Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl

1. Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2. PRAWA DZIAŁAŃ NA ZBIORACH -4 10 4 11 8

3. Już wiemy, że na zbiorach – a konkretnie na ich elementach można wykonywać różne działania. Działania te zapiszemy w postaci praw matematycznych, a niektóre z nich udowodnimy.PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DOTYCZĄCE ZBIORÓW:A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = AA ∪ A = AA ∩ A = A

4. PRAWA DZIAŁAŃ: • I prawo de Morgana dla zbiorów: • „Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B jest • iloczynem dopełnień tych zbiorów” • (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ • (2) II prawo de Morgana dla zbiorów: • „Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów A i B jest • sumą dopełnień tych zbiorów” • (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

5. (3) przemienność sumy zbiorów A i B: A ∪ B = B ∪ A(4) łączność sumy zbiorów: A∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (5) przemienność iloczynu zbiorów A i B: A ∩ B = B ∩ A

6. (6) łączność iloczynu zbiorów : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (7) rozdzielność iloczynu zbiorów względem ich sumy: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (8) rozdzielność sumy zbiorów względem ich iloczynu: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)

7. Przeprowadźmy dowód wybranych praw:(1) Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ (A ∪ B)’ ⇔ ∽[x ∈ (A ∪ B)] ⇔ ∽[x ∈ A ∨ x ∈ B] ⇔ [∽(x ∈ A)] ∧ [∽(x ∈ B)] ⇔ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇔ x ∈ A’ ∩ B’(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’(3)Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ (B ∪ A) A ∪ B = B ∪ A

8. (6)Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ [(A ∩ B) ∩ C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x ∈ C] ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)]Pozostałe prawa spróbuj sam udowodnić. [(A ∩ B)∩ C] = [A ∩ (B ∩ C)]

9. Zadanie 1. Zapisz matematycznie zbiory i wypisz elementy należące do niego.A – zbiór liczb całkowitych, których wartość bezwzględna jest mniejsza od 4.B – zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest niewiększy od 30.C – zbiór liczb naturalnych, których liczba 4 jest dzielnikiem. ROZWIĄZANIE: A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 4, 8, 12, 16, ……}

10. Zadanie 2.W klasie I jest 40 osób, wśród których:14 osób lubi matematykę,6 osób lubi matematykę i język polski,7 osób lubi język polski i język obcy,2 osoby – wszystkie trzy przedmioty,21 osób język polski, reszta tylko język obcy. Narysuj i uzupełnij graf i odpowiedz:a) ile osób lubi tylko język obcy,b) ile osób lubi dokładnie jeden przedmiot,c) ile osób nie lubi języka obcego,d) ile osób lubi dokładnie dwa przedmioty.

11. ROZWIĄZANIE: Zbiory podpiszmy nazwami przedmiotów. Z grafu odczytamy rozwiązania i zapiszemy ilość uczniów:a) 11b) 29c) 22d) 9 10 język polski matematyka 4 2 8 5 11 język obcy

12. Zadanie 3.Narysuj i uzupełnij graf jeżeli:X = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 }; Y = { 1, 2, 3, 6, 7, 8 }; Z = { 1, 2, 5, 6 }X∩Y ∩Z = { 1, 2 }X ∩Y = { 1, 2, 3 }X ∩Z = { 1, 2 }Y ∩ Z = { 1, 2, 6 } ROZWIĄZANIE przedstawione będzie na grafie.(zaczynamy od uzupełnienia części wspólnej trzech zbiorów, potem części wspólnej dwóch zbiorów, a na końcu uzupełniamy zbiory: X, Y i Z)

13. Y X • 9 • 10 7 8 3 1 2 6 5 Z

14. Zadanie 4.Wiedząc, że:A = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 } B = { 1, 2, 3, 6, 7 }C = { 1, 2, 5, 6 }wyznacz: (A ∩ B) \ C (A ∪ B) \ C A \ (B ∩ C) A \ B(A \ B) ∩ C B \ (C ∪ A) ROZWIĄZANIE: (A ∩ B) \ C = { 1, 2, 3 } \ C = { 3 } (A ∪ B) \ C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10 } \ C = { 3, 4, 7, 9, 10 }A \ (B ∩ C) = A \ { 1, 2, 6 } = { 3, 4, 9, 10 }A \ B = { 4, 9, 10 }(A \ B) ∩C = { 4, 9, 10 } ∩ C = ∅ B \ (C ∪ A) = B \ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 } = { 7 }

15. Zadanie 5.Ze słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i spółgłoski. Wypisz elementy należące do zbiorów:A – zbiór samogłosekB – zbiór spółgłosekWyznacz zbiory:A \ B ; B \ A; A ∩ B; A ∪B ROZWIĄZANIE: wypiszmy najpierw elementy zbioru A i B.A = { e, i, o, y }B = { b, c, l, r, w, z } A \ B = { e, i, o, y } = AB \ A = { b, c, l, r, w, z } = BA∩B = ∅A ∪ B = { b, c, e, i, l, o, r, w, y, z }

16. Zadanie 6.Co będzie częścią wspólną zbiorów A i B jeżeli:A – zbiór czerwonych bluzeczekB – zbiór czerwonych spódniczek ROZWIĄZANIE: Częścią wspólną tych zbiorów będzie zbiór pusty. A ∩ B = ∅.Zadanie 7.Dane są zbiory:A – zbiór czworokątówB – zbiór kwadratówC – zbiór trójkątów równobocznychD – zbiór prostokątówE – zbiór trójkątówX – zbiór figur płaskich

17. Narysuj zbiory, podzbiory do treści zadania. Wyznacz zbiory: A’, E’, A ∩E, A\ E, D∩ A, A ∩ B, E ∩ C X E C A D ROZWIĄZANIE A’ = E E’ = A A ∩ E = ∅ A \ E = A D ∩ A = D A ∩ B = B E ∩ C = C B