Algebra Booleana

1. Algebra Booleana Generalità In quasi tutti i tipi di calcolatori elettronici le informazioni vengono elaborate in forma digitale, ossia i segnali elettri- ci che le rappresentano possono assumere due soli valori distinti. I circuiti che eseguono queste elaborazioni sono chiamati circuiti logici e presentano, appunto, la caratteristica di operare con segnali binari. Vengono pertanto rea- lizzati con dispositivi che possono assumere solo due stati diversi: diodi in conduzione o non, transistor in satura- zione o in interdizione, ecc.... Per il funzionamento del circuito logico non è importante conoscere il valore numeri- co del segnale binario, ma basta rilevarne il livello; in genere questo può essere indicato con “0” ed “1” o con “L” ed “H” (Low = basso, High = alto). Il funzionamento di un tale circuito può quindi essere descritto da un punto di vista logico senza preoccuparsi della sua struttura fisica; allo scopo può essere utilizzata l’algebra di Boole (G. Boole, 1815- 1864). L’algebra di Boole, o algebra binaria, è infatti una logica matematica basata su due diverse situazioni che si escludono reciprocamente. Per variabile booleana si intende una qualunque grandezza che può assumere due soli stati (interruttore aperto o chiuso, affermazione vera o falsa, lampada accesa o spenta, livello di tensione alto o basso, diodo in conduzione o non, ecc...). Ai due diversi livelli logici vengono associati i simboli “0” ed “1”. Le generiche variabili vengono identificate da lettere (per esempio a, b, c ........; A, B, C, ecc.........) e, ad ognuno dei due stati logici che possono assumere, può essere associato, arbitrariamente, il valore “0” o “1”. Nel 1938 Shannon applicò le regole dell’algebra di Boole alla progettazione di circuiti di commutazione a relè, at- tribuendo i valori “1” e “0” ai due stati fisici di questi due dispositivi. Questo metodo è tuttora utilizzato per l’analisi e la sintesi dei circuiti in quanto consente di esplicitare a mezzo di funzioni booleane le connessioni dei circuiti e le operazioni da esse eseguite.

2. Funzioni booleane Una funzione booleana, infatti, fornisce un’uscita logica in corrispondenza di ogni combinazione dei livelli delle variabili d’ingresso. Le operazioni fondamentali dell’algebra di Boole sono le seguenti: • AND o prodotto logico • OR o somma logica • NOT o negazione, complementazione AND o prodotto logico Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se viene anche Marco ed è bel tempo La gita in barca è condizionata dall’avverarsi di entrambi le condizioni poste - Se si assegnano alle variabili i valori “0” ed “1” si può scrivere: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = viene Marco, 0 = non viene Marco) B (1 = è bel tempo, 0 = è cattivo tempo) dove A e B sono le variabili indipendenti e Q quella dipendente

3. Le “n” variabili possono assumere 2n configurazioni diverse; nella tabella della verità riportata nella figura sotto- te vengono prese in considerazione le quattro (22) combinazioni con il corrispondente livello assunto dalla variabile dipendente. Nella figura è altresì riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta AND ed il simbolo grafico della stessa secondo gli standard USA e I.E.C.. L’equazione logica (prodotto logico) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella è la seguente: Q = A x B La Q si trova al livello “alto” solo se entrambe le variabili indipendenti A e B assumono questo livello. Si può gene- ralizzare l’equazione al caso di “n” variabili e dire che Q vale 1 se, e solo se, tutte le “n” variabili valgono 1.

4. Or o somma logica • Si consideri la seguente proposizione logica: la barca a vela si muove se c’è vento o se remo Affinché la barca si muova è sufficiente che si verifichi una sola delle due condizioni sopra enunciate. Se, anche in questo caso, si assegnano alle variabili i valori “0” ed “1” si può scrivere: Q (1 = la barca si muove, 0 = la barca non si muove) A (1 = c’è vento, 0 = non c’è vento) B (1 = io remo, 0 = io non remo), Dove A e B sono variabili indipendenti e Q quella dipendente. Nella figura seguente è riportata la tabella della verità della proporzione logica in esame nella quale si evidenzia che Q è a livello “basso” (0) solo se entrambe le variabili indipendenti sono a livello “0” . Nella figura è altresi riportato un circuito ad interruttori per realizzare una porta OR e i due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.

5. L’equazione logica (somma logica) che sintetizza le combinazioni riportate nella tabella della verità è la seguente: Q = A + B Si può generizzare l’equazione al caso “n” variabili e dire che Q vale 1 se una sola delle n variabili vale 1. Per le funzioni AND ed OR, prima esaminate, valgono le seguenti proprietà: • Commutativa A * B * C = C * A * B A + B + C = C + A + B • Associativa ( A * B ) * C = A * ( B * C ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3) Distributiva A * ( B + C ) = ( A * B ) + ( A * C ) A + ( B * C ) = ( A + B ) * ( A + C ) Le proprietà precedenti, come tutti i teoremi dell’algebra booleana, possono essere verificate confrontando le tabelle della verità di ogni relazione.

6. NOT o negazione, complementazione Si consideri la seguente proposizione logica: vado in barca se non piove I valori delle variabili sono: Q (1 = vado in barca, 0 = non vado in barca) A (1 = piove, 0 = non piove) Dove A è la variabile indipendente e Q quella dipendente. A queste condizioni corrisponde la seguente equazione algebrica: Q = Ā A livello simbolico, per negare una grandezza si deve soprassegnare il simbolo. Ovviamente una doppia negazione riporta alla variabile non negata. = A = A Nella figura riportata qui di seguito è rapresentato un circuito a relè per realizzare una porta NOT e I due simboli grafici della stessa porta secondo gli standard USA e I.E.C.