 = 55 • 15e laag is u14 = 120 • d) v9 = 220, dus uit 220 sinaasappels. • Voer in y1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3). • De tabel geeft : bij x = 14 hoort y = 680. • De stapel bestaat uit 15 lagen. 9.1
opgave 17 Sigma = de som van een aantal opeenvolgende termen van een getallenrij. • un = 2n + 7 • vn = n2 + 3 • wn = 2n • a) 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 72 • b) 3 + 4 + 7 + 12 + 19 = 45 • c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 9.1
Rekenkundige rijen • Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is • de directe formule un = u0 + vn • de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0. 9.2
Som van de rekenkundige rij Reken voorbeeld. De eerste 7 termen van een rekenkundige rij zijn: 119 29 25 21 17 13 9 5 34 34 34 34 34 34 34 7 x 34 = 238 238 x ½ = 119 Voor de som van de rekenkundige rij un geldt som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 9.2
un = un – 1 – 4 met u0 = 251 • rr met u0 = 251 en v = -4 • dus un = 251 – 4n • b) u18 = 251 – 4 · 18 = 179 • c) 21e term is u20 = 251 – 4 · 20 = 171 • d) Los op • 251 – 4n = 0 • -4n = -251 • n = 62,75 • Dus u62 > 0 en u63 < 0. • Vanaf de 64e term is un negatief. opgave 22 9.2
rr met u0 = 100 en v = -3, dus un = 100 – 3n. Los op 100 – 3n = 0 -3n = -100 n = 33⅓ Dus u33 = 1 > 0 en u34 = -2 < 0. De som is ½ · (33 + 1)(100 + 1) = 1717 opgave 26 9.2
rr met u0 = 4,9 en v = 9,8, • dus u0 = 4,9 + 9,8n • De 6e term is u5 = 4,9 + 9,8 · 5 = 53,9. • De afstand is • ½ · 6 · (4,9 + 53,9) = 176,4 m. • b) = ½ (n + 1)(4,9 + 4,9 + 9,8n) • = ½ (n + 1)(9,8 + 9,8n) • = ½ (9,8n + 9,8n2 + 9,8 + 9,8n) • = ½ (9,8n2 + 19,6n + 9,8) • = 4,9n2 + 9,8n + 4,9 • Los op 4,9n2 + 9,8n + 4,9 = 1960. • Voer in y1 = 4,9x2 + 9,8x + 4,9 en y2 = 1960. • De optie intersect geeft x = 19. • Dus na 20 seconden valt het voorwerp op de grond. opgave 30 9.2
Meetkundige rijen • Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is • de directe formule un = u0· rn • de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0. 9.3
Reken voorbeeld. De eerste 7 termen van een meetkundige rij zijn: Som van de meetkundige rijen • Voor de som van een meetkundige rij un geldt • som meetkundige rij = 4372 Som = (u0 x r (n+1) – u0 ) / (r-1) eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor 9.3
opgave 42 De omzet per jaar wordt gegeven door un = 11,3 · 1,074n met n = 0 in 1995 Bij 2007 hoort n = 12. Totale omzet = = Totale omzet ≈ 233,6 miljard dollar 9.3
a) un = 5,2 · 0,8n • 8e week • u7 = 5,2 · 0,87 • u7 ≈ 1,1 • De toename in de 8e week is 11 mm. • 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,87 • = • ≈ 21,6 • De plant is 216 mm gegroeid. • c) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,89 • = • ≈ 23,2 • De hoogte na 10 weken is 18 + 23,2 = 41,2 cm. opgave 43 9.3