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ALGEBRA BOOLEANA

ALGEBRA BOOLEANA. George Boole, año de 1854. DEFINICION. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones

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Presentation Transcript

  1. ALGEBRA BOOLEANA George Boole, año de 1854

  2. DEFINICION El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ),

  3. POSTULADOS Existencia de Neutros Conmutatividad • Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s: • (a) x + O = x • (b) x. 1 = x • Para cada x, y en B: • (a) x+y = y+x • (b) x y =y x

  4. POSTULADOS Asociatividad Distributividad. • Para cada x, y, z en B: • (a) x + (y + z) = (x + y) + z • (b) x (y z) = (x y)  z • Para cada x, y, z en B: • (a)x+(y z)=(x+y)   (x+z) • (b) x (y+z)=(x y)+(x z)

  5. POSTULADOS • EXISTENCIA DE COMPLEMENTOS • Para cada x en B existe un elemento único denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que: • (a) x+ x = 1 • (b) x   x = O

  6. EXPLICACION Y EJEMPLOS DE LOS POSTULADOS Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección (Ç) de conjuntos.

  7. EXPLICACION DE LOS POSTULADOS Existencia de neutros Conmutatividad. • El neutro de la unión es el conjunto vacío F , mientras que el neutro de la intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U • F = A y A Ç U= A. • La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de conjuntos • A, B: A U B = B U A y A ÇB = B ÇA

  8. EXPLICACION DE LOS POSTULADOS Asociatividad Distributividad • La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C • La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y viceversa, la intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos • A, B, C: A U (B Ç C) = (A U B) Ç (A U C) y A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C)

  9. EXISTENCIA DE COMPLEMENTOS El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas: • A U Ac = U y A Ç Ac = Existencia de complementos

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